Symulacja interaktywna

Moment bezwładności bryły i jego zależność od położenia osi obrotu

Wykorzystaj symulację i przeprowadź dwa eksperymenty związane z momentem bezwładności brył oraz twierdzeniem Steinera o momencie bezwładności względem różnych osi obrotu.

R8weBNw3bymgP

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Doświadczenie 1

Moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy.

Przeprowadź symulowane doświadczenie opisane w poniższym problemie i zweryfikuj postawioną hipotezę.

Problem badawczy

Dla wielu brył możliwe jest wyrażenie momentu bezwładności w postaci $I = k \cdot m x^{2}$ , gdzie $x$ to charakterystyczny rozmiar bryły (np. długość, wysokość, promień czy średnica), $m$ - jej masa, zaś $k$ to współczynnik charakterystyczny dla kształtu tej bryły oraz dla rozkładu masy w jej wnętrzu. Przykłady:
- pręt o masie $m$ i długości $l$ (gdy oś przechodzi przez jego środek, prostopadle do niego) ma $k = \frac{1}{12},$ więc jego moment bezwładności to $I = \frac{1}{12} m l^{2}$ ;
- walec o masie $m$ i promieniu $r$ ma $k = \frac{1}{2}$ (gdy oś pokrywa się z jego osią symetrii), więc jego moment bezwładności $I = \frac{1}{2} m r^{2}$ .

Hipoteza

Współczynnik $k$ nie zależy od momentu siły rozkręcającego bryłę ani od prędkości kątowej, do jakiej zostaje rozkręcona.

Instrukcja:

Przeprowadź, krok po kroku, symulowany eksperyment. Jego celem jest zweryfikowanie powyższego związku poprzez wyznaczenie wartości współczynnika $k$ .

1. Wybierz poziom podstawowy symulacji.
Wskaż bryłę (pręt albo walec), której moment bezwładności badasz.
Zanotuj jej masę.
Bryła będzie umieszczona pomiędzy dwiema tarczami, które wprawią ją w ruch obrotowy. Moment bezwładności tych tarcz pomijamy.

2. Wykorzystaj podziałkę na ekranie i zmierz charakterystyczny rozmiar badanej bryły – długość $l$ pręta albo promień $r$ walca.

3. Nastaw dowolną wartość momentu siły $M$ rozkręcającego bryłę. Nastaw także prędkość kątową $ω$ , do której bryła zostanie rozpędzona.

4. Zsuń tarcze rozpędzające i wciśnij START. Po pewnym czasie pojawi się czas $t$ , po którym bryła osiągnęła nastawioną prędkość kątową $ω$ – to jest wynikiem pojedynczego pomiaru.

5. Wciśnij STOP. Zapisz nastawione wartości i uzyskany wynik w tabeli pomiarów.

6. Wciśnij RESET. Wykonuj ponownie kroki 3, 4 i 5, wybierając różne zestawy wartości $M$ oraz $ω$ , aż do uzyskania żądanej liczby wyników (co najmniej 6‑8, najlepiej kilkanaście).

Nagłówek tabeli z wynikami symulacji.

$M [Nm]$	$ω [rad/s]$	$t [s]$	$I {[kgm}^{2}]$	$k$

Opracowanie wyników

1. Oblicz średnią wartość współczynnika $k$ badanej bryły.

2. Oblicz niepewność pomiarową $u(k)$ .

Podsumowanie

Rozstrzygnij, czy uzyskany wynik jest zgodny z wynikiem wzorcowym dla bryły, którą badasz. Jest on podany w sekcji „Problem badawczy” (oznaczmy ten wynik jako $k_w$ ).
Jako kryterium zgodności przyjmij zawieranie się wartości wzorcowej $k_w$ w przedziale o szerokości $4u(k)$ , którego środek przypada w wartości $k$ :

k zgodne z k_{w} \Leftrightarrow k_{w} \in (k - 2 u (k); k + 2 u (k))

Polecenie 1

W prowadzeniu eksperymentów obowiązuje zasada, by zmieniać tylko jeden parametr układu na raz. Czy zalecenie, sformułowane w punkcie 3. instrukcji, by dowolnie nastawiać wartości dwóch parametrów, $M$ i $ω$ , nie jest sprzeczne z tą zasadą? Rozstrzygnij ten problem i podaj krótkie uzasadnienie swego rozstrzygnięcia.

Zalecenie nie jest sprzeczne z przytoczoną zasadą. Hipoteza badawcza - współczynnik $k$ jest wielkością niezależną od obu tych parametrów - wręcz wymusza nastawianie różnych wartości $M$ i $ω$ . Tak więc charakter samego badania uzasadnia uczynienie świadomego odstępstwa od tej zasady.

Doświadczenie 2

Moment bezwładności bryły względem osi nieprzechodzącej przez jej środek masy. Twierdzenie Steinera.

Przeprowadź symulowane doświadczenie opisane w poniższym problemie i zweryfikuj postawioną hipotezę.

Problem badawczy

Załóżmy, że znamy $I_0$ – moment bezwładności bryły o masie $m$ względem osi przechodzącej przez jej środek masy. Twierdzenie Steinera pozwala wyrazić moment bezwładności $I$ tej bryły względem innej osi, równoległej do pierwszej. Istotnym czynnikiem w tym wyrażeniu jest odległość $d$ pomiędzy osiami obrotu.

Hipoteza

Zależność $I(d)$ dana jest wyrażeniem

I (d) = I_{0} + m \cdot d^{2}

Instrukcja:

Przeprowadź, krok po kroku, symulowany eksperyment.
Jego celem jest zweryfikowanie powyższego związku poprzez zbadanie charakteru zależności $I(d^2)$ .

1. Wybierz poziom zaawansowany.
Wskaż bryłę (pręt albo walec), której moment bezwładności badasz.
Zanotuj jej masę.
Bryła będzie umieszczona pomiędzy dwiema tarczami, które wprawią ją w ruch obrotowy. Moment bezwładności tych tarcz pomijamy.

2. Wykorzystaj podziałkę na ekranie i zmierz charakterystyczny rozmiar badanej bryły – długość $l$ pręta albo promień $r$ walca.

3. Nastaw dowolną wartość momentu siły $M$ rozkręcającego bryłę. Nastaw także prędkość kątową $ω$ , do której bryła zostanie rozpędzona.
Nie zmieniaj tych parametrów podczas eksperymentu.

4. Nastawiaj, kolejno, różne odległości $d$ środka masy od osi obrotu bryły.

5. Zsuń tarcze rozpędzające i wciśnij START. Po pewnym czasie pojawi się czas $t$ , po którym bryła osiągnęła nastawioną prędkość kątową $ω$ – to jest wynikiem pojedynczego pomiaru.

6. Wciśnij STOP. Zapisz uzyskany wynik w tabeli pomiarów.

6. Przed pomiarem dla kolejnej wartości $d$ wciśnij RESET. Wykonaj co najmniej 6‑8 pomiarów dla wartości równomiernie rozłożonych w całym dostępnym zakresie zmienności $d$ .

Nagłówek tabeli z wynikami symulacji.

$d [cm]$	$d^{2} {[cm}^{2}]$	$t [s]$	$I {[kgm}^{2}]$

Opracowanie wyników

1. Sporządź wykres zależności $I(d^2)$ .

2. Poprowadź na wykresie linię prostą, którą uznajesz za najlepiej dopasowaną do punktów pomiarowych.

Podsumowanie

Rozstrzygnij, czy można uznać odchylenia punktów od prostej za przypadkowe.
Jeśli tak, to:
- podaj argumenty przemawiające za przyjęciem hipotezy,
- zinterpretuj punkt przecięcia prostej z osią rzędnych wykresu, na której odłożony jest moment bezwładności.

Polecenie 2

Uzasadnij konieczność przestrzegania zalecenia zawartego w punkcie 3. instrukcji, by nie zmieniać wartości momentu siły oraz końcowej prędkości kątowej podczas symulacji.

W odróżnieniu od pierwszego doświadczenia, w drugim moment bezwładności $I$ bryły nie jest stały, lecz zmienny. Celem doświadczenia jest zbadanie charakteru jego zależności od konkretnego parametru - odległości $d$ środka masy badanej bryły od osi obrotu. Dla przejrzystości metody oraz uproszczenia interpretacji wyników lepiej jest więc nie zmieniać $M$ i $ω$ , by związek $I$ z czasem rozkręcania $t$ zawierał tylko jedną zmienną a nie trzy.

Doświadczenie 3

Zaprojektuj własne badanie

Polecenie 3

Zaproponuj kolejne zagadnienie, związane z momentem bezwładności i twierdzeniem Steinera, które można zbadać za pomocą symulacji. Przygotuj kartę pracy dla takiego badania. Określ w niej problem, czyli cel badania, hipotezę badawczą w postaci oczekiwanych wyników oraz wskaż procedurę wykorzystania symulacji. Zamieść także wskazówki co do sposobu opracowania i przedstawienia wyników symulacji.

Zapoznaj się z opisem doświadczenia związanym z momentem bezwładności brył oraz twierdzeniem Steinera o momencie bezwładności względem różnych osi obrotu.

Polecenie 1

Zgarniacz do wody – w najprostszej wersji – składa się długiego drewnianego kija, do końca którego przymocowany jest element zgarniający. Przypomina on pręt z przymocowanym paskiem gumy, ścierki lub gąbki, zależnie od tego czy wodę chcemy zgarniać czy zbierać. Element ten jest przymocowany w swoim środku, pod kątem prostym do kija. Przykładem zgarniacza jest domowy mop do mycia podłogi.
Dla potrzeb wykonywanego eksperymentu możesz sobie wyobrazić, że do kija przymocowany jest tylko poprzeczny metalowy pręt o określonej masie. Masa ta jest mniejsza od masy kija; podobnie długość pręta jest mniejsza od długości kija.
Dysponujesz jeszcze dwoma ziemniakami, które możesz nadziewać na pręt – po jednym z każdej strony. Masy i rozmiary ziemniaków są podobne. Masy te są zdecydowanie większe od masy pręta, ale rozmiary ziemniaków są zdecydowanie mniejsze od długości pręta. Przygotuj także dwa niewielkie kawałki plasteliny, którymi przymocujesz te ziemniaki do pręta, by się z niego nie zsuwały.
Jeśli wymyślisz inny sposób umocowania na pręcie dwóch obiektów, podobnych w rozmiarach i masach do ziemniaków, to przygotuj swój wariant eksperymentu.

Przeprowadzisz cztery próby. Różnice pomiędzy nimi będą związane z prętem i ziemniakami. W każdej próbie ustaw kij pionowo, prętem do góry, na tym samym twardym i gładkim podłożu. Chwyć kij w wyprostowane dłonie i wpraw go kilka razy w ruch obrotowy. Przesuwaj przy tym, naprzemiennie, jedną dłoń od siebie a drugą ku sobie i odwrotnie. Nie musisz tego robić szybko; jeden pełny cykl ruchu dłońmi może trwać nawet 3‑4 sekundy. Staraj się raczej, by w każdym doświadczeniu czas trwania cyklu był podobny.

W każdej próbie oceń opór, jaki stawia Ci kij, zarówno w fazie jego rozpędzania, jak i fazie jego hamowania. Twoim zadaniem będzie porównanie odczuwanych oporów oraz wskazanie przyczyn ich występowania.

Ćwiczenie 1

Wykonaj próbę z samym kijem, pozbawionym pręta. Opór, który odczuwasz, jest niewielki. Nie wynika on z obecności oporów ruchu – te są w całym Twoim eksperymencie pomijalne – lecz z właściwości materii zwanej inercją.

RRpjwqx81ctWY

Ćwiczenie 2

Wykonaj próbę z prętem umocowanym na kiju. Przekonaj się, że odczuwasz opór zauważalnie większy, niż w próbie 1.

RkdCeqLI32BAy

Wynik ten oznacza, że moment bezwładności kija z prętem jest zdecydowanie większy od momentu bezwładności samego kija. Uzupełnij tekst objaśniający ten fakt. Choć pręt ma 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła masę niż kij, to wynik doświadczenia wskazuje, że jego moment bezwładności jest 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła od momentu bezwładności kija. Nie ma w tym sprzeczności, gdyż moment bezwładności ciała zależy nie tylko od ilości zawartej w nim 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła, czyli od jego 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła, ale także od odległości od 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła, w jakiej jest ona rozmieszczona.
W Twoim eksperymencie oś obrotu jest 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła do długości (wysokości) kija i przechodzi przez jego środek masy. Ta sama oś obrotu także przechodzi przez środek pręta, ale jest do niego 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła. Dlatego, dla potrzeb porównania momentów bezwładności, istotne jest porównanie 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła pręta 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła kija. To porównanie pokazuje, że pomimo mniejszej masy, pręt może mieć większy moment bezwładności niż kij.
Podsumujmy krótko: masa pręta jest rozmieszczona znacznie 1. środka ciała, 2. większy, 3. materii, 4. średnicy, 5. masy, 6. brzegu ciała, 7. wody, 8. bliżej, 9. z długością, 10. ze średnicą, 11. większą, 12. dalej od, 13. równoległa, 14. mniejszy, 15. mniejszą, 16. osi obrotu, 17. długości, 18. prostopadła osi obrotu, niż niewiele większa masa kija – stąd relacja pomiędzy ich momentami bezwładności.

Ćwiczenie 3

Na pręcie umocuj ziemniaki, po jednym możliwie blisko każdego końca pręta. Wykonaj kolejną próbę.
Przekonaj się, że odczuwasz opór zdecydowanie większy, niż w próbie 2.

Rh8Yb4FlLdGoG

Ćwiczenie 4

Ostatnią próbę wykonasz z prętem i ziemniakami, ale tym razem umocujesz każdy ziemniak w połowie odległości pomiędzy środkiem a końcem pręta. Zanim jednak to zrobisz, spróbuj przewidzieć wynik takiej próby.

RDAsyZyPRdCve

Ćwiczenie 5

Podsumowanie
Wykonaj próbę opisaną w poprzednim ćwiczeniu.

RHctXLiSYrYHp

Przeczytaj

Sprawdź się

Moment bezwładności bryły i jego zależność od położenia osi obrotu

Opracowanie wyników

Opracowanie wyników