Przeczytaj

Warto przeczytać

Zderzenie to taki proces, w którym na uczestniczące w nim ciała działają duże siły w bardzo krótkim czasie. Siły pojawiające się w trakcie zderzenia są siłami wewnętrznymi układu zderzających się ciał. Inne, długotrwałe siły działające na zderzające się ciała, są zwykle dużo mniejsze i można je pominąć w analizie zderzenia. W każdym zderzeniu spełniona jest zasada zachowania pęduzasada zachowania pęduzasada zachowania pędu, która mówi, że całkowity pęd układu, na który nie działają siły zewnętrzne, jest stały.

Jeśli w zderzeniu zachowana jest także energia kinetyczna, zderzenie nazywamy doskonale sprężystym. Oczywiście, rzeczywiste zderzenia ciał makroskopowych mogą być tylko przybliżeniem zderzenia doskonale sprężystego, bo nawet najtwardsze kule minimalnie odkształcają się podczas zderzenia i wydziela się energia cieplna. Gdy część energii kinetycznej rozprasza się w otoczeniu podczas zderzenia, mówimy o zderzeniu niesprężystym. W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała po zderzeniu łączą się i dalej poruszają się razem. Przykładem takiego zderzenia jest zderzenie neutronu z jądrem atomowym, w wyniku którego neutron zostaje pochłonięty przez jądro, a także zderzenie pędzącego psa z przydrożnym rzepem.

Zderzenie doskonale niesprężyste.

Rozważmy zderzenie centralnezderzenie centralnezderzenie centralne, w którym dwie kule o masach mIndeks dolny 1 i mIndeks dolny 2 poruszają się wzdłuż jednej prostej z prędkościami ${\vec{v}}_{1}$ i ${\vec{v}}_{2}$ (Rys. 1.). Po zderzeniu zlepione kulki mają prędkość $\vec{u}$ . W zderzeniu część energii kinetycznej rozproszyła się w otoczeniu w trakcie łączenia się i zniekształcania kulek. Nie możemy więc skorzystać z zasady zachowania energii, ale całkowity pęd przed zderzeniem i po zderzeniu jest jednakowy. Kierunki prędkości są jednakowe, możemy więc zasadę zachowania pędu zapisać w postaci skalarnej:

$\begin{matrix} (1) & m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) u \end{matrix}$

Z równania wyznaczamy wartość prędkości końcowej u:

$\begin{matrix} (2) & u = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}$

R1J76fGq1bCOR

Rys. 1. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie widoczna jest część małą litera a z nawiasem prawym. Na części tej widoczny jest rysunek dwóch kul, niebieskiej po lewej stronie i czerwonej po prawej. Obie kule poruszają się w prawą stronę wzdłuż poziomej osie mała litera x narysowanej pod nimi. Do obu kul przyłożone są wektory prędkości, w postaci poziomych, czarnych strzałek skierowanych w prawo. Kula niebieska po lewej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym jeden a jej wektor prędkości oznaczono jako mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Kula czerwona po prawej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym dwa a jej wektor prędkości oznaczono, jako mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości kuli pierwszej jest dłuższy niż wektor prędkości kuli drugiej. Kula niebieska dogoni kulę czerwoną. Po prawej stronie ilustracji widoczna jest część małą litera b z nawiasem prawym. Część ta prezentuje skutek zderzenia niesprężystego kul z części małą litera a z nawiasem prawym. Kule po zderzeniu złączyły się w jedno ciało o masie mała litera m z indeksem dolnym jeden dodać mała litera m z indeksem dolnym dwa. Poruszają się wspólnie z prędkością mała litera u ze strzałką oznaczającą wektor, w prawą stronę wzdłuż osi mała litera x widocznej poniżej kul. Przykładem zderzenia niesprężystego może być zderzenie dwóch kulek z plasteliny. — Rys. 1. Zderzenie doskonale niesprężyste; a) sytuacja przed zderzeniem, b) po zderzeniu.

W naszym przykładzie oba ciała poruszają się przed zderzeniem w jednym kierunku i prędkość układu ciał po zderzeniu ma ten sam kierunek i zwrot. A jaki będzie zwrot końcowej prędkości $\vec{u}$ , gdy kulki poruszają się w przeciwne strony (Rys. 2.)?

R14YUFzlZUe19

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek dwóch kul, mniejszej, niebieskiej, po lewej stronie o masie mała litera m z indeksem dolnym jeden i większej, czerwonej o masie mała litera m z indeksem dolnym dwa po prawej stronie. Kule poruszają się w kierunku poziomym opisanym poniżej jako w postaci osi mała litera x narysowanej w postaci czarnej strzałki skierowanej w prawo. Niebieska kula porusza się w prawo z prędkością mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Wektor jej prędkości narysowano w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Kula czerwona porusza się w lewo z prędkością mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałka oznaczającą wektor, co zaznaczono w postaci wektora prędkość, jako czarna, pozioma strzałka skierowana w lewo. Wektor prędkości kuli pierwszej jest dłuższy niż wektor prędkości kuli drugiej. — Rys. 2. Przed zderzeniem ciała poruszają się w przeciwnych kierunkach.

Prędkość końcową wyznaczamy ze wzoru (2) z tym, że prędkości skierowane przeciwnie do wybranej osi x mają ujemne wartości. Na przykład, dla wartości liczbowych mIndeks dolny 1 = 0,5 kg, mIndeks dolny 2 = 2 kg, vIndeks dolny 1 = 5 $\frac{m}{s}$ , vIndeks dolny 2 = -3 $\frac{m}{s}$ , prędkość końcowa wynosi:

u = \frac{0, 5 k g \cdot 5 \frac{m}{s} - 2 k g \cdot 3 \frac{m}{s}}{0, 5 k g + 2 k g} = - 1, 4 \frac{m}{s}

Znak minus w końcowym wyniku oznacza, że układ porusza się przeciwnie do zwrotu osi x.

Ogólnie, kierunek ruchu połączonych w zderzeniu centralnym ciał jest taki, jak kierunek ruchu ciała o większej bezwzględnej wartości pędu.

Zderzenie doskonale sprężyste.

Zderzenie centralnezderzenie centralneZderzenie centralne, doskonale sprężyste przedstawia Rys. 3. Przed zderzeniem ciała poruszają się wzdłuż osi x z prędkościami ${\vec{v}}_{1}$ i ${\vec{v}}_{2}$ . Po zderzeniu ciała poruszają się z innymi prędkościami ${\vec{u}}_{1}$ i ${\vec{u}}_{2}$ .

R1CmeRTPMmQxf

Rys. 3. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie widoczna jest część małą litera a z nawiasem prawym. Na części tej widoczny jest rysunek dwóch kul, niebieskiej po lewej stronie i czerwonej po prawej. Obie kule poruszają się w prawą stronę wzdłuż poziomej osie mała litera x narysowanej pod nimi. Do obu kul przyłożone są wektory prędkości, w postaci poziomych, czarnych strzałek skierowanych w prawo. Kula niebieska po lewej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym jeden a jej wektor prędkości oznaczono jako mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Kula czerwona po prawej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym dwa a jej wektor prędkości oznaczono, jako mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości kuli pierwszej jest dłuższy niż wektor prędkości kuli drugiej. Kula niebieska dogoni kulę czerwoną. Po prawej stronie ilustracji widoczna jest część małą litera b z nawiasem prawym. Część ta prezentuje skutek zderzenia sprężystego kul z części małą litera a z nawiasem prawym. Kule po zderzeniu ni złączyły się jedno ciało. Poruszają się oddzielnie w prawo, wzdłuż osi mała litera x narysowanej pod nimi w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Kula niebieska o masie mała litera m z indeksem dolnym jeden porusza się z prędkością mała litera u z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Wektor jej prędkości narysowano w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Kula czerwona o masie mała litera m z indeksem dolnym dwa porusza się również w prawo wzdłuż osi mała litera x. Jej wektor prędkości narysowano także w postaci poziomej, czarnej strzałki skierowanej w prawo i opisanej, jako mała litera u z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości kuli niebieskiej po zderzeniu jest krótszy niż wektor prędkości kuli czerwonej po zderzeniu. — Rys. 3. Zderzenie doskonale sprężyste; a) sytuacja przed zderzeniem, b) po zderzeniu.

W tym zderzeniu zachowana jest zarówno energia kinetyczna, jak i pęd, co wyrażamy układem równań:

$\begin{matrix} (3) & \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1} u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} u_{2}^{2}}{2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (4) & m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} \end{matrix}$

Aby ułatwić wyznaczenie prędkości końcowych, zapiszmy te równania w postaci:

$\begin{matrix} (5) & m_{1} (v_{1}^{2} - u_{1}^{2}) = m_{2} (u_{2}^{2} - v_{2}^{2}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (6) & m_{1} (v_{1} - u_{1}) = m_{2} (u_{2} - u_{1}) \end{matrix}$

W pierwszym równaniu korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$\begin{matrix} (7) & m_{1} (v_{1} - u_{1}) (v_{1} + u_{1}) = m_{2} (u_{2} - v_{2}) (u_{2} + v_{2}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (8) & m_{1} (v_{1} - u_{1}) = m_{2} (u_{2} - u_{2}) \end{matrix}$

i dzielimy stronami równanie (7) przez (8):

$\begin{matrix} (9) & v_{1} + u_{1} = u_{2} + v_{2} \end{matrix}$

Przenosząc na jedną stronę prędkości przed zderzeniem, a na drugą prędkości po zderzeniu, otrzymamy:

$\begin{matrix} (10) & v_{1} - v_{2} = u_{2} - u_{1} \end{matrix}$

Po lewej stronie mamy względną prędkość ciał przed zderzeniem, czyli prędkość, z jaką ciało o masie mIndeks dolny 1 zbliża się do ciała o masie mIndeks dolny 2. Po prawej – względną prędkość ciał po zderzeniu, czyli prędkość, z jaką ciało o masie mIndeks dolny 2 oddala się od ciała o masie mIndeks dolny 2.

Niezależnie od mas zderzających się sprężyście ciał, względna prędkość ciał przed zderzeniem równa jest względnej prędkości po zderzeniu.

Z układu równań (10) i (4) wyznaczamy wartości prędkości końcowych uIndeks dolny 1 i uIndeks dolny 2.

v_{1} - v_{2} = u_{2} - u_{1}

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}

Z pierwszego równania wyznaczamy uIndeks dolny 2:

u_{2} = v_{1} - v_{2} + u_{1}

i wstawiamy do drugiego:

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} (v_{1} - v_{2} + u_{1})

skąd wyznaczamy prędkość końcową uIndeks dolny 1, a następnie uIndeks dolny 2:

$\begin{matrix} (11) & u_{1} = v_{1} (\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}) + v_{2} (\frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (12) & u_{2} = v_{1} (\frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}}) + v_{2} (\frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}}) \end{matrix}$

Obliczmy wartości prędkości końcowych dla zderzenia doskonale sprężystego, w którym ciała przed zderzeniem mają prędkości skierowane przeciwnie (Rys. 2.). Wykonamy obliczenia dla takich samych wartości liczbowych, jakich użyliśmy dla zderzenia niesprężystego: mIndeks dolny 1 = 0,5 kg, mIndeks dolny 2 = 2 kg, vIndeks dolny 1 = 5 $\frac{m}{s}$ , vIndeks dolny 2 = -3 $\frac{m}{s}$

u_{1} = 5 \frac{m}{s} (\frac{0, 5 k g - 2 k g}{0, 5 k g + 2 k g}) - 3 \frac{m}{s} (\frac{2 \cdot 2 k g}{0, 5 k g + 2 k g}) = - 7, 8 \frac{m}{s}

u_{2} = 5 \frac{m}{s} (\frac{2 \cdot 0, 5 k g}{0, 5 k g + 2 k g}) - 3 \frac{m}{s} (\frac{2 k g - 0, 5 k g}{0, 5 k g + 2 k g}) =

0,2

\frac{m}{s}

Po zderzeniu oba ciała poruszają się w przeciwną stronę niż przed zderzeniem. Ciało o mniejszej masie (mIndeks dolny 1 = 0,5 kg) uzyskało znacznie większą prędkość niż ciało o większej masie (mIndeks dolny 2 = 2 kg) (Rys. 4.). $\frac{m}{s}$

R1IXpxreMXlhs

Rys. 4. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie widoczny jest rysunek dwóch kul, niebieskiej po lewej stronie i czerwonej po prawej. Kula niebieska porusza się w prawo a kula czerwona w lewo. Do obu kul przyłożone są wektory prędkości, w postaci poziomych, czarnych strzałek skierowanych w prawo dla kuli niebieskiej i lewo dla kuli czerwonej. Kula niebieska po lewej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym jeden a jej wektor prędkości oznaczono jako mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Kula czerwona po prawej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym dwa a jej wektor prędkości oznaczono, jako mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Kula czerwona jest większa niż kula niebieska. Wektor prędkości kuli pierwszej jest dłuższy niż wektor prędkości kuli drugiej. Po prawej stronie ilustracji widoczny jest rysunek skutku zderzenia sprężystego kul z rysunku po lewej stronie ilustracji. Po zderzeniu, mniejsza kula niebieska o masie mała litera m z indeksem dolnym jeden porusza się w lewo z prędkością mała litera u z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczająca wektor. Kula większa, czerwona po zderzeniu porusza się w prawo z prędkością mała litera u z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektory prędkości narysowano w postaci czarnych poziomych strzałek, skierowanych w lewo dla kuli niebieskiej i prawo dla kuli czerwonej. Wektor prędkości kuli czerwonej po zderzeniu jest krótszy niż wektor prędkości kuli niebieskiej po zderzeniu. — Rys. 4. Ilustracja zderzenia doskonale sprężystego, dla którego warunki początkowe wynosiły: m₁ = 0,5 kg, m₂ = 2 kg, v₁ = 5 $\frac{m}{s}$ , v₂ = -3 $\frac{m}{s}$

Rozważmy kilka ciekawych, szczególnych przypadków zderzeń sprężystych, korzystając ze wzorów na prędkości końcowe (11) i (12).

Oba ciała mają takie same masy mIndeks dolny 1 = mIndeks dolny 2 = m. Przykładem jest zderzenie kul bilardowych.

u_{1} = v_{1} (\frac{m - m}{m + m}) + v_{2} (\frac{2 m}{m + m}) = v_{2}

u_{2} = v_{1} (\frac{2 m}{m + m}) + v_{2} (\frac{m - m}{m + m}) = v_{1}

Rie9X59auniu2

Rys. 5. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie widoczny jest rysunek dwóch kul, niebieskiej po lewej stronie i czerwonej po prawej. Obie kule poruszają się w prawą stronę wzdłuż poziomej osie mała litera x narysowanej pod nimi. Do obu kul przyłożone są wektory prędkości, w postaci poziomych, czarnych strzałek skierowanych w prawo. Kula niebieska po lewej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym jeden a jej wektor prędkości oznaczono jako mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Kula czerwona po prawej stronie ma masę mała litera m z indeksem dolnym dwa a jej wektor prędkości oznaczono, jako mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości kuli pierwszej jest dłuższy niż wektor prędkości kuli drugiej. Kula niebieska dogoni kulę czerwoną. Po prawej stronie ilustracji widoczny jest skutek zderzenia sprężystego kul z po lewej stronie. Kule po zderzeniu nie złączyły się jedno ciało. Poruszają się oddzielnie w prawo, wzdłuż osi mała litera x narysowanej pod nimi w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Kula niebieska o masie mała litera m z indeksem dolnym jeden porusza się z prędkością mała litera u z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor równa się mała litera v z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor jej prędkości narysowano w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Kula czerwona o masie mała litera m z indeksem dolnym dwa porusza się również w prawo wzdłuż osi mała litera x. Jej wektor prędkości narysowano także w postaci poziomej, czarnej strzałki skierowanej w prawo i opisanej, jako mała litera u z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor równa się mała litera v z indeksem dolnym jeden. Kule po zderzeniu sprężystym wymieniły się prędkościami. Wektor prędkości kuli niebieskiej po zderzeniu jest krótszy niż wektor prędkości kuli czerwonej po zderzeniu. — Rys. 5. Kule wymieniają się prędkościami.

Oba ciała mają takie same masy mIndeks dolny 1 = mIndeks dolny 2, a jedno z nich jest nieruchome vIndeks dolny 2 = 0. Przykład: kula bilardowa uderza centralnie w drugą nieruchomą kulę.

u_{1} = v_{1} (\frac{m - m}{m + m}) + 0 \frac{m}{s} \cdot (\frac{2 m}{m + m}) = 0 \frac{m}{s} \cdot

u_{2} = v_{1} (\frac{2 m}{m + m}) + 0 \frac{m}{s} \cdot (\frac{m - m}{m + m}) = v_{1}

RpQKdyBgB6Qnw

Rys. 6. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie widoczny jest rysunek dwóch kul, niebieskiej po lewej stronie i czerwonej po prawej o jednakowych masach mała litera m. Kula niebieska porusza się w prawą stronę, wzdłuż poziomej osie mała litera x narysowanej pod kulami. Kula czerwona jest nieruchoma. Do kuli niebieskiej przyłożony jest wektor prędkości, w postaci poziomej, czarnej strzałki skierowanej w prawo. Kula niebieska po lewej stronie o masie mała litera m porusza się w prawo z prędkością mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Po prawej stronie ilustracji widoczny jest skutek zderzenia sprężystego kul z po lewej stronie. Kule po zderzeniu nie złączyły się jedno ciało. Kula niebieska zatrzymała się, ponieważ cała jej energia kinetyczna została przekazana kuli czerwonej. Kula czerwona porusza się w prawo z prędkością mała litera u z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor równą małą litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Kule wymieniły energiami kinetycznymi, a w związku z tym, że ich masy są równe, to wymieniły się również prędkościami. — Rys. 6. Pierwsza kula zatrzymuje się, druga porusza się z prędkością pierwszej kuli przed zderzeniem.

Druga kula ma masę dużo większą od pierwszej i jest nieruchoma: $m_{2} ≫ m_{1}$ , vIndeks dolny 2 = 0. Przykład: odbicie piłki od ściany lub od powierzchni Ziemi.

Dzielimy licznik i mianownik wzorów (11) i (12) przez mIndeks dolny 2. Ułamek $\frac{m_{1}}{m_{2}}$ można pominąć jako bardzo bliski zera.

u_{1} = v_{1} (\frac{\frac{m_{1}}{m_{2}} - 1}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1}) + 0 \frac{m}{s} \cdot (\frac{2}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1}) \approx - v_{1}

u_{2} = v_{1} (\frac{2 \frac{m_{1}}{m_{2}}}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1}) + 0 \frac{m}{s} \cdot (\frac{1 - \frac{m_{1}}{m_{2}}}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1}) \approx 0 \frac{m}{s}

RxzYVaEFWUfTi

Rys. 7. Rysunek podzielony jest na dwie części. Ilustracja po lewej stronie przedstawia rysunek dwóch kul, mniejszej, niebieskiej, po lewej stronie o masie mała litera m z indeksem dolnym jeden i większej, czerwonej o masie mała litera m z indeksem dolnym dwa po prawej stronie. Niebieska kula porusza się w prawo z prędkością mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Wektor prędkości narysowano w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo wzdłuż osi mała litera x narysowanej w postaci czarnej strzałki skierowanej w prawo i znajdującej się poniżej kul. Kula czerwona jest nieruchoma. Po prawej stronie widoczna jest sytuacja po zderzeniu sprężystym obu kul. Kula niebieska odbija się od kuli czerwonej, której masa jest znacznie większa. Kula niebieska porusza się w lewo z prędkością mała litera u z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor równą minus mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Wartość bezwzględna prędkości kuli niebieskiej nie mieniła się ale zwrot wektora prędkości zmienił się na przeciwny. Kula czerwona pozostała w stanie spoczynku. — Rys. 7. Mała kula odbija się od wielkiej z taką samą wartością prędkości, wielka pozostaje nieruchoma.

Słowniczek

zderzenie centralne

(ang.: central impact) zderzenie, w którym środki mas zderzających się ciał pozostają na jednej prostej.

zasada zachowania pędu

(ang.: law of conservation of momentum) – jedna z fizycznych zasad zachowania. Treść zasady: Suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała. Układ izolowany to taki układ, na który nie działają siły zewnętrzne lub siły te się równoważą.

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Warto przeczytać

Słowniczek