Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RuEvjwiFqEofv1

Ćwiczenie 1

Dostępne opcje do wyboru:

{NaNO}_{3}

NaCl

H_{2}^{+}

. Polecenie: Twierdzenie Steinera pozwala wyznaczyć moment bezwładności bryły obracającej się wokół osi nieprzechodzącej przez jej środek masy. Jeśli bryła ta ma masę m, moment bezwładności względem osi przechodzącej przez jej środek masy I₀, a środek masy znajduje się w odległości d od osi obrotu, to wzór ten przyjmuje postać. luka do uzupełnienia

+ {AgNO}_{3} \to

luka do uzupełnienia

+ AgCl ↓

Twierdzenie Steinera pozwala wyznaczyć moment bezwładności bryły obracającej się wokół osi nieprzechodzącej przez jej środek masy. Jeśli bryła ta ma masę m, moment bezwładności względem osi przechodzącej przez jej środek masy I₀, a środek masy znajduje się w odległości d od osi obrotu, to wzór ten przyjmuje postać:

-, $m^{2}$ , $d$ , +, $m$ , $3$ , $2$ , $I_{0}$

$I$ =

Ćwiczenie 2

RsqzoG2UwKVNf

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1Eh3eTpfeqdL

Długi pręt (np. patyk, kij od szczotki, pałeczka perkusyjna) może obracać się dookoła różnych osi, jak na rysunku powyżej. Względem której osi jego moment bezwładności jest najmniejszy?

Względem osi 1
Względem osi 2
Względem osi 3
Żadne z powyższych

R1RwM5sXURYis

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

RgY5OCA3ipQe5

Z pewnej masy materiału odlano dwie bryły, każda o tej samej masie. Jedną z nich uformowano w kształt kuli, drugą w kształt walca o tym samym promieniu. Bryły te obracają się wokół tej samej osi znajdującej się w pewnej odległości od środka masy tych brył. Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
Moment bezwładności kuli i walca względem osi przechodzącej przez środek masy wynosi odpowiednio: $\frac{2}{5} m R^{2}$ oraz $\frac{1}{2} m R^{2}$

Momenty bezwładności tych brył będą takie same
Moment bezwładności walca będzie większy niż kuli
Moment bezwładności walca będzie mniejszy niż kuli
Żadne z powyższych

Z twierdzenia Steinera $I_{s} = I_{0} + m d^{2}$ , zatem skoro masy i odległości obu brył są takie same, to różnica między momentem bezwładności względem omawianej osi będzie wynikała jedynie z różnicy w wartości $I_{0}$ dla tych brył, a ta wynosi odpowiednio $\frac{1}{2} m R^{2}$ dla walca i $\frac{2}{5} m R^{2}$ dla kuli, zatem moment bezwładności walca jest większy (ponieważ $\frac{1}{2} > \frac{2}{5}$ ).

Ćwiczenie 4

R16UxL1i90T2f

Rysunek przedstawia układ współrzędnych, na którego osi poziomej odłożono odległość osi obrotu od środka masy kuli w metrach, a na osi pionowej moment bezwładności Steinera w jednostkach: kilogram razy metr do kwadratu. Wykres zaczyna się w na osi pionowej w punkcie o współrzędnej 2 i ma kształt wnoszącej się gałęzi paraboli. Równanie paraboli zapisane na wykresie ma postać: igrek równa się 5 razy ikx do kwadratu plus 2. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RTZRWQlP4gwdH

Powyższy wykres przedstawia zależność momentu bezwładności kuli w zależności (oś pionowa) od odległości osi obrotu od jej środka masy (oś pozioma). Do przedstawionych tam danych dopasowana została krzywa drugiego stopnia (parabola), której równanie widoczne jest na wykresie. Równanie podane jest w formie matematycznej, ale aby nabrało sensu fizycznego należy zastanowić się, jakie powinny być jednostki dopisane do otrzymanych współczynników.
Jaka była masa m tej kuli i jaki był jej promień R?

m = 1 kg, R= 5 m
m = 2 kg, R= 1 m
m = 1 kg, R= 1 m
m = 5 kg, R= 1 m

Otrzymane z dopasowania równanie ma postać

$y = 5 x^{2} + 2 .$

Jednak oś $Oy$ opisuje moment bezwładności o wymiarze $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ , a oś $Ox$ przedstawia odległość wyrażoną w $\text{m}$ . Zatem równanie należy przepisać jako

$I = (5 \,\text{kg})\cdot x^2 + 2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2\ .$

Widzimy zatem, że dopasowana krzywa oddaje treść twierdzenia Steinera $I_{s} = m d^{2} + I_{0}$ . Współczynniki to: masa ( $5\,\text{kg}$ ) i moment bezwładności $I_0 = 2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ .

Ponieważ omawiana bryła to kula, a znamy jej masę, możemy obliczyć jej promień:

$I_0 = \frac{2}{5}mR^2 \ \Longrightarrow \ R = \sqrt{\frac{5I_0}{2m}} = \sqrt{\frac{5\cdot 2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2}{2\cdot 5\,\text{kg}}} = 1\,\text{m}\ .$

Wobec tego $R = 1\,\text{m}$ i $m = 5\,\text{kg}$ .

REbAB4RWUSfcl

Ćwiczenie 4

m = 1 kg, R= 5 m
m = 2 kg, R= 1 m
m = 1 kg, R= 1 m
m = 5 kg, R= 1 m

Ćwiczenie 5

Moment bezwładności kuli o masie m i promieniu R wynosi $I_{k} = \frac{2}{5} m R^{2}$ . Zależność momentu bezwładności tej samej kuli od jej średnicy $d$ można wyrazić wzorem $I_{k} = k \cdot m d^{2}$ . Wskaż poprawną wartość liczby $k$ .

R10TnNq0A3YfO

$d = 2 R \Longrightarrow R = d/2$

$I_{k} = \frac{2}{5} m R^{2} = \frac{2}{5} m {(\frac{d}{2})}^{2} = \frac{2}{5} \frac{m d^{2}}{4} = \frac{1}{10} m d^{2}$

Zatem $k = 0,1 = \frac{2}{20}$ .

Ćwiczenie 6

RG3Qq2QVFAXCx

Kula o promieniu R obraca się wokół osi O' nieprzechodzącej przez jej środek masy. Moment bezwładności tej kuli jest dwukrotnie większy od momentu bezwładności względem osi O przechodzącej przez środek masy. Znajdź zależność odległości d między osiami O i O' od promienia R. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

d = ............ R

Korzystamy z twierdzenia Steinera:

I_{s} = I_{0} + m d^{2}

Z warunków zadania wiemy, że

2 I_{0} = I_{0} + m d^{2}

zatem

I_{0} = m d^{2}

skąd, po wykorzystaniu wzoru na moment bezwładności kuli względem osi O, uzyskujemy

\frac{2}{5} m R^{2} = m d^{2}

Wobec tego

d^{2} = \frac{2}{5} R^{2}

i ostatecznie

d = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0, 63 R

Ćwiczenie 7

Nauczyciel pokazał Ci dwie identycznie wyglądające kule o takich samych masach, promieniach. Wiadomo też, że wykonano je różnych materiałów o różnej gęstości. Skoro masy kul są jednakowe, jedna z nich musi mieć wydrążenie (skądinąd wiadomo, że kuliste i koncentryczne z oryginalną kulą), a druga jest lita. Czy potrafisz określić, która jest która?

Większość masy kuli wydrążonej znajduje się w większej odległości od jej środka, niż ma to miejsce w przypadku kuli litej. Zatem, zgodnie z definicją momentu bezwładności, ponieważ elementy masy mnożone są przez kwadraty odległości, kula wydrążona będzie miała większy moment bezwładności niż lita. Na podstawie drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego

I = \frac{M}{ε} = \frac{M Δ t}{Δ ω},

możemy stwierdzić, że działając na obie kule tym samym, ustalonym momentem siły przez ten sam czas, sprawimy, że kula o mniejszym momencie bezwładności będzie się obracać szybciej.

Ćwiczenie 8

R1PKPP3zVOaB8

Na rysunku przedstawiono poziomy pręt. Nad prętem znajduje się kula, a nad kulą ustawiony pionowo walec. Przez środki wszystkich trzech ciał przechodzi pionowa, przerywana linia, która wyznacza osie symetrii każdego z ciał. Linię tę oznaczono literą wielkie O. Na prawo od tej linii, daleko od trzech ciał, narysowano drugą pionową, przerywaną linię, oznaczoną literą wielkie O prim. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RpSSNBRBEqnVv

Momenty bezwładności walca, kuli i pręta o masach m, wokół osi O przechodzącej przez ich środek masy, wynoszą odpowiednio

\frac{1}{2} m R^{2}, \frac{2}{5} m R^{2}, \frac{1}{3} m l^{2}

, gdzie R to promień kuli lub walca, a l to długość pręta. Wszystkie bryły obracają się względem osi O' umieszczonej na rysunku po prawej stronie.
Wskaż, która z poniższych odpowiedzi poprawnie porządkuje momenty bezwładności tych brył od najmniejszej do największej: Elementy do uszeregowania:

Momenty bezwładności walca, kuli i pręta o masach m, wokół osi O przechodzącej przez ich środek masy, wynoszą odpowiednio $\frac{1}{2} m R^{2}, \frac{2}{5} m R^{2}, \frac{1}{3} m l^{2}$ , gdzie R to promień kuli lub walca, a l to długość pręta. Wszystkie bryły obracają się względem osi O' umieszczonej na rysunku po prawej stronie.
Wskaż, która z poniższych odpowiedzi poprawnie porządkuje momenty bezwładności tych brył od najmniejszej do największej:

kula
walec
pręt

Ćwiczenie 9

RDVWEC99qlHCD

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Momenty bezwładności prętów równoległych do osi obrotu można obliczyć bezpośrednio z definicji

$\displaystyle I=\sum_{i=1}^n \Delta m_i r_i^2$ ,

gdyż cała masa pręta znajduje się w jednakowej odległości od osi. Momenty bezwładności prętów leżących wzdłuż osi obrotu równe są zero. W pozostałych przypadkach należy skorzystać z twierdzenia Steinera.

R17DpJam0AGdy

Ćwiczenie 9

Dla zainteresowanych

Obejrzyj krótki filmowy zapis eksperymentu, w którym używa się siłomierza do rozkręcenia obrotowej platformy. Film jest pozbawiony komentarza; składa się z trzech scenek wstępnych oraz czwartej scenki syntetycznie ujmującej wynik eksperymentu.

Pod filmem znajdziesz podstawowe informacje o eksperymencie, stosowanych w nim nazwach oraz oznaczeniach.

R1PtDq8fOxnDl

Film "Rozkręcanie platformy obrotowej za pomocą siłomierza"
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Platforma ma moment bezwładności $I_{p}$ względem osi obrotu widocznej na filmie.
Na platformie umieszczano, w trzech różnych miejscach, ten sam stalowy walec o masie $m$ i promieniu $R$ . Platforma wraz z walcem stanowią układ.
Siłomierz naciągano za każdym razem do maksymalnego wskazania i zaczepiano stycznie do brzegu platformy.
Po rozkręceniu tarczy, w chwili gdy wskazania siłomierza spadły do zera, był on upuszczany, by uniknąć jego wpływu na dalszy ruch platformy.
W każdej z trzech scenek próbnych przy brzegu platformy leżał telefon komórkowy.
W ostatniej scence pokazano zsynchronizowany start platformy w trzech badanych sytuacjach. Choć prezentuje ona wynik eksperymentu, to telefonu w niej nie wykorzystano.

Ćwiczenie 10

Wyobraź sobie, że nauczyciel przeprowadził w klasie podobny eksperyment (lub pokazał powyższy film). Pozwalał przy tym na sporządzanie notatek i przedstawił informacje zbliżone do tych powyżej.
Następnie nauczyciel ogłosił kartkówkę, wszystkim rozdał karteczki z ośmioma poleceniami i zezwolił na korzystanie z własnych notatek z działu „Ruch bryły sztywnej”.

Wykonaj te polecenia. Korzystaj przy tym z e‑materiału.
W odpowiedziach znajdziesz to, czego mógłby oczekiwać nauczyciel.

(1 p.) Nazwij zasadniczy parametr, który zmieniano bezpośrednio w tym eksperymencie.
(1 p.) Nazwij cechę układu, która ulegała zmianie w związku ze zmianą tego parametru.
(2 p.) Podaj matematyczne wyrażenie, opisujące zmianę tej cechy.
(1 p.) Wskaż widoczny w ostatniej scence skutek zmiany cechy układu, o której mowa w poleceniach 2. oraz 3.
(1 p.) Podaj najbardziej prawdopodobny cel tego eksperymentu.
(2 p.) Polecenie trudne - z informacji w nim zawartej możesz dalej korzystać, nawet jeśli nie potrafisz wykonać polecenia.
Uzasadnij, że w każdym z trzech przypadków pokazanych na filmie układ ma tę samą energię kinetyczną.
(2 p.) Uzasadnij skutek stwierdzony w poleceniu 4.
(1 p.) Postaw hipotezę na temat celu umieszczenia telefonu w scenkach próbnych oraz przyczyn niewykorzystania go w scence ostatniej.

1. Tym parametrem jest odległość $d$ środka walca od osi obrotu układu.

2. Zmiana $d$ powoduje zmianę momentu bezwładności układu.

3. Przyjmujemy oznaczenia jak w treści zadania oraz w punkcie 2. Moment bezwładności układu oznaczamy symbolem $I$ . (1 p.)

$I = I_{p} + \frac{1}{2} m R^{2} + m d^{2} (1 p .)$

7. Energia kinetyczna bryły o momencie bezwładności $I$ , obracającej się z prędkością kątową $ω$ dana jest wyrażeniem

$E_{k} = \frac{1}{2} I \cdot ω^{2} (1 p .)$

Gdy bryły mają różne momenty bezwładności i jednakowe energie kinetyczne, to zgodnie z przytoczonym wyrażeniem największą prędkość kątową będzie miała bryła o najmniejszym momencie bezwładności. (1 p.)

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela