Przeczytaj

Temat ten poświęcimy przedstawieniu ważnego narzędzia, które pozwala stwierdzać zbieżność ciągu oraz wyznaczać jego granicę. Jest to twierdzenie o trzech ciągach. Intuicyjnie mówi ono, że jeśli uda nam się ograniczyć ogólny wyraz ciągu z góry oraz z dołu przez ogólne wyrazy ciągów zbieżnych do tej samej granicy, to wyjściowy ciąg też jest zbieżny do tej samej granicy. Formalnie można je zapisać następująco.

o trzech ciągach

Twierdzenie: o trzech ciągach

Niech dane będą nieskończone ciągi $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})$ . Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągówprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkich wyrazów tych ciągów zachodzą nierówności

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}

oraz

lim_{n \to + \infty} b_{n} = g, lim_{n \to + \infty} c_{n} = g,

to wówczas również

lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .

Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób można użyć powyższego twierdzenia do stwierdzania zbieżności ciągu i obliczenia jego granicy.

Przykład 1

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}}

Zauważmy, że dla każdego $n \in ℕ$

7 = \sqrt[n]{7^{n}} \leq \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}}

oraz

\sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}} \leq \sqrt[n]{7^{n} + 7^{n}} = \sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}} = \sqrt[n]{2} \cdot 7.

Wykazaliśmy zatem, że

7 \leq \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}} \leq \sqrt[n]{2} \cdot 7

Mamy więc dwa ciągi $b_n=7$ oraz $c_n=\sqrt[n]{2}\cdot 7$ takie, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=7 \quad , \quad \lim\limits_{n\to +\infty}c_n=7\cdot\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2}=7\cdot 1=7$

Ponieważ ciągi $b_n$ oraz $c_n$ są zbieżne do tej samej granicy równej $7$ więc z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}} = 7.

Przykład 2

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{2^{- n} - 3^{- n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} .

Na początek zauważmy, że

\sqrt[n]{2^{- n} - 3^{- n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} = \sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} .

Ponadto dla każdego $n \in ℕ$ mamy

\sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} \leq \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} = \sqrt[n]{3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}} = \sqrt[n]{3} \cdot \frac{2}{3}

oraz

\frac{2}{3} = \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n}} \leq \sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} .

Zatem

\frac{2}{3} \leq \sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} \leq \sqrt[n]{3} \cdot \frac{2}{3}

Ponieważ pierwszy i trzeci ciąg w powyższych nierównościach są zbieżne do granicy równej $\frac{2}{3}$ więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{(\frac{1}{2})^{n} - (\frac{1}{3})^{n} + (\frac{2}{3})^{n}} = \frac{2}{3}

Przykład 3

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n + {(- 1)}^{n}}{3 n + 5} .

Zauważmy, że wyrażenie ${(- 1)}^{n}$ przyjmuje tylko dwie wartości: $1$ lub $-1$ więc dla każdego $n \in ℕ$ wyraz ogólny ciągu możemy oszacować w następujący sposób

\frac{2 n - 1}{3 n + 5} \leq \frac{2 n + {(- 1)}^{n}}{3 n + 5} \leq \frac{2 n + 1}{3 n + 5}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n - 1}{3 n + 5} = lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{3 n + 5} = \frac{2}{3},

więc z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + (- 1)^{n}}{3 n + 5} = \frac{2}{3} .

Przykład 4

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

$a_n=\frac{3n+\cos n}{n+1}.$

Ponieważ $-1\le \cos{n}\le 1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , więc wyraz ogólny ciągu $a_n$ możemy oszacować następująco

$\frac{3n-1}{n+1}\le \frac{3n+\cos n}{n+1}\le \frac{3n+1}{n+1}.$

Po lewej oraz prawej stronie otrzymaliśmy ciągi $b_n=\frac{3n-1}{n+1}$ oraz $c_n=\frac{3n+1}{n+1}$ . Ponieważ

$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\lim\limits_{n\to +\infty}c_n=3$

więc z twierdzenia o trzech ciągach wnisokujemy, że $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=3$ .

Na koniec podamy jeszcze jedno twierdzenie.

o zachowaniu nierówności

Twierdzenie: o zachowaniu nierówności

Niech dane będą nieskończone ciągi $(a_{n}), (b_{n})$ . Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazówprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkich wyrazów tych ciągów zachodzi nierówność

a_{n} < b_{n}

oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a, lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

a \leq b .

Przykład 5

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym

$a_n=\frac{\sin^2n}{n+1}.$

Z faktu, że $-1\lt \sin{n}\lt 1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ wynika, że $\sin^2{n}\lt 1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Stąd

$\frac{\sin^2n}{n+1}\lt \frac{1}{n+1}.$

Z przytoczonej powyżej własności wnioskujemy zatem, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sin^2n}{n+1}\le \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}.$

Ponieważ $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}=0$ , więc

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sin^2n}{n+1}\le 0.$

Z drugiej strony jasne jest, że $\frac{\sin^2n}{n+1}\ge 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , co wraz z ostatnią nierównością oznacza, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sin^2n}{n+1}= 0.$

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej skończoną ich ilością

Wprowadzenie

Animacja

Słownik