Przeczytaj

Z definicji romb jest czworokątem, który ma wszystkie boki równe.

Na początek przypomnimy pojęcia deltoidudeltoiddeltoidu i równoległobokurównoległobokrównoległoboku, które są powiązane z rombemrombrombem.

Deltoidem nazywamy wypukły czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równych. Deltoid jest sumą dwóch trójkątów równoramiennych o wspólnej podstawie. Przekątne w deltoidzie przecinają się pod kątem prostym, przy czym punkt przecięcia przekątnych dzieli jedną z nich na połowy.

Równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Boki równoległe w równoległoboku są równe. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt jest równoległobokiem.

Stąd od razu dostajemy:

Romb jako deltoid i równoległobok

Własność: Romb jako deltoid i równoległobok

Romb jest deltoidem i równoległobokiem jednocześnie.

Dowód

Romb jest deltoidem, bo ma wszystkie boki równe, a w szczególności ma dwie pary sąsiednich boków równych.

W deltoidzie przekątna, która jest podstawą trójkątów równoramiennych dzieli się w połowie. Ponieważ romb ma wszystkie boki równe, to punkt przecięcia przekątnych dzieli obie przekątne w połowie. Stąd wynika, że romb jest równoległobokiem.

Przykład 1

Każdy kwadratkwadratkwadrat jest rombem. Prostokąt, który nie jest kwadratem nie jest rombem.

Rozwiązanie

Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to ma, między innymi, wszystkie boki równe, więc na mocy definicji jest rombem. Jeżeli prostokąt nie jest kwadratem, to ma nierówne sąsiednie boki, więc nie można powiedzieć, że ma wszystkie boki równe i stąd nie jest rombem.

Poniżej wypisane są własności rombu, które będą przydatne dalej.

Własności rombu

Własność: Własności rombu

Własności rombu:

Romb ma wszystkie boki równe.

Boki przeciwległe rombu są równoległe.

Przeciwległe kąty w rombie mają równe miary.

Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi $180$ stopni.

Przekątne rombu dzielą się w połowie i pod kątem prostym.

Przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne.

Przekątne są dwusiecznymi kątów rombu.

Przykład 2

Pokażemy, że deltoid jest rombem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne przecinają się w połowie.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, jeśli deltoid jest rombem to jego przekątne przecinają się w połowie.

Załóżmy, że w deltoidzie przekątne przecinają się w połowie. Wtedy jedna z nich jest podstawą trójkątów równoramiennych, na które dzieli ten deltoid. Zatem boki takiego deltoidu są równe, więc jest on rombem.

Na rysunku przedstawiony jest romb $A B C D$ z zaznaczonymi przekątnymi, kątami i wysokością. Zastosujemy oznaczenie $d_{1}$ na przekątną $A C$ oraz $d_{2}$ na przekątną $B D$ .

RiyaWcg2pllXq

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku o długości a, zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinające się w punkcie E pod kątem prostym. Kąt przy wierzchołku A wynosi alfa, a przy wierzchołku B wynosi beta. Zaznaczono wysokość BF o długości h.

Oznaczenia z tego rysunku będą wykorzystywane dalej.

o polu rombu

Twierdzenie: o polu rombu

Pole rombu jest równe $P = a \cdot h$ , gdzie $a$ jest bokiem rombu, a $h$ jego wysokością.
Pole rombu o boku $a$ i kącie $α$ między tymi bokami jest równe $P = a^{2} \cdot \sin α$ .
Pole rombu o przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ jest równe $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ .

Dowód

Wzór $1$ jest wzorem na pole równoległoboku.

Wzór $2$ . Wynika ze wzoru na pole równoległoboku $P = a b \cdot \sin α$ , ale w rombie $a = b$ , więc $P = a^{2} \cdot \sin α$ .

Wzór $3$ jest wzorem na pole deltoidu.

Przykład 3

Pokażemy, że wzór $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ wynika ze wzoru na pole równoległoboku $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \cdot \sin γ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, to $γ = 90 °$ , a stąd $\sin γ = 1$ , więc $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ .

Przykład 4

Bok rombu o polu $15$ ma długość $5$ .

RCuAUdMEC97WY

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku o długości a. Kąty wewnętrzne przy wierzchołkach A i C wynoszą alfa, a przy wierzchołkach BD wynoszą beta. Na bok DC upuszczono wysokość o długości h.

Wyznaczymy wysokość rombu oraz sinussinus kątasinus kątów rombu.

Rozwiązanie

$a \cdot h = 5 \cdot h = 15$ , więc $h = 3$ .

Wtedy trójkąt $B F C$ jest trójkątem prostokątnym, więc $\sin α = \frac{h}{a} = \frac{3}{5}$ .

Ponieważ $α + β = 180 °$ to $\sin β = \sin (180 ° - α) = \sin α$ .

Przykład 5

Kąt ostry w rombie o boku $a$ ma miarę $60 °$ . Obliczymy pole tego rombu oraz określimy związek z polem trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

Stosujemy wzór na pole rombu $P = a^{2} \cdot \sin α = a^{2} \cdot \sin 60 ° = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}$ .

Pole trójkąta równobocznego o boku $2 a$ jest równe $a^{2} \cdot \sqrt{3}$ , więc pole rombu o boku $a$ i kącie ostrym $60 °$ jest połową pola trójkąta równobocznego o boku $2 a$ .

Dla utrwalenia tej własności popatrzmy na rysunek, gdzie punkty $A'$ , $C'$ są obrazami punktu $A$ w odbiciu symetrycznym względem punktów $B$ i $D$ , odpowiednio.

RV6mCXjV2ZSmy

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Kąt przy wierzchołku A wynosi 60 stopni. Do boku BC dołączono trójkąt równoboczny BCA prim o boku a. Do boku DC dołączono trójkąt równoboczny

Wtedy bok $D C$ łączy środki odcinków $A C'$ i $A' C'$ , więc jego długość jest równa połowie długości boku $A A'$ . Zastosowanie tej obserwacji również do $B C$ prowadzi do wniosku, że trójkąt $A A' C'$ jest trójkątem równobocznym o boku $2 a$ i pole rombu $A B C D$ jest równe połowie pola tego trójkąta.

Przykład 6

Punkty $F$ , $G$ , $H$ , $I$ dzielą przekątne rombu $A B C D$ w stosunku $1 : 3$ .

R3yYmAquFY7A5

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne AC i DC przecinające się w punkcie S. Zaznaczone punkty F, G, H, I dzielące przekątne w stosunku 1 do trzech. Punkty tworzą romb FGHI o środku S.

Pokażemy, że czworokąt $F G H I$ jest rombem i wyznaczymy stosunek pól rombów $A B C D$ i $F G H I$ .

Rozwiązanie

Z podanej proporcji $1 : 3$ wynika, że punkty $F$ , $G$ , $H$ , $I$ są środkami połówek przekątnych $D S$ , $C S$ , $B S$ , $A S$ , odpowiednio. Wtedy odcinki $F G$ , $G H$ , $H I$ , $I F$ są równoległe do odpowiednich boków rombu $A B C D$ i mają długość równą połowie długości boku tego rombu. Poza tym $|I G| = \frac{|A C|}{2}$ , $|F H| = \frac{|B D|}{2}$ .

Zatem $F G H I$ jest rombem, a jego pole jest równe $\frac{|I G| \cdot |F H|}{2} = \frac{\frac{|A C|}{2} \cdot \frac{|B D|}{2}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{|A C| \cdot |B D|}{2}$ .

Stąd stosunek pól rombów $A B C D$ i $F G H I$ jest równy $4 : 1$ .

Przykład 7

Wyznaczymy wzór na pole rombu, gdy podana jest długość boku $a$ i długość jednej z przekątnych $d$ .

Rozwiązanie

Zauważamy, że w rombie bok i połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokątny, w którym bok $a$ jest przeciwprostokątną. Niech $x$ oznacza długość drugiej przekątnej. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} = {(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{d^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4}$ . Stąd $x^{2} = 4 a^{2} - d^{2}$ i stąd $x = \sqrt{4 a^{2} - d^{2}}$ .

Teraz możemy wyznaczyć pole rombu $P = \frac{d \cdot x}{2} = \frac{d \sqrt{4 a^{2} - d^{2}}}{2}$ .

Romby w mozaikach

1. Popatrzmy na ośmiokąt foremnywielokąt foremnyośmiokąt foremny zaznaczony na mozaice na rysunku.

RC21EA9TQKbDx

Ilustracja przedstawia mozaikę w kształcie ośmiokąta foremnego. Składa się z 8 kwadratów oraz 16 rombów. Boki figur są równe.

Składa się on z kwadratów i rombów, których kąt ostry jest równy $\frac{360 °}{8} = 45 °$ . Boki kwadratów i rombów są równe.

2. Na rysunku poniżej zaznaczony jest sześciokąt foremny.

RB2nVbDKPXhN1

Ilustracja przedstawia mozaikę w kształcie sześciokąta foremnego. Składa się z 12 rombów.

Składa się on z rombów, których kąt ostry jest równy $\frac{360 °}{6} = 60 °$ .

Problem 1

Ćwiczenie praktyczne w grupach 2–3 osobowych.

Przygotujcie (można wyciąć z papieru) romby i kwadraty o boku $5$ w ilościach jak poniżej i zapiszcie jakie mają pola:
- $10$ kwadratów,
- $20$ rombów o kącie ostrym $45 °$ ,
- $16$ rombów o kącie ostrym $60 °$ .

Ułóżcie z tych rombów ośmiokąt i sześciokąt przedstawione na powyższych rysunkach.

Wyznaczcie pola i długość boku ośmiokąta i sześciokąta.

Jak się zmienią pola i długości boków tych wielokątów, jeśli zbudujemy je z rombów o boku $3$ , $10$ , $256$ ?

Słownik

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

kwadrat

czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste

romb

czworokąt, który ma wszystkie boki równe

deltoid

czworokąt wypukły, który ma dwie pary równych boków sąsiednich

sinus kąta

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

wielokąt foremny

wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Romby w mozaikach

Słownik