Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $2S \mathrm{cm}$. Oblicz długość jednej krawędzi, wiedząc, że wszystkie krawędzie są tej samej długości.

Rozwiązanie

Wiemy, że omawiany ostrosłup ma $8$ krawędzi tej samej długości,
zatem: $2S:8=\frac{S}{4}$.

Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, wynosi $S\sqrt{S}\mathrm{cm}$. Oblicz pole podstawy tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako niewiadomą $a$. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa, czyli ma długość $2a$.

Możemy więc zapisać równanie: $a·4+2a·4=S\sqrt{S}$,

czyli $12·a=S\sqrt{S}$, co oznacza, że $a=\frac{S\sqrt{S}}{12}$.

Podstawa ostrosłupa jest kwadratem, zatem jego pole wynosi $\frac{S^3}{144}{\mathrm{cm}}^2$.

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym o polu $S$. Oblicz sumę długości krawędzi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R1Ab4Ohhb3gVk

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego ścianą boczną jest trójkąt równoboczny o boku $a$. Podstawą bryły jest kwadrat o boku $a$.

Skoro ściana boczna jest trójkątem równobocznym, tzn. że wszystkie krawędzie ostrosłupa mają taką samą długość. Wystarczy więc obliczyć długość boku trójkąta równobocznego.

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta równobocznego: $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Możemy więc zapisać równanie: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$,

z którego po przekształceniu otrzymujemy:

$a^2=\frac{4S\sqrt{3}}{3}$,

$a=\sqrt{\frac{4S\sqrt{3}}{3}}$.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma 8 krawędzi, zatem ich suma wynosi $8\sqrt{\frac{4S\sqrt{3}}{3}}$.

Przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość  $p \mathrm{cm}$. Krawędź boczna ma zaś długość $10 \mathrm{cm}$. Ile wynosi więc wysokość ściany bocznej ostrosłupa?

Rozwiązanie

Zacznijmy od policzenia długości krawędzi podstawy naszego ostrosłupa.

Skoro przekątna podstawy ma długość  $p \mathrm{cm}$, to, korzystając ze wzoru na przekątną podstawy, otrzymujemy: $a\sqrt{2}=p$, czyli $a=\frac{p\sqrt{2}}{2}$.

Narysujmy więc nasz ostrosłup.

R1HqtDo83i9Fr

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie będącej kwadratem $ABCD$ o boku o długości $\frac{p\sqrt{2}}{2}$. Ściany boczne bryły są trójkątami o górnym wspólnym wierzchołku $S$. Długość krawędzi bocznej bryły wynosi $10$. W podstawie ostrosłupa linią przerywaną poprowadzono przekątne: $AC$ oraz $BD$, które przecinają się w punkcie $O$. Z górnego wierzchołka ostrosłupa upuszczono wysokość do punktu $O$, którą wyróżniono kolorem.

Aby obliczyć wysokość ściany bocznej, wyrysujmy tylko ścianę $BCS$.

RehCyKakafR9H

Rysunek przedstawia trójkąt $BCS$. Ramiona trójkąta $CS$ oraz $SB$ mają długość $10$, a podstawa $BC$ ma długość $\frac{p\sqrt{2}}{2}$. Z wierzchołka $S$ upuszczono na podstawę wysokość $h$, która podzieliła podstawę na dwa odcinki o długości $\frac{p\sqrt{2}}{4}$ każdy.

Wykorzystajmy więc twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość wysokości  ściany bocznej, czyli $h$:

$h^2+{\left(\frac{p\sqrt{2}}{4}\right)}^2={10}^2$

$h^2+\frac{p^2}{8}=100$

$h^2=\frac{800-p^2}{8}$

$h=\sqrt{\frac{800-p^2}{8}}$.

Zatem wysokość ściany bocznej ma długość $\sqrt{\frac{800-p^2}{8}}$.

ostrosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny

ostrosłup prosty, który ma w podstawie kwadrat