Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

RHf0yrcbVWoCH

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, która jest jednocześnie bokiem $CB$, o pionowej przyprostokątnej $b$, która jest bokiem $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $c$, która jest bokiem $BA$. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku $C$ znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku $B$ znajduje się kąt $\beta$, a przy wierzchołku $A$ znajduje się kąt $\alpha$.

Do oznaczenia funkcji cosinus używa się skrótu „cos”.

Stosując oznaczenia z rysunku mamy, że przyprostokątną leżącą przy kącie $\alpha$ jest bok o długości $b$ a przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta $\beta$ jest bok o długości $a$.

Zatem, zgodnie z definicją, mamy: $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ oraz $\cos \beta =\frac{a}{c}$.

Obliczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R10t8CpMe85Uh

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o  pionowej przyprostokątnej o długości $2$ oraz o poziomej przyprostokątnej, czyli podstawie o długości $5$. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną, kąt $\beta$ między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną oraz kąt $\alpha$ między pionową przyprostokątną o długości $2$ a przeciwprostokątną.

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako $x$.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $2^2+5^2=x^2$.

Z równania wynika, że $x^2=29$, zatem $x=\sqrt{29}$ lub $x=-\sqrt{29}$.

Ponieważ $x>0$, więc $x=\sqrt{29}$.

Z definicji funkcji cosinus otrzymujemy, że:

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$

$\cos \beta =\frac{5\sqrt{29}}{29}$.

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\frac{2\cos 30°-\cos 60°}{3\cos 45°}$.

Po podstawieniu mamy:

$\frac{2\cos 30°-\cos 60°}{3\cos 45°}=\frac{2·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{3·{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}=$

$=\frac{\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}}=\frac{2\sqrt{3}-1}{2}·\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6}$.

Wiadomo, że suma cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymcosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnymcosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{2\sqrt{5}}{3}$. Obliczymy iloczyn cosinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RiGRXz1OOr0lW

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, która jest jednocześnie bokiem $CB$, o pionowej przyprostokątnej $b$, która jest bokiem $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $c$, która jest bokiem $AB$. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Przy wierzchołku $C$ oznaczono kąt prosty, przy wierzchołku $B$ oznaczono kąt $\beta$, a przy wierzchołku $A$ oznaczono kąt $\alpha$.

Z rysunku mamy, że $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ oraz $\cos \beta =\frac{a}{c}$.

Wiadomo, że $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\left(\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)=\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Podnosząc obie strony równania do kwadratu, mamy, że:

${\left(\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)}^2={\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)}^2$.

Po przekształceniu równanie jest postaci:

$\frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}=\frac{20}{9}$.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

$a^2+b^2=c^2$, więc $\frac{c^2+2ab}{c^2}=\frac{20}{9}$.

Równanie możemy zapisać w postaci $1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{20}{9}$.

Zatem $\frac{ab}{c^2}=\frac{11}{18}$, więc $\frac{a}{c}·\frac{b}{c}=\frac{11}{18}$.

Po podstawieniu, zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami, otrzymujemy: $\cos \alpha ·\cos \beta =\frac{11}{18}$.

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $10$, jeżeli wiadomo, że cosinus jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od cosinusa drugiego kąta ostrego.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1Atu4UKtcIR0

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, która jest jednocześnie bokiem $CB$, o pionowej przyprostokątnej $b$, która jest bokiem $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $c$, która jest bokiem $AB$. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Przy wierzchołku $C$ oznaczono kąt prosty, przy wierzchołku $B$ oznaczono kąt $\beta$, a przy wierzchołku $A$ oznaczono kąt $\alpha$.

Z warunków zadania wynika, że $\cos \alpha =2\cos \beta$ oraz $c=10$.

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ oraz $\cos \beta =\frac{a}{c}$.

Po podstawieniu do zależności $\cos \alpha =2\cos \beta$ mamy, że:

$\frac{b}{c}=2·\frac{a}{c}$, czyli $b=2a$.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

$c^2=a^2+{\left(2a\right)}^2$, więc $c=\sqrt{5}a$.

Otrzymujemy równanie $10=\sqrt{5}a$, zatem $a=2\sqrt{5}$.

Przyprostokątne mają więc długości $a=2\sqrt{5}$ oraz $b=4\sqrt{5}$.

Wykażemy, że jeżeli kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, to $\alpha >60°$.

Wprowadźmy następujące oznaczenia, jak na rysunku:

RkIBfuR9k4gCc

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o  poziomej przyprostokątnej, czyli podstawie o długości $1$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $3$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt $\alpha$ między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną.

Z rysunku możemy odczytać, że $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

Następnie dorysujmy, tak jak pokazano na rysunku, odcinek o długości $2$ oraz zaznaczmy kąt $\beta$.

R1DcSp6TNt31c

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o  poziomej przyprostokątnej, czyli podstawie o długości $1$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $3$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt $\alpha$ między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną. Wewnątrz tego trójkąta narysowano trójkąt prostokątny o  tej samej podstawie o długości $1$, przy czym o krótszej przeciwprostokątnej o długości $2$, którą poprowadzono do tej samej pionowej przyprostokątnej, która należy do dużego trójkąta. W mniejszym trójkącie pokrywa się kąt prosty, jednak między podstawą a przeciwprostokątną zaznaczono kąt $\beta$.

Z rysunku mamy, że $\cos \beta =\frac{1}{2}$, co oznacza że $\beta =60°$.

Ponieważ $\alpha >\beta$, więc $\alpha >60°$.

stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej