Warto przeczytać

Przyjrzyjmy się drugiej zasadzie dynamiki dla ruchu obrotowego. Stwierdza ona, że jeśli do ciała o momencie bezwładności $I$ przyłożony jest wypadkowy moment siły $\overrightarrow{M}$, to ciało to będzie się obracało z przyspieszeniem kątowym $\overrightarrow{\epsilon }$, wprost proporcjonalnym do momentu siły, o wartości $\epsilon$ odwrotnie proporcjonalnej do momentu bezwładności tej bryły.

RpzXIVlwhBaQA

Rys. 1. Na rysunku znajduje się kolista płyta ustawiona w płaszczyźnie pionowej, prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Na kole zapisano literę wielkie i, która symbolizuje moment bezwładności koła. Narysowano dwa promienie koła: jeden skierowany w górę i do nas, drugi skierowany w górę i od nas. Między promieniami narysowano łuk zakończony strzałką skierowaną w do nas, która wskazuje kierunek obrotu koła. Przez środek koła narysowano poziomą linię prostą prostopadłą do płaszczyzny koła. Wzdłuż tej linii narysowano dwa wektory zaczepione w środku koła i skierowane w prawo. Dłuższy wektor, podpisany literą wielkie M ze strzałką nad nią, symbolizuje moment siły. Krótszy wektor, podpisany grecką literą małe epsilon ze strzałką nad nią, symbolizuje przyspieszenie kątowe.

Jednocześnie z definicji przyspieszenia kątowego wiemy, że zależność pomiędzy prędkością kątową $\omega$ i przyspieszeniem kątowym $\epsilon$ ma postać $\omega =\epsilon t$, gdy początkowa prędkość kątowa ciała ${\omega }_0=0$. Zatem przekształcając powyższy wzór otrzymamy następującą zależność:

Ta zależność pozwala nam wyznaczyć moment bezwładności badanego obiektu – jeśli wytworzymy moment siły o znanej wartości oraz wyznaczymy przyspieszenie kątowe, jakiego doznaje ten obiekt (poprzez pomiar czasu i osiąganej prędkości obrotowej).

Prowadząc takie pomiary, należy pamiętać, że moment bezwładności ciała zależy od tego, wokół jakiej osi się ono obraca. Jeśli obrót następuje wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała, moment bezwładności można obliczyc z definicji:

gdzie $\Delta m_i$ to masa małego fragmentu tej bryły, znajdująca się w odległości $r_i$ od osi obrotu. Stosując tę definicję, można wyprowadzić następujące wzory dla prostych brył:

Jeśli oś, wokół której obraca się bryła, znajduje się w odległości $d$ od środka masy tej bryły, zastosować należy twierdzenie SteineraJakob SteinerSteinera. Stwierdza ono, że całkowity moment bezwładności tej bryły to suma jej momentu bezwładności wokół osi przechodzącej przez jej środek masy $I_0$ oraz iloczynu jej masy i kwadratu odległości środka masy od osi obrotu:

Rozważmy teraz następującą sytuację: do bryły o momencie bezwładności $I_0$ przyłożono moment siły $\overrightarrow{M}$ w taki sposób, że zaczęła się ona obracać dookoła osi odległej o $d$ od swojego środka masy. Taki układ można zrealizować np. umieszczając bryłę na obracającej się tarczy (Rys. 2.)

R1HooHq35KUgU

Rys. 2. Na rysunku znajduje się pozioma, kolista platforma. Narysowano pionową oś symetrii platformy. Łuk wokół osi zakończony strzałką skierowaną przeciwnie do ruch wskazówek zegara, gdy patrzymy od góry, wskazuje kierunek obrotu platformy. Prędkość kątową platformy oznaczono grecką literą małe omega z indeksem dolnym małe r. Na platformie ustawiono pionowo mały walec w odległości małe d od osi. Masę walca oznaczono literą małe m.

Ile czasu $t_r$ będzie trwało rozpędzenie tej bryły do zadanej prędkości kątowej ${\omega }_r$? Odpowiedź znajdziemy, przekształcając wcześniej wyprowadzony wzór na moment bezwładności. Po dostosowaniu oznaczeń ma on postać

Wystarczy, że obliczając $I$ uwzględnimy twierdzenie SteineraJakob SteinerSteinera, czyli napiszemy

Przekształcając powyższe, otrzymamy

Jak widzimy, pomiar czasu rozpędzania bryły - za pomocą zadanego, stałego momentu siły - do określonej prędkości kątowej, może posłużyć do eksperymentalnego wyznaczenia momentu bezwładności obiektu. W szczególności – do doświadczalnego zbadania stosowalności twierdzenia SteineraJakob SteinerSteinera.

Słowniczek