Przeczytaj
Warto przeczytać
Przyjrzyjmy się drugiej zasadzie dynamiki dla ruchu obrotowego. Stwierdza ona, że jeśli do ciała o momencie bezwładności przyłożony jest wypadkowy moment siły , to ciało to będzie się obracało z przyspieszeniem kątowym , wprost proporcjonalnym do momentu siły, o wartości odwrotnie proporcjonalnej do momentu bezwładności tej bryły.
Jednocześnie z definicji przyspieszenia kątowego wiemy, że zależność pomiędzy prędkością kątową i przyspieszeniem kątowym ma postać , gdy początkowa prędkość kątowa ciała . Zatem przekształcając powyższy wzór otrzymamy następującą zależność:
Ta zależność pozwala nam wyznaczyć moment bezwładności badanego obiektu – jeśli wytworzymy moment siły o znanej wartości oraz wyznaczymy przyspieszenie kątowe, jakiego doznaje ten obiekt (poprzez pomiar czasu i osiąganej prędkości obrotowej).
Prowadząc takie pomiary, należy pamiętać, że moment bezwładności ciała zależy od tego, wokół jakiej osi się ono obraca. Jeśli obrót następuje wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała, moment bezwładności można obliczyc z definicji:
gdzie to masa małego fragmentu tej bryły, znajdująca się w odległości od osi obrotu. Stosując tę definicję, można wyprowadzić następujące wzory dla prostych brył:
Bryła o masie | Przebieg osi obrotu bryły | Moment |
Walec o promieniu | ||
Kula o promieniu | ||
Pręt o długości |
Jeśli oś, wokół której obraca się bryła, znajduje się w odległości od środka masy tej bryły, zastosować należy twierdzenie SteineraSteinera. Stwierdza ono, że całkowity moment bezwładności tej bryły to suma jej momentu bezwładności wokół osi przechodzącej przez jej środek masy oraz iloczynu jej masy i kwadratu odległości środka masy od osi obrotu:
Rozważmy teraz następującą sytuację: do bryły o momencie bezwładności przyłożono moment siły w taki sposób, że zaczęła się ona obracać dookoła osi odległej o od swojego środka masy. Taki układ można zrealizować np. umieszczając bryłę na obracającej się tarczy (Rys. 2.)
Ile czasu będzie trwało rozpędzenie tej bryły do zadanej prędkości kątowej ? Odpowiedź znajdziemy, przekształcając wcześniej wyprowadzony wzór na moment bezwładności. Po dostosowaniu oznaczeń ma on postać
Wystarczy, że obliczając uwzględnimy twierdzenie SteineraSteinera, czyli napiszemy
Przekształcając powyższe, otrzymamy
Jak widzimy, pomiar czasu rozpędzania bryły - za pomocą zadanego, stałego momentu siły - do określonej prędkości kątowej, może posłużyć do eksperymentalnego wyznaczenia momentu bezwładności obiektu. W szczególności – do doświadczalnego zbadania stosowalności twierdzenia SteineraSteinera.
Słowniczek
szwajcarski matematyk żyjący w latach 1796‑1863, zajmujący się głównie geometrią.