Symetralną odcinka $AB$ nazywamy taką prostą $k$, która przechodzi przez środek odcinka $AB$ i jest do niego prostopadła.

RFVLgPHwgOKsm

Ilustracja przedstawia odcinek AB, oraz jego symetralną, która jest pod kątem prostym do tego odcinka. Punkt przecięcia się odcinka AB i symetralnej podpisano literą O.

Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo oddalonych od jego końców.

R1GGFwhRBDMa3

Ilustracja przedstawia odcinek AB, oraz jego symetralną, która jest pod kątem prostym do tego odcinka. Na symetralnej zaznaczono punkty w następujący sposób: pod odcinkiem punkt D, nad odcinkiem punkt E, wyżej punkt F i jeszcze wyżej punkt C. Z każdego punktu poprowadzono odcinek zarówno do punktu A jak i do punktu B.

Skonstruujemy trójkąt równoramienny wykorzystując powyższe twierdzenie.

RujzxUaiwC4Us

Ilustracja przedstawia odcinek AB, liniami przerywanymi narysowano okręgi, których środkami są odpowiednio punkty A oraz B. Na obrazku narysowano również symetralną odcinka AB.

Rozwiązanie

Wykorzystując fakt, że punkt leżący na symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka $AB$ jest równo odległy od końców odcinka, możemy w dowolny sposób skonstruować trójkąt równoramienny wybierając wierzchołek $C$ na symetralnej odcinka $AB$. Wtedy $\left|AC\right|=\left|BC\right|$.

R1ClzkRT5WXrl

Ilustracja przedstawia odcinek AB, liniami przerywanymi narysowano okręgi, których środkami są odpowiednio punkty A oraz B. Na obrazku narysowano również symetralną odcinka AB. Na symetralnej zaznaczono punkt C. Na ilustracji zaznaczono trójkąt A B C.

Skonstruujemy symetralne boków trójkąta ostrokątnego.

Rozwiązanie

Przypomnijmy schemat konstrukcji symetralnej odcinka:

1. Z obu końców odcinka kreślimy łuki o równych promieniach. Łuki te przecinają się w $2$ punktach.

2. Przez wyznaczone punkty prowadzimy prostą – jest ona symetralną tego odcinka.

R1bfqR2yVisV2

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z każdego wierzchołka narysowano łuk o takim samym promieniu. Przez wierzchołki oraz punkty przecięcia się łuków liniami przerywanymi poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostych zaznaczono literą D.

Zauważmy, że symetralne boków trójkąta ostrokątnego przecinają się w punkcie, który leży wewnątrz tego trójkąta.

Skonstruujemy symetralne boków trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie

REyztUOKhWDTV

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, przy czym kąt ABC jest kątem prostym. Z każdego wierzchołka narysowano łuk o takim samym promieniu. Przez wierzchołki oraz punkty przecięcia się łuków liniami przerywanymi poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostych zaznaczono literą D, punkt ten leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Zauważmy, że symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie, który leży na jego przeciwprostokątnej.

Udowodnimy, że punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta prostokątnego jest środkiem przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

RIBx6xeSgQIKa

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, przy czym kąt ACB jest kątem prostym. W trójkącie poprowadzono symetralną każdego z boków, która jest pod kątem prostym do tego boku. Punkt przecięcia się symetralnej boku CB z bokiem CB podpisano literą M. Punkt przecięcia się symetralnej BC z przeciwprostokątną AB podpisano literą X. Literą Y zaznaczono punkt przecięcia się symetralnej AC z przeciwprostokątną AB. Punkt przecięcia się wszystkich trzech symetralnych podpisano literą S. Punkt X, Y oraz S pokrywają się ze sobą.

Niech dany będzie trójkąt prostokątny $ABC$, gdzie kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $C$ i niech $S$ będzie punktem przecięcia symetralnych boków. Oznaczmy przez $M$ środek odcinka $BC$. Oznaczmy również przez $X$ przecięcie symetralnej odcinka $BC$ z przeciwprostokątną $AB$.

Wiadomo, że $MC\perp AC$ i $MX\perp MC$, a zatem proste $AC$ i $MX$ są równoległe, tj. $AC\parallel MX$. Wynika stąd, z zasady zachowania kątów (cecha KKK), że trójkąty $ABC$ i $XMB$ są podobne.

Zauważmy, że skoro $\left|CM\right|=\left|MB\right|$, to trójkąt $ABC$ jest dwa razy większy od trójkąta $XMB$ (skala podobieństwa wynosi $2$). Z tego faktu wprost wynika, że $\left|XB\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|=\left|XA\right|$.

Oznaczając przez $Y$ przecięcie symetralnej odcinka $AC$ z przeciwprostokątną $AB$ analogicznie otrzymamy, że $\left|YA\right|=\left|YB\right|$.

Ostatecznie skoro $\left|YA\right|=\left|YB\right|$ i $\left|XA\right|=\left|XB\right|$ oraz z faktu, że punkty $X$, $Y$ leżą na przeciwprostokątnej $AB$ wynika, że $X=Y=S$, gdzie $S$ jest środkiem odcinka $AB$ co kończy dowód.

Skonstruujemy symetralne boków trójkąta rozwartokątnego.

Rozwiązanie

R1diwwBoUWgy4

Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C, przy czym kąt ABC jest kątem rozwartym. Z każdego wierzchołka narysowano łuk o takim samym promieniu. Przez wierzchołki oraz punkty przecięcia się łuków liniami przerywanymi poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostych zaznaczono literą D, punkt ten leży na poza obszarem trójkąta.

Zauważmy, że symetralne boków trójkąta rozwartokątnego przecinają się w punkcie, który leży na zewnątrz tego trójkąta.

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Skonstruujemy trójkąt $ABC$ tak, aby narysowane proste były symetralnymi jego boków.

Rgd0opkz9r8Rg

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste narysowane linią przerywaną, które przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że istnieje nieskończenie wiele takich trójkątów. Dla dowolnego punktu na danej symetralnej (poza punktem przecięcia symetralnych) możemy wyznaczyć przykładowy bok jednego z takich trójkątów. Wybieramy dowolny punkt na jednej z symetralnych. Konstruujemy prostą prostopadłą do tej symetralnej i przechodzącą przez ten punkt. Następnie wyznaczamy dowolne punkty leżące na tej prostej równo odległe od wybranego punktu, oznaczamy je przez $A$ i $B$.

RfG7xxYuf0yry

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste narysowane linią przerywaną, które przecinają się w jednym punkcie. Prostopadle do jednej z prostych linią ciągłą narysowano prostą, następnie narysowano okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia się tych dwóch prostych. Miejsca przecięcia się prostej narysowanej linią ciągłą z okręgiem podpisano A oraz B. Punkty przecięcia się prostej narysowanej linią przerywaną z okręgiem stały się środkami okręgów, które przechodzą przez punkty A oraz B.

Teraz należy skonstruować prostą prostopadłą do drugiej symetralnej przechodzącą przez jeden z końców odcinka $AB$, niech to będzie $B$.

RL0N9hQBEiyyv

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste narysowane linią przerywaną, które przecinają się w jednym punkcie. Prostopadle do jednej z prostych linią ciągłą narysowano prostą, następnie narysowano okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia się tych dwóch prostych. Miejsca przecięcia się prostej narysowanej linią ciągłą z okręgiem podpisano A oraz B. Punkty przecięcia się prostej narysowanej linią przerywaną z okręgiem stały się środkami okręgów, które przechodzą przez punkty A oraz B. Przez punkt B linią ciągłą poprowadzono prostą, która jest prostopadła do drugiej prostej narysowanej linią przerywaną.

Ostatecznie musimy teraz wyznaczyć punkt $C$ leżący na tej prostej w takiej samej odległości od symetralnej co punkt $B$.

RSCtD4qbwET4x

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste narysowane linią przerywaną, które przecinają się w jednym punkcie. Prostopadle do jednej z prostych linią ciągłą narysowano prostą, następnie narysowano okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia się tych dwóch prostych. Miejsca przecięcia się prostej narysowanej linią ciągłą z okręgiem podpisano A oraz B. Punkty przecięcia się prostej narysowanej linią przerywaną z okręgiem stały się środkami okręgów, które przechodzą przez punkty A oraz B. Przez punkt B linią ciągłą poprowadzono prostą, która jest prostopadła do drugiej prostej narysowanej linią przerywaną. Następnie narysowano okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia się drugiej prostej namalowanej linią przerywaną i prostej do niej prostopadłej, a promień sięga do punktu B. Okrąg ten wyznacza nam punkt C, który jest w takiej samej odległości od punktu przecięcia się prostych jak punkt B. Następnie połączono ze sobą punkty A B oraz C tworząc trójkąt.

Uzasadnienie poprawności konstrukcji

Symetralne boków trójkąta to proste, które dzielą boki trójkąta na dwie równe części i są do tych boków prostopadłe. Rzut prostokątny dowolnego punktu symetralnej na prostą zawierającą bok trójkąta będzie środkiem tego boku. Poprowadzona prosta prostopadła w tym punkcie będzie zawierać bok trójkąta. Jednak ze względu na to, że punkt wybrany na symetralnej jest środkiem tego boku to narysowany okrąg o środku w tym punkcie pozwoli nam wyznaczyć dwa wierzchołki trójkąta.

Dla danej prostej i punktu leżącego poza nią istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do tej prostej i przechodząca przez ten punkt. Odbicie tego punktu względem prostej wyznacza trzeci wierzchołek trójkąta.

Odległość punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta prostokątnego równoramiennego od wierzchołka kąta prostego jest o $5$ mniejsza od długości przyprostokątnych. Obliczymy pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R10PKRhnxs4qE

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, przyprostokątne mają długość a, z kolei przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$, z wierzchołka przy kącie prostym poprowadzono odcinek na przeciwprostokątną, odcinek ten podpisano literą x.

Zauważmy, że $x=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$.

Zatem:

$a-5=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$

$2a-a\sqrt{2}=10$

$a\left(2-\sqrt{2}\right)=10$

$a=\frac{10}{2-\sqrt{2}}=\frac{10\left(2+\sqrt{2}\right)}{4-2}=5\left(2+\sqrt{2}\right)$

$P=\frac{1}{2}·{\left[5\left(2+\sqrt{2}\right)\right]}^2=\frac{1}{2}·25\left(6+4\sqrt{2}\right)=25\left(3+\sqrt{2}\right)$

Symetralne boków ostrokątnego trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$, przecinają się w punkcie $S$. Odległość punktu $S$ od ramion trójkąta jest równa $2\sqrt{3}$ zaś odległość punktu $S$ od wierzchołków tego trójkąta jest równa $8$. Obliczymy obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R19JlyqLXoPMw

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w trójkącie liniami przerywanymi poprowadzono symetralne boków AB oraz BC, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Z każdego z wierzchołków poprowadzono odcinek do punktu S. Długość odcinków AS, BS oraz CS wynosi 8. Odległość od punktu A do punktu przecięcia się symetralnej z bokiem AC wynosi x. Odległość od punktu C do punktu przecięcia się symetralnej z bokiem AC również wynosi x. Odległość od punktu A do punktu przecięcia się symetralnej z bokiem AB wynosi y. Odległość od punktu S do punktu przecięcia się symetralnej z bokiem AB wynosi a. Odległość od punktu S do punktu przecięcia się symetralnej z bokiem AC wynosi $2\sqrt{3}$.

Wyznaczamy długość odcinka $x$:

$x^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=8^2$

$x=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Stąd: $\left|AC\right|=\left|BC\right|=4\sqrt{13}$.

Wyznaczamy długość odcinka $y$:

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+y^2=8^2\\ {\left(8+a\right)}^2+y^2={\left(4\sqrt{13}\right)}^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+y^2=64\\ 64+16a+a^2+y^2=208\end{array}\right.$

Stąd: $64+16a+64=208$, co daje: $a=5$ i $y=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}$.

Zatem: $\left|AB\right|=2\sqrt{39}$.

Obliczamy obwód trójkąta $ABC$: $L_{∆ABC}=2\sqrt{39}+2·4\sqrt{13}=2\left(\sqrt{39}+4\sqrt{13}\right)$.

prosta, która przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła