Odległością punktu $P$ od prostej $k$ nazwiemy długość najkrótszego z odcinków $PQ$, gdzie $Q\in k$.

Niech dana będzie prosta $k$ i punkt $P$ nie leżący na tej prostej. Niech $l$ będzie prostą prostopadłą do $k$ i przechodzącą przez punkt $P$. Niech $Q$ będzie punktem wspólnym prostych $k$ i $l$. Długość odcinka $PQ$ jest odległością punktu $P$ od prostej $k$.

R13bQ9BoPUxTc

Na rysunku przedstawione są dwie proste prostopadłe: pionowa prosta $l$ oraz pozioma prosta $k$. Ich punkt przecięcia oznaczono jako $Q$. Na prostej $l$ leży punkt $P$, na prostej $k$ leży punkt $R$. Punkty te są połączone linią przerywaną w odcinek $PR$

Jeżeli prosta leży poza okręgiem, to jej odległość od środka okręgu jest większa od promienia.

Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest większa od promienia, to prosta ta leży poza okręgiem.

Prostą, która przecina okrąg w dwóch różnych punktach nazywamy sieczną tego okręgu.

Jeżeli prosta jest sieczną okręgu, to jej odległość od środka okręgu jest mniejsza od promienia.

Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od promienia, to prosta ta jest jego sieczną.

Prostą, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu. Punkt wspólny stycznej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Jeżeli prosta jest styczną do danego okręgu, to jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi.

Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest równa promieniowi, to prosta ta jest  styczną do danego okrgu.

Dany jest okrąg o środku $O$ i punkt $P$ leżący na tym okręgu. Przeprowadzimy konstrukcję stycznej do danego okręgu, która będzie przechodziła przez punkt $P$.

1. Prowadzimy prostą przechodząca przez środek okręgu i punkt styczności.

2. Rozwartością cyrkla równą promieniowi zaznaczamy na prostej punkt $D$ tak, aby  punkt $P$ był  środkiem odcinka $OD$.

3. Kreślimy symetralną odcinka $OD$ – zakreślając z punktów $O$ i $D$ łuki okręgów o tym samym promieniu, aż do przecięcia się.

4. Przez punkty $A$ i $B$ – przecięcia się łuków – kreślimy prostą. Jest to szukana styczna.

RcgOEmOvt30pA

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Przez okrąg i jego środek przechodzi pionowa prosta narysowana linią przerywaną. Poniżej narysowana jest prosta pozioma styczna do okręgu. Punkt przecięcia prostych i okręgu oznaczono jako punkt $P$. Symetrycznie do punktu $O$ względem poziomej prostej jest punkt $D$ położony na prostej pionowej. Na prostej poziomej zaznaczono także dwa symetryczne punkty względem prostej pionowej. Te punkty to: po lewo punkt $B$ i po prawo punkt $A$.

Odległość siecznej od środka okręgu jest równa $2$. Długość odcinka, o końcach w punktach wspólnych tej siecznej i okręgu, jest równa promieniowi $R$ tego okręgu. Obliczymy $R$.

Rozwiązanie:

RxHgjG6WAIbeQ

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Przez okrąg i jego środek przechodzi pionowa półprosta narysowana linią przerywaną. Początek półprostej znajduje się w punkcie $P$, który leży na siecznej $AB$ przecinającej okrąg. Punkt $A$ leży po lewej stronie i jest punktem przecięcia siecznej z okręgiem. Punkt $B$ leży po prawej stronie i jest drugim punktem przecięcia siecznej z okręgiem.Na rysunku zaznaczono następujące odcinki: $OA$ oraz $OB$, które są jednocześnie promieniami okręgu, odcinek na siecznej $AB$, którego połowę wynacza leżący na nim punkt $P$, a także zaznaczony linią przerywaną należący do półprostej odcinek $OP$.

Zauważmy, że przy przyjętych na rysunku oznaczeniach mamy: $\left|AB\right|=R$.

Ale trójkąt $ABO$ jest trójkątem równobocznym, w którym $\left|OP\right|$ jest długością wysokości.

Zatem $\left|OP\right|=\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Mamy więc $\frac{R\sqrt{3}}{2}=2$, a stąd $R=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Średnica okręgu jest równa sumie długości odcinków opuszczonych z końców tej średnicy na dowolną styczną.

linią środkową w trapezie nazywamy odcinek łączący środki ramion trapezu; linia środkowa w trapezie jest równoległa do podstaw trapezu, a jej długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw