Przeczytaj
Z definicji romb jest czworokątem, który ma wszystkie boki równe.
Na początek przypomnimy pojęcia deltoidudeltoidu i równoległobokurównoległoboku, które są powiązane z rombemrombem.
Deltoidem nazywamy wypukły czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równych. Deltoid jest sumą dwóch trójkątów równoramiennych o wspólnej podstawie. Przekątne w deltoidzie przecinają się pod kątem prostym, przy czym punkt przecięcia przekątnych dzieli jedną z nich na połowy.
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Boki równoległe w równoległoboku są równe. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt jest równoległobokiem.
Stąd od razu dostajemy:
Romb jest deltoidem i równoległobokiem jednocześnie.
Romb jest deltoidem, bo ma wszystkie boki równe, a w szczególności ma dwie pary sąsiednich boków równych.
W deltoidzie przekątna, która jest podstawą trójkątów równoramiennych dzieli się w połowie. Ponieważ romb ma wszystkie boki równe, to punkt przecięcia przekątnych dzieli obie przekątne w połowie. Stąd wynika, że romb jest równoległobokiem.
Każdy kwadratkwadrat jest rombem. Prostokąt, który nie jest kwadratem nie jest rombem.
Rozwiązanie
Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to ma, między innymi, wszystkie boki równe, więc na mocy definicji jest rombem. Jeżeli prostokąt nie jest kwadratem, to ma nierówne sąsiednie boki, więc nie można powiedzieć, że ma wszystkie boki równe i stąd nie jest rombem.
Poniżej wypisane są własności rombu, które będą przydatne dalej.
Własności rombu:
Romb ma wszystkie boki równe.
Boki przeciwległe rombu są równoległe.
Przeciwległe kąty w rombie mają równe miary.
Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi stopni.
Przekątne rombu dzielą się w połowie i pod kątem prostym.
Przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne.
Przekątne są dwusiecznymi kątów rombu.
Pokażemy, że deltoid jest rombem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne przecinają się w połowie.
Rozwiązanie
Rzeczywiście, jeśli deltoid jest rombem to jego przekątne przecinają się w połowie.
Załóżmy, że w deltoidzie przekątne przecinają się w połowie. Wtedy jedna z nich jest podstawą trójkątów równoramiennych, na które dzieli ten deltoid. Zatem boki takiego deltoidu są równe, więc jest on rombem.
Na rysunku przedstawiony jest romb z zaznaczonymi przekątnymi, kątami i wysokością. Zastosujemy oznaczenie na przekątną oraz na przekątną .
Oznaczenia z tego rysunku będą wykorzystywane dalej.
Pole rombu jest równe , gdzie jest bokiem rombu, a jego wysokością.
Pole rombu o boku i kącie między tymi bokami jest równe .
Pole rombu o przekątnych , jest równe .
Wzór jest wzorem na pole równoległoboku.
Wzór . Wynika ze wzoru na pole równoległoboku , ale w rombie , więc .
Wzór jest wzorem na pole deltoidu.
Pokażemy, że wzór wynika ze wzoru na pole równoległoboku .
Rozwiązanie
Ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, to , a stąd , więc .
Bok rombu o polu ma długość .
Wyznaczymy wysokość rombu oraz sinussinus kątów rombu.
Rozwiązanie
, więc .
Wtedy trójkąt jest trójkątem prostokątnym, więc .
Ponieważ to .
Kąt ostry w rombie o boku ma miarę . Obliczymy pole tego rombu oraz określimy związek z polem trójkąta równobocznego.
Rozwiązanie
Stosujemy wzór na pole rombu .
Pole trójkąta równobocznego o boku jest równe , więc pole rombu o boku i kącie ostrym jest połową pola trójkąta równobocznego o boku .
Dla utrwalenia tej własności popatrzmy na rysunek, gdzie punkty , są obrazami punktu w odbiciu symetrycznym względem punktów i , odpowiednio.
Wtedy bok łączy środki odcinków i , więc jego długość jest równa połowie długości boku . Zastosowanie tej obserwacji również do prowadzi do wniosku, że trójkąt jest trójkątem równobocznym o boku i pole rombu jest równe połowie pola tego trójkąta.
Punkty , , , dzielą przekątne rombu w stosunku .
Pokażemy, że czworokąt jest rombem i wyznaczymy stosunek pól rombów i .
Rozwiązanie
Z podanej proporcji wynika, że punkty , , , są środkami połówek przekątnych , , , , odpowiednio. Wtedy odcinki , , , są równoległe do odpowiednich boków rombu i mają długość równą połowie długości boku tego rombu. Poza tym , .
Zatem jest rombem, a jego pole jest równe .
Stąd stosunek pól rombów i jest równy .
Wyznaczymy wzór na pole rombu, gdy podana jest długość boku i długość jednej z przekątnych .
Rozwiązanie
Zauważamy, że w rombie bok i połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokątny, w którym bok jest przeciwprostokątną. Niech oznacza długość drugiej przekątnej. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa wynika, że . Stąd i stąd .
Teraz możemy wyznaczyć pole rombu .
Romby w mozaikach
1. Popatrzmy na ośmiokąt foremnyośmiokąt foremny zaznaczony na mozaice na rysunku.
Składa się on z kwadratów i rombów, których kąt ostry jest równy . Boki kwadratów i rombów są równe.
2. Na rysunku poniżej zaznaczony jest sześciokąt foremny.
Składa się on z rombów, których kąt ostry jest równy .
Ćwiczenie praktyczne w grupach 2–3 osobowych.
Przygotujcie (można wyciąć z papieru) romby i kwadraty o boku w ilościach jak poniżej i zapiszcie jakie mają pola:
kwadratów,
rombów o kącie ostrym ,
rombów o kącie ostrym .
Ułóżcie z tych rombów ośmiokąt i sześciokąt przedstawione na powyższych rysunkach.
Wyznaczcie pola i długość boku ośmiokąta i sześciokąta.
Jak się zmienią pola i długości boków tych wielokątów, jeśli zbudujemy je z rombów o boku , , ?
Słownik
czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych
czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
czworokąt, który ma wszystkie boki równe
czworokąt wypukły, który ma dwie pary równych boków sąsiednich
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym
wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości