Przeczytaj

Często mówi się, że dwie figury są podobne, jeśli mają ten sam kształt, ale mogą różnić się rozmiarem. Jeśli figury są podobne i mają równe rozmiary, to wtedy mówi się, że są przystające.

Powyższa definicja jest niejednoznaczna, bo nie wiadomo co to jest kształt i co to jest rozmiar. Spróbujmy zatem uściślić definicję podobieństwa.

Powiemy, że figury są przystające, jeśli można dokładnie nałożyć jedną na drugą. Figury są podobne, jeśli jedną z nich możemy zmniejszyć lub zwiększyć proporcjonalnie przez jednokładnośćjednokładnośćjednokładność tak, żeby uzyskać figurę przystającą do drugiej.

Przypomnijmy definicję jednokładności. W tym celu popatrzmy na rysunek.

R2mAqWxJnKpE0

Ilustracja przedstawia dwie proste do siebie równoległe. Na pierwszej prostej zaznaczono kolejno, punkt O, punkt P prim oraz punkt P. Skala k jest większa od zera. Na drugiej prostej zaznaczono kolejno, punkt P prim, punkt O, punkt P. Skala k jest mniejsza od zera.

Obrazem punktu $P$ w jednokładności o środku $O$ i skali $k$ jest punkt $P'$ taki, że punkty $O$ , $P$ , $P'$ są współliniowe i $|O P'| = |k| \cdot |O P|$ , przy czym jeśli $k > 0$ to punkty $P$ i $P'$ są po tej samej stronie środka $O$ , a jeśli $k < 0$ , to punkty $P$ i $P'$ są po różnych stronach.

Ponadto, jeśli $|k| < 1$ to obraz figury jest mniejszy od figury, a gdy $|k| > 1$ , to obraz figury jest większy od figury. Gdy $k = 1$ , to obraz figury jest przystający do figury.

o własnościach jednokładności

Twierdzenie: o własnościach jednokładności

Obrazem odcinka $A B$ w jednokładności o środku $O$ i skali $k$ jest odcinek $A' B'$ taki, że $|A' B'| : |A B| = |k|$ , równoważnie $|A' B'| = |k| \cdot |A B|$ .
Jednokładność przekształca odcinek na równoległy do niego.
Jednokładność przekształca kąt na kąt o tej samej mierze.

Dowód

Do dowodu własności $1 - 3$ w przypadku, gdy $k > 0$ zastosujemy twierdzenie Talesa i odwrotność twierdzenia Talesa.

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A B C$ i jego obraz $A' B' C'$ w jednokładności o środku $O$ i skali $k > 0$ .

RkObyiYrnfGyx

Ilustracja przedstawia punkt O oraz trójkąt A B C oddalony od punktu. Każdy wierzchołek trójkąta został połączony z punktem O przerywanym odcinkiem. Na środku każdego odcinka zaznaczono nowe punkty, dzięki czemu powstał trójkąt A pirm B prim C prim. Trójkąt ten jest w skali jeden do dwóch w porównaniu z oryginalnym trójkątem A B C.

1. Z twierdzenia Talesa $\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{|O A'|}{|A' B'|} = \frac{k |O A|}{|A' B'|}$ .

Stąd $\frac{|A' B'|}{|A B|} = \frac{k |O A|}{|O A|} = k$ , co pokazuje własność $1$ .

2. Aby pokazać własność $2$ zauważmy, że $\frac{|O A|}{|O A'|} = \frac{1}{k} = \frac{|O B|}{|O B'|}$ , więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa $A' B' ∥ A B$ .

3. Niech $α$ oznacza kąt przy wierzchołku $A$ , a $β$ – kąt przy wierzchołku $A'$ $A'$ . Ponieważ z $2$ wynika, że $A' B' ∥ A B$ oraz $A' C' ∥ A C$ , to kąty $O A' B'$ i $O A B$ są równe jako kąty odpowiadające. Również kąty $O A' C'$ i $O A C$ są odpowiadające, więc też równe. Stąd $α$ i $β$ są różnicami równych kątów, więc są równe.

W przypadku, gdy $k < 0$ stosujemy analogiczne rozumowanie z wykorzystaniem uogólnienia twierdzenia Talesa.

Przykład 1

Na rysunku czworokąt $A' B' C' D'$ jest obrazem czworokąta $A B C D$ w jednokładności o środku $O$ .

R1XT1sc9XZCwO

Ilustracja przedstawia punkt O oraz czworokąt A B C D oddalony od punktu. Każdy wierzchołek czworokąta został połączony z punktem O prostą. W odległości dwa razy większej niż czworokąt A B C D od punktu O na prostych przechodzących przez wierzchołki czworokąta zaznaczono nowe punkty. Powstał czworokąt A prim B prim C prim D prim dwa razy większy od pierwotnego czworokąta. Odcinek A D ma długość trzy, natomiast odcinek D C ma długość dwa przecinek sześć. Odcinek A prim D prim ma długość sześć, natomiast odcinek D prim C prim ma długość pięć przecinek dwa.

Na podstawie długości boków podanych na rysunku wyznaczymy skalę jednokładności $k$ .

Rozwiązanie

Obrazem odcinka $A D$ długości $3$ jest odcinek $A' D'$ długości $6$ .

Zatem skala jednokładności jest równa $k = \frac{6}{3} = 2$ .

Oczywiście, wartość $k$ można wyznaczyć z dowolnych dwóch odpowiednich odcinków, na przykład na rysunku podane są długości odcinka $C D$ i jego obrazu $C' D'$ . Wtedy $k = \frac{5, 2}{2, 6} = 2$ .

Przykład 2

Na rysunku czworokąt $A' B' C' D'$ jest obrazem czworokąta $A B C D$ w jednokładności o środku $O$ .

R1PWzovaVWosX

Na podstawie długości boków podanych na rysunku wyznaczymy skalę jednokładności $k$ .

Rozwiązanie

Obliczamy stosunek długości odpowiadających sobie boków: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ . Teraz zauważamy, że czworokąt i jego obraz leżą po różnych stronach środka $O$ , więc skala jednokładności jest ujemna. Stąd $k = - \frac{1}{4}$ .

odcinków i kątów w czworokątach podobnych

Własność: odcinków i kątów w czworokątach podobnych

Jeśli czworokąty są podobne w skali $k$ , to:

stosunki odpowiednich odcinków są równe skali $k$ ;
kąty między odpowiednimi odcinkami w czworokącie są równe.

Dowód

Zgodnie z definicją figur podobnych, figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy można je tak ułożyć na płaszczyźnie i znaleźć taki środek jednokładności, żeby były jednokładne. Zatem dowód tych własności sprowadzimy do wykorzystania własności jednokładności.

Z własności $3 .$ jednokładności wynika, że kąty przekształcane są na kąty równej miary, a własność $1 .$ jednokładności mówi, że stosunki odpowiednich boków są równe skali podobieństwa. To pokazuje, że jeśli czworokąty są podobne, to mają równe odpowiednie kąty oraz równe stosunki odpowiednich boków.

relacji podobieństwa

Własność: relacji podobieństwa

$1 .$ Jeżeli figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F_{2}$ , to stosunki odpowiednich odcinków $a_{1}$ i $a_{2}$ w tych figurach są równe. Stosunek $k = \frac{a_{1}}{a_{2}}$ nazywamy skalą podobieństwa figury $F_{1}$ do figury $F_{2}$ .

$2 .$ Każda figura jest podobna do siebie.

$3 .$ Relacja podobieństwa jest symetryczna, to znaczy, że jeśli jedna figura jest podobna do drugiej, to druga figura jest też podobna do pierwszej.

$4 .$ Jeśli jedna figura jest podobna do drugiej w skali $k$ , to druga figura jest podobna do pierwszej w skali $\frac{1}{k}$ .

$5 .$ Relacja podobieństwa jest przechodnia, to znaczy, jeżeli jedna figura podobna jest do drugiej, a druga figura podobna do trzeciej, to również pierwsza figura podobna jest do trzeciej.

$6 .$ Jeśli jedna figura jest podobna do drugiej w skali $k$ , a druga figura jest podobna do trzeciej w skali $l$ , to pierwsza figura jest podobna do trzeciej w skali $k \cdot l$

o podobieństwie czworokątów

Twierdzenie: o podobieństwie czworokątów

$1 .$ Czworokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie kąty oraz równe stosunki odpowiednich boków.

$2 .$ Czworokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki odpowiednich boków i stosunki odpowiednich przekątnych są równe.

Dowód

Korzystając z własności odcinków i kątów w czworokątach podobnych dostajemy, że jeśli czworokąty są podobne to stosunki odpowiednich boków i przekątnych są równe oraz kąty między bokami w czworokącie są równe.

1. Aby pokazać, że zachodzi własność odwrotna, że jeżeli wielokąty mają równe odpowiednie kąty oraz równe stosunki odpowiednich boków, to są podobne, ułóżmy czworokąty tak, żeby miały wspólny wierzchołek i kąt przy tym wierzchołku, a odpowiadające boki miały wspólne ramię tego kąta jak na rysunku.

RfQ9jk7xmOX1S

Ilustracja przedstawia czworokąt A B C D. W punkcie A zaznaczono również punkt A prim, natomiast na bokach pierwotnego czworokąta zaznaczono nowe punkty. Na boku A B w odległości jednej czwartej odcinka od punktu A zaznaczono punkt B prim. Na boku A C w odległości jednej czwartej odcinka od punktu A zaznaczono punkt C prim. Na boku A D w odległości jednej czwartej odcinka od punktu A zaznaczono punkt D prim. W taki sposób powstał nowy czworokąt A prim B prim C pirm D prim wewnątrz czworokąta A B C D.

W ten sposób dostajemy jednokładność tych czworokątów o środku we wspólnym wierzchołku i skali równej stosunkowi odpowiednich boków.

2. Załóżmy, że stosunki odpowiednich boków i przekątnych dwóch czworokątów są równe.

R1L3fQVkwjmOt

Ilustracja przedstawia czworokąt A B C D przypominający deltoid oraz punkt S znajdujący się na przecięciu przekątnych A C i B D. Na przekątnych wewnątrz figury zaznaczono nowe punkty w taki sposób, że powstał zmniejszony obraz pierwotnego czworokąta, czworokąt A pirm B prim C prim D prim. Punkt S także jest jego środkiem.

Z założenia, stosunki boków $A B$ do $A' B'$ oraz $A D$ do $A' D'$ w trójkącie $A B D$ i odpowiadającym mu trójkącie $A' B' C'$ są równe, i są równe też stosunkowi przekątnej $B D$ i odpowiadającej jej przekątnej $B' D'$ . To na mocy cechy podobieństwacechy podobieństwa trójkątówcechy podobieństwa $b$ – $b$ – $b$ dowodzi, że trójkąty $A B D$ i $A' B' D'$ są podobne. Stąd odpowiednie kąty w tych trójkątach są równe. To samo rozumowanie prowadzi do wniosku, trójkąt $B C D$ i odpowiadający mu trójkąt są podobne, więc mają równe odpowiednie kąty. Wtedy kąt przy wierzchołku $D$ jako suma kątów trójkątów $A B D$ i $B C D$ jest równy odpowiadającemu mu kątowi w drugim czworokącie. W podobny sposób pokazuje się dla pozostałych kątów.

Przykład 3

Pokażemy, że równe stosunki odpowiednich boków nie wystarczą do pokazania podobieństwa czworokątów.

Rozwiązanie

Wystarczy wziąć rombrombromb, który nie jest kwadratem i kwadratkwadratkwadrat o takich samych długościach boków. Czworokąty te mają równe boki, ale odpowiednie kąty nie są równe.

Przykład 4

Pokażemy, że równość miar odpowiednich kątów nie wystarczy do pokazania podobieństwa czworokątów.

Rozwiązanie

Wystarczy wziąć kwadrat i prostokąt, który nie jest kwadratem. Czworokąty te mają równe kąty, ale stosunki odpowiednich boków nie są równe.

Przy ocenie czy czworokąty są podobne stajemy przed problemem określenia co to znaczy, że kąty i boki są odpowiednie. Należy dopasowywać boki i kąty poprzez szukanie cech charakterystycznych, na przykład porównujemy boki po uporządkowaniu w kolejności malejącej. Można również wziąć dłuższą/ krótszą przekątną, wysokości itp. Ważna jest też równoległość i prostopadłość boków i innych odcinków w czworokącie.

Przykład 5

Czworokąty $A B C D$ i $A' B' C' D'$ są podobne. Boki czworokąta $A B C D$ mają długości $8$ , $4$ , $16$ i $12$ centymetrów. Najdłuższy bok czworokąta $A' B' C' D'$ ma
$20 cm$ .

Wyznaczymy długości pozostałych boków czworokąta $A' B' C' D'$ .

Rozwiązanie

Najdłuższy bok czworokąta $A B C D$ ma długość $16 cm$ i odpowiada on najdłuższemu bokowi czworokąta $A' B' C' D'$ o długości $20 cm$ .

Stosunek tych boków wynosi $k = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ . Stąd stosunek pozostałych boków też jest równy $k$ , więc boki czworokąta $A' B' C' D'$ zapisane w kolejności malejącej mają długości:

$20$ , $12 \cdot \frac{5}{4} = 15$ , $8 \cdot \frac{5}{4} = 10$ , $4 \cdot \frac{5}{4} = 5$ centymetrów.

równoległoboków podobnych

Własność: równoległoboków podobnych

Równoległobok o bokach $a \geq b$ jest podobny do równoległoboku o bokach $c \geq d$ wtedy i tylko wtedy, gdy mają przynajmniej jeden kąt równy i $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Dowód

Jeśli znamy jeden z kątów równoległoboku, to potrafimy jednoznacznie wyznaczyć pozostałe kąty, więc kryterium równości kątów jest spełnione. Jeśli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , to po przekształceniu tej proporcji mamy $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ . Stąd stosunki odpowiednich boków są równe.

Przykład 6

Pokażemy, że romby, które mają przynajmniej jeden kąt równy są podobne.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, romby mają równe boki, więc stosunek boków w dowolnym rombie jest $1$ . Informacja o równości przynajmniej jednego kąta prowadzi do wyznaczenia pozostałych kątów. Ostatecznie, z własności równoległobokówrównoległobokrównoległoboków podobnych, takie romby są podobne.

prostokątów podobnych

Własność: prostokątów podobnych

Prostokąt o bokach $a \geq b$ jest podobny do prostokąta o bokach $c \geq d$ jeśli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Dowód

Prostokąty mają wszystkie kąty równe, więc kryterium równości kątów jest spełnione. Równość stosunków odpowiednich boków wynika z własności równoległoboków podobnych.

Przykład 7

Mamy do wyboru dwa telewizory, oba w rozdzielczości $3840 \times 2160 px$ . Mniejszy ma przekątną $55$ cali a większy – $65$ cali. Pokażemy, że ekrany obu telewizorów są podobnymi prostokątamiprostokątprostokątami oraz wyznaczymy skalę podobieństwa $k$ .

Rozwiązanie

Rozdzielczość ekranu $3840 \times 2160 px$ mówi, że jest $3840$ pikseli w każdej linii, a linii tych jest $2160$ . Przyjmujemy, że piksel jest małym kwadracikiem.

Zatem rozdzielczość mówi o proporcji obrazu, czyli o stosunku boku dłuższego do krótszego.

Stąd ekrany tych telewizorów są podobne w skali $k = \frac{55}{65} = \frac{11}{13}$ .

Przykład 8

Główną zasadą perspektywy w malarstwie (zobacz rysunek z wprowadzenia do tego materiału) jest to, że rzeczywiste pionowe obiekty równej wysokości i równooddalone od siebie, czyli tworzące przystające prostokąty, przekształcane są na trapezytrapeztrapezy podobne. Załóżmy, że latarnie $F K$ , $D L$ , $B M$ mają w rzeczywistości równe wysokości.

Na rysunku wykonanym zgodnie z zasadami perspektywy w malarstwie, otrzymaliśmy trapezy o podstawach $2$ , $3$ , $4$ .

R1EKSPRImGF2k

Ilustracja przedstawia Trapez prostokątny K F D L leżący na prostym boku F D, jego dłuższą podstawą jest odcinek K F. Obok znajduje się podobny trapez L D B M, także leżący na prostym boku, jego dłuższą podstawą jest odcinek L D. Odcinki F B i K M przedłużono, a miejsce ich przecięcia się utworzyło punkt S. Powstał trójkąt prostokątny K F S. Odcinek K F ma długość cztery, odcinek L D ma długość trzy, odcinek M B ma długość dwa, natomiast odcinki F D i D B mają długość dwa.

Pokażemy, że w rzeczywistości odległość między latarniami $K$ i $L$ jest inna niż między $L$ i $M$ .

Rozwiązanie

Gdyby odległości między latarniami $K$ i $L$ oraz $L$ i $M$ były równe, to trapezy $K L D F$ oraz $L M B D$ byłyby podobne. Wtedy stosunki odpowiednich boków, w szczególności podstaw trapezów byłyby równe.

Obliczmy $\frac{|K F|}{|L D|} = \frac{4}{3}$ , $\frac{|L D|}{|M B|} = \frac{3}{2}$ . Te stosunki nie są równe, więc w rzeczywistości odległość między latarniami $K$ i $L$ jest inna niż między $L$ i $M$ .

Związek podobieństwa czworokątów z ich polem

o polu czworokątów podobnych

Twierdzenie: o polu czworokątów podobnych

Jeżeli czworokąty są podobne w skali $k$ , to stosunek ich pól jest równy $k^{2}$ .

Dowód

Pokażemy wpierw, że jeśli trójkąty są podobne w skali $k$ , to stosunek ich pól jest równy $k^{2}$ .

Jeśli wysokość i podstawę jednego trójkąta oznaczymy symbolami $h$ , $a$ , to drugi trójkąt ma wysokość i podstawę $k h$ i $k a$ . Stosunek ich pól jest równy $\frac{\frac{k h \cdot k a}{2}}{\frac{h a}{2}} = \frac{k^{2} h a}{h a} = k^{2}$ .

Teraz dzielimy dany czworokąt jedną z przekątnych na dwa trójkąty i odpowiednią przekątną dzielimy czworokąt podobny na dwa trójkąty o polach $P_{1}$ , $P_{2}$ . Wtedy odpowiednie trójkąty powstałe w ten sposób są podobne, więc ich pola są równe $k^{2} P_{1}$ , $k^{2} P_{2}$ .

Wyznaczamy stosunek pól czworokątów $\frac{k^{2} P_{1} + k^{2} P_{2}}{P_{1} + P_{2}} = \frac{k^{2} (P_{1} + P_{2})}{P_{1} + P_{2}} = k^{2}$ .

Przykład 9

Na planie w skali $1 : 100$ obraz pokoju jest prostokątem o bokach $3 cm$ na $4 cm$ , a pole powierzchni obrazu kuchni w kształcie trapezu wynosi $8 {cm}^{2}$ .

Wyznaczymy wymiary i powierzchnię pokoju oraz powierzchnię kuchni.

Rozwiązanie

Skalą podobieństwa jest $k = \frac{1}{100}$ . Skala ta mówi, że wymiary pomieszczeń zostały $100$ razy zmniejszone i narysowane na planie.

Stąd wymiary pokoju wynoszą $100 \cdot 3 = 300 cm = 3 m$ oraz $100 \cdot 4 = 400 cm = 4 m$ , a pole powierzchni $3 \cdot 4 = 12 m^{2}$ .

Obraz kuchni ma pole $8 {cm}^{2}$ , więc powierzchnia kuchni wynosi

$8 \cdot 100^{2} = 80000 {cm}^{2} = 8 m^{2}$ .

Przykład 10

Standardowe rozmiary arkusza papieru opisywane są symbolami $A 0$ , $A 1$ , $\dots$ (zobacz rysunek)

RBfxTnnAXUkwL

Ilustracja przedstawia prostokąt o formacie A 0 utworzony z różnych formantów arkusza. Największym formatem jest format A 1. Jest on poziomy i zajmuje dolną połowę prostokąta. Następnie drugim największym prostokątem jest format A 2. Jest on pionowy i zajmuje on jedną czwartą całego prostokąta. Kolejnym formatem jest format A 3 i zajmuje jedną ósmą całego formatu. Analogicznie sytuacja powtarza się do najmniejszego formatu A8.

Kartka do drukarki ma rozmiar $A 4$ , arkusz papieru kancelaryjnego ma rozmiar $A 3$ .

$A 5$ powstaje po złożeniu kartki $A 4$ na pół, wzdłuż krótszego boku. Wszystkie arkusze $A_{i}$ są prostokątami podobnymi.

Wyznaczymy skalę podobieństwa arkuszy oznaczanych kolejnymi liczbami, symbolicznie $A_{i}$ oraz $A_{i + 1}$ .

Rozwiązanie

Pole prostokąta $A_{i}$ jest dwa razy większe niż pole prostokąta $A_{i + 1}$ . Stąd stosunek pola $A_{i}$ do pola $A_{i + 1}$ jest równy $2$ .

Z własności pola figur podobnych $k^{2} = 2$ , więc $k = \sqrt{2}$ .

Stąd $A_{i}$ jest podobny do $A_{i + 1}$ w skali $k = \sqrt{2}$ .

Przykład 11

Arkusz $A 4$ ma wymiary $210 mm \times 297 mm$ . Wyznaczymy wymiary arkusza $A 5$ .

Rozwiązanie

Ponieważ wyliczyliśmy w poprzednim przykładzie, że $A_{i}$ jest podobny do $A_{i + 1}$ w skali $k = \sqrt{2}$ , to $A 4$ jest podobny do $A 5$ w skali $k = \sqrt{2}$ .

Natomiast $A 5$ jest podobny do $A 4$ w skali $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Zatem wymiary arkusza $A 5$ to $\frac{210}{\sqrt{2}}$ i $\frac{297}{\sqrt{2}}$ .

Ze względów praktycznych wymiary arkusza podaje się w pełnych milimetrach, więc zastosujemy przybliżoną wartość $\sqrt{2} = 1, 414213562$ .

Wtedy przybliżone wymiary arkusza $A 5$ to $\frac{210}{1, 414213562} = 148 mm$ i $\frac{297}{1, 414213562} = 210 mm$ .

Uwaga!

Nie trzeba było w ten sposób wyliczać wymiarów arkusza $A 5$ , tylko pomyśleć praktycznie.

Skoro $A 5$ powstaje z $A 4$ przez złożenie $A 4$ na połowę wzdłuż krótszego boku, to krótszy bok $A 5$ ma długość $\frac{1}{2} \cdot 297 \approx 148 mm$ , a dłuższy bok $A 5$ ma długość $210 mm$ .

Przykład 12

Wyznaczymy skalę podobieństwa arkusza $A 2$ do $A 4$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $A 2$ jest podobny do $A 3$ w skali $k = \sqrt{2}$ oraz $A 3$ jest podobny do $A 4$ w skali $k = \sqrt{2}$ . To z własności relacji podobieństwa $A 2$ jest podobny do $A 4$ w skali $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ .

Słownik

jednokładność

o środku $O$ i skali $k \neq 0$ jest to przekształcenie płaszczyzny, które dowolnemu punktowi $P$ przyporządkowuje taki punkt $P^{'}$ , że $\vec{O P^{'}} = k \cdot \vec{O P}$ .

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne

trapez

czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

prostokąt

czworokąt, który ma wszystkie kąty proste

kwadrat

czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste

romb

czworokąt, który ma wszystkie boki równe

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Związek podobieństwa czworokątów z ich polem

Słownik