R1AwSkOkDuy2D

Grafika przedstawia graniastosłup pochyły, którego podstawą jest czworokąt. Wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to E, F, G, H. Odcinek łączący punkty AC jest przekątną podstawy graniastosłupa. Odcinek CH jest przekątną ściany bocznej graniastosłupa. Odcinek CE jest przekątną graniastosłupa.

Odcinek $AC$ jest przekątną podstawy, $CH$ jest przekątną ściany bocznej, $CE$ jest przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa.

Sinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wynosi $\frac{8}{17}$, a krawędź podstawy ma długość $7,5$. Obliczymy długość krawędzi bocznej i przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że w graniastosłupie prostym kąt między przekątną ściany bocznej, a podstawą jest kątem między przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy.

Zrobimy rysunek pomocniczy, uwzględniając znany sinus:

Rnippx2SjpIZN

Grafika przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt. Wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to E, F, G, H. Odcinek CD stanowi krawędź dolnej podstawy graniastosłupa i ma długość 7,5. Odcinek DH stanowi krawędź ściany bocznej graniastosłupa i ma długość 8x. Odcinek CH jest przekątną ściany bocznej i ma długość 17x. Odcinki te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym krawędź podstawy i krawędź ściany bocznej są przyprostokątnymi, a przekątna ściany bocznej przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej podpisano literą alfa

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ${\left(17x\right)}^2={\left(8x\right)}^2+7,5^2$. Wykonując dalsze przekształcenia mamy $225x^2=56,25$. Ostatecznie $x^2=0,25$, co daje $x=0,5$.

Oznacza to, że krawędź boczna ma długość $4$, a przekątna ściany bocznej $8,5$.

W graniastosłupie prostym o podstawie rombu tangens kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do podstawy wynosi $\frac{3}{4}$, krótsza przekątna podstawy ma długość $5$, a krawędź podstawy $6,5$. Obliczymy długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Dłuższa przekątna graniastosłupa, dłuższa przekątna podstawy i krawędź podstawy tworzą trójkąt prostokątny, jednym z kątów tego trójkąta jest kąt, którego tangens znamy.

R5khRoSWmIGDE

Grafika przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb. Wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to E, F, G, H. Odcinek BD stanowi dłuższą przekątną dolnej podstawy graniastosłupa. Odcinek DH stanowi krawędź ściany bocznej graniastosłupa i został podpisany literą h. Odcinek BH jest dłuższą przekątną graniastosłupa. Odcinki te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym przekątna podstawy i krawędź ściany bocznej są przyprostokątnymi, a przekątna graniastosłupa przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy narysowanymi przekątnymi jest podpisany literą alfa.

Obliczymy długość dłuższej przekątnej podstawy.

RrsaBT969r76a

przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy narysowanymi przekątnymi jest podpisany literą alfa. Grafika przedstawia romb o wierzchołkach: A, B, C, D, przy czym AC to krótsza przekątna rombu, a BD to dłuższa przekątna rombu. Przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne. Rozpatrujemy trójkąt w którym jedna przyprostokątna stanowi połowę długości dłuższej przekątnej i jej długość jest równa x. Druga przyprostokątna, to połowa krótszej przekątnej i ma długość 2,5. Bok CD będący przeciwprostokątną w rozpatrywanym trójkącie ma długość 6,5.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy $2,5^2+x^2=6,5^2$, co po przekształceniach daje $x^2=36$. A zatem $x=6$. Stąd dłuższa przekątna podstawy ma długość $12$.

Obliczymy długość $h$ korzystając z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta $BDH$. Mamy $tg\alpha =\frac{h}{12}$.

Czyli $\frac{3}{4}=\frac{h}{12}$ i stąd $h=9$.

Obliczymy teraz długość krótszej przekątnej graniastosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $CAE:5^2+9^2={\left|CE\right|}^2$. A zatem krótsza przekątna graniastosłupa ma długość $\left|CE\right|=\sqrt{106}$.

W graniastosłupie pochyłym o podstawie sześciokąta foremnego (jak na rysunku) krawędź podstawy ma długość $2$, a krawędź boczna $2\sqrt{13}$. Obliczymy długość przekątnej $BG$ oraz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli wiemy, że wysokość ta, poprowadzona z punktu $G$, przecina płaszczyznę podstawy w punkcie $M$, który jest współliniowy z prostymi $AB$ i $CD$.

R1UJxm5LbM3nc

Grafika przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie sześciokąta. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, E, F natomiast wierzchołki górnej podstawy to: G, H, I, J, K, L. W graniastosłupie zaznaczono odcinek AB, który jest krawędzią podstawy graniastosłupa i ma długość 2. Zaznaczony został również odcinek AG stanowiący krawędź ściany bocznej graniastosłupa i mający długość $2\sqrt{13}$. Zaznaczono również odcinek BG będący przekątną ściany bocznej graniastosłupa. Odcinki te razem stanowią trójkąt. Z wierzchołka górnej podstawy G poprowadzono wysokość graniastosłupa, prostopadłą do płaszczyzny w której leży jego dolna podstawa. Punkt przecięcia się wysokości z płaszczyzną w której leży podstawa podpisano literą M. Z punktu M do wierzchołków C i B poprowadzono odcinki za pomocą linii przerywanych. Wysokość podpisano literą h.

Rozwiązanie

Ponieważ punkty $A$, $B$, $M$ oraz punkty $D$, $C$, $M$ leżą na jednej prostej, to kąty $MBC$ i $BCM$ mają $60°$. A zatem trójkąt $BCM$ jest równoboczny. Czyli $\left|BM\right|=2$, a stąd $\left|AM\right|=4$.

Obliczymy długość wysokości z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $MAG$:

$4^2+h^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2$

Wykonując dalsze przekształcenia, otrzymamy, że wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa ma długość $h=6$.

Obliczymy teraz długość przekątnej ściany bocznej $BG$ z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $GBM$:

$2^2+6^2={\left|BG\right|}^2$

I stąd $\left|BG\right|=2\sqrt{10}$.

odcinek łączący płaszczyzny podstaw, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw

przekątna równoległoboku, który jest ścianą boczną graniastosłupa

odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie graniastosłupa