Napisz wzór funkcji liniowej, do wykresu której należą punkty: $A=\left(1,5\right)$ oraz $B=\left(-3,2\right)$.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt $A=\left(x_1,y_1\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y=ax+b$, to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y_1=a{x}_1+b$. Czyli

$x_1=1$ i $y_1=5$$\Rightarrow 5=a·1+b$

Jeżeli punkt $B=\left(x_2,y_2\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y=ax+b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie: $y_2=a{x}_2+b$.

$y_2=2\Rightarrow 2=a\cdot \left(-3\right)+b$

Rozwiązujemy układ równań.

$\left\{\begin{array}{l}5=a·1+b\\ 2=a·\left(-3\right)+b\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5=a+b \left(1\right)\\ 2=-3a+b \left(2\right)\end{array}\right.$

Odejmiemy stronami od pierwszego $\left(1\right)$ równania drugie $\left(2\right)$.

$5-2=\left(a+b\right)-\left(-3a+b\right)$

$3=a+b+3a-b$

$3=a+b+3a-b$

$3=4a$, stąd

$a=\frac{3}{4}$

Wyznaczamy teraz wartość wyrazu wolnego $b$ z pierwszego równania.

$5=a+b$

$b=5-a$

$b=5-\frac{3}{4}=\frac{20}{4}-\frac{3}{4}=\frac{17}{4}$

Odpowiedź:

Szukana funkcja ma wzór $y=\frac{3}{4}x+\frac{17}{4}$.

Napisz wzór funkcji liniowej, mając dane jej miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe $x_0=5$ i punkt $A=\left(-1,-2\right)$, przez który przechodzi wykres tej funkcji.

Rozwiązanie (sposób $\text{I}$):

Miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego przyjmuje ona wartość zero, czyli $f\left(x_0\right)=0$.

$x_0=5$, więc $y_0=f\left(5\right)=0$, czyli $0=a\cdot 5+b$.

Jeżeli punkt $A=\left(x_1,y_1\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y=ax+b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y_1=a{x}_1+b$.

$x_1=-1$ i $y_1=-2$$\Rightarrow -2=a\cdot \left(-1\right)+b=-a+b$

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi $a$ i $b$.

$\left\{\begin{array}{l}0=5a+b \left(1\right)\\ -2=-a+b \left(2\right)\end{array}\right.$

Tym razem wyznaczymy $b$ z pierwszego równania $\left(1\right)$ i podstawimy do drugiego $\left(2\right)$.

$b=0-5a=-5a$

$-2=-a+b$

$-2=-a+\left(-5a\right)$

$-2=-6a$

$a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$b=-5a=-5·\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{5}{3}$

Odpowiedź:

Wzór szukanej funkcji liniowej to $y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$.

Możemy też rozwiązać to zadanie, wykorzystując zależność między $x_0$ a współczynnikami $a$ i $b$.

Rozwiązanie (sposób $\text{II}$):

Wyraźmy $x_0$, miejsce zerowe funkcji liniowej, za pomocą współczynników $a$ i $b$.

$0=a{x}_0+b$

$-b=a\cdot x_0$

$x_0=-\frac{b}{a}$, przy założeniu: $a\ne 0$.

Punkt przecięcia z osią $X$: $A=\left(x_0,0\right)\Rightarrow A=\left(-\frac{b}{a},0\right)$.

$x_0=5$, więc $5=-\frac{b}{a}$.

$5a=-b$

$b=-5a$

Punkt $A=\left(-1,-2\right)$ należy do wykresu funkcji $y=ax+b$.

$-2=a\left(-1\right)-b=-a+b$

$-2=-a+b$

$-2=-a+\left(-5a\right)$

$-2=-6a$

$a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej to $y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$.

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $P=\left(2,10\right)$ i jest równoległy do wykresu funkcji $y=3x+1$.

Rozwiązanie:

Jeżeli proste $y=ax+b$ i $y=cx+d$ są równoległe, to $a=c$.

Prosta $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $y=3x+1$, więc $a=3$.

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y=3x+b$.

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P=\left(2,10\right)$, to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y=3x+b$.

$y=3x+b$

$10=3\cdot 2+b$

$10=6+b$

$b=10-6=4$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y=3x+4$.

Napisz wzór  funkcji liniowej, której wykres tworzy z osią $X$ kąt o mierze $45°$ i przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnej $y_0=2$.

Rozwiązanie:

Wykresem funkcji liniowej $y=ax+b$ jest prosta nachylona do dodatniej półosi osi $X$ pod takim kątem $\alpha$, że $\mathrm{tg}\alpha =a$.

Stąd $a=\mathrm{tg}45°=1$.

Punkt przecięcia z osią $Y$ to: $B=\left(0,y_0\right)\Rightarrow B=\left(0,b\right)$.

($y_0=a\cdot 0+b$, stąd $y_0=b$)

Ponieważ $y_0=2$, to $b=2$.

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y=x+2$.

Znajdź wzór funkcji liniowejfunkcja liniowafunkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $A=\left(-2,6\right)$ i która przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(-\infty ,2\right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(2,+\infty \right)$.

Rozwiązanie:

Funkcja $y=ax+b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(-\infty ,2\right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(2,+\infty \right)$, oznacza to, że $x_0=2$ jest miejscem zerowym tej funkcji.

R1EVvXECU2bLB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do cztery oraz pionową osią Y od minus jeden do czterech. Zaznaczono na nim malejący wykres funkcji liniowej, przecinający oś X przy pierwszej oraz czwartej ćwiartce w punkcie dwa. A mniejsze od zera.

$y>0$ dla $x\in \left(-\infty ,2\right)$ i $y<0$ dla $x\in \left(2,\infty \right)$.

Miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego przyjmuje ona wartość zero, czyli taki $x$, dla którego $y=0$. Z wykresu możemy odczytać, że miejscem zerowym rozważanej funkcji jest $x_0=2$. Możemy zatem wstawć punkt $\left(2, 0\right)$ do równania funkcji:

$0=a\cdot 2+b=2a+b$.

Jeżeli punkt $A=\left(x_1,y_1\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y=ax+b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie: $y_1=a{x}_1+b$.

$x_1=-2$ i $y_1=6 \Rightarrow 6=a·\left(-2\right)+b=-2a+b$

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi $a$ i $b$.

$\left\{\begin{array}{l}0=2a+b \left(1\right)\\ 6=-2a+b \left(2\right)\end{array}\right.$

Dodajemy stronami pierwsze równanie do drugiego.

$0+6=2a+b+\left(-2a+b\right)$

$6=2a+b-2a+b$

$6=2b$

$b=3$

Z pierwszego równania wyznaczamy $a$.

$0=2a+b$

$2a=-b$

$a=-\frac{b}{2}$

$a=-\frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y=-\frac{3}{2}x+3$.

Znajdź wzór funkcji liniowej $y=ax+b$, której wykres przechodzi przez punkt $P=\left(a,4\right)$ i która przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(0,+\infty \right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$.

Rozwiązanie:

Funkcja $y=ax+b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(0,+\infty \right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$, oznacza to, że $x=0$ jest miejscem zerowym tej funkcji i jest to funkcja rosnąca $\left(a>0\right)$.

RQqjgy27Zf42I

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz pionową osią Y od minus 1 do czterech. Zaznaczono na nim rosnący wykres funkcji liniowej, przecinający osie w początku układu współrzędnych. A większe od zera.

$y<0$ dla $x\in \left(-\infty ,0\right)$ i $y>0$ dla $x\in \left(0,\infty \right)$.

$x_0=0$, więc $y_0=f\left(0\right)=0$, czyli $0=a\cdot 0+b$, stąd $b=0$.

Punkt $P=\left(a,4\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y=ax+b$, więc otrzymujemy $4=a\cdot a+b$.

$b=0$, stąd otrzymujemy równanie $a^2=4$. Rozwiązaniem równania $a^2=4$ są liczby: $2$ i $-2$.

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(0,+\infty \right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$, funkcja jest rosnąca czyli $a>0$, stąd $a=2$.

$a=2$,  $b=0$

Odpowiedź:

Wzór funkcji: $y=2x$.

funkcja postaci $y=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi

argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero