Warto przeczytać

Często siedzimy na obrotowych krzesłach. Możemy spoczywać na nich nieruchomo, z nogami opartymi o ziemię. Ale możemy też obrócić się, np. o 90°, aby wstać od biurka. Warto przyjrzeć się dokładnie sekwencji ruchów, które wykonujemy – zwróć uwagę, z jakiego powodu krzesło się obraca. Pozornie może się wydawać, że wykonujemy zamach tułowiem – ale, w rzeczywistości, nie jesteśmy w stanie wprawić krzesła w ruch obrotowy bez nóg spoczywających na ziemi (lub odepchnięcia się ręką od biurka). Możesz samodzielnie sprawdzić, że siedząc na krześle z podniesionymi nogami nie możesz się obrócić! Dlaczego?

Odpowiedź znajdziemy w zasadzie zachowania momentu pędu. Przypomnijmy, że moment pędumoment pędumoment pędu definiujemy następująco:

• dla punktu materialnego:

  $\vec{L}= \vec{r}\times\vec{p},$

  gdzie $\vec{r}$ oznacza wektor odległości od osi obrotu, $\vec{p}$ to wektor pędu punktu, a symbol $\times$ oznacza iloczyn wektorowyiloczyn skalarnyiloczyn wektorowy.

• dla bryły sztywnej:

  $\vec{L}= I\vec{\omega},$

  gdzie $I$ oznacza wartość momentu bezwładnościmoment bezwładnościmomentu bezwładności ciała, a $\vec{\omega}$ wektor jego prędkości kątowej.

Jeśli siedzimy na krześle nieruchomo, a następnie się na nim obracamy, to znaczy, że zmienił się nasz moment pędu. Powodem tego było przyłożenie momentu siły do naszego układu.

Tylko zewnętrzny moment siłymoment siłymoment siły może zmienić moment pędu,

co oznacza, że zmiana momentu pędu ($\Delta \vec{L}/\Delta t$) może nastąpić tylko w wyniku działania zewnętrznego momentu siły ($\vec{M}_{\mathrm{zew}}$). Porównaj równanie (1) z zasadą zachowania pędu (oraz ogólnym sformułowaniem 2. zasady dynamiki Newtona).

Niezrównoważony moment siły zmienia moment pędu. Iloczyn momentu siły i czasu jego działania nazywamy impulsem momentu siły. Analogicznie jak dla ruchu postępowego (por. wspomnianą wcześniej zasadę dynamiki Newtona) – zmiana pędu wymagała impulsu siły (siły działającej przez jakiś czas), tak samo zmiana momentu pędu wymaga impulsu momentu siły (moment siły przyłożony na jakiś czas).

Warto zauważyć, że te rozważania są oczywiście spójne z innymi rozważaniami odnośnie ruchu obrotowego – jeśli do powyższego wzoru wstawimy definicję momentu pędu ($\vec{L}= I\vec{\omega}$), otrzymujemy tę samą zależność między momentem siły ($\vec{M}$), a momentem bezwładności ($I$) i przyspieszeniem kątowym ($\vec{\varepsilon}=\Delta \vec{\omega}/\Delta t$), którą znamy z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:

R1Usurj3dv75T

Zdjęcie przedstawia krzesło obrotowe, na którym siedzi mężczyzna, trzymający 2 ciężarki w wyciągniętych w bok rękach. Stopy mężczyzny spoczywają na podpórce, która obraca się razem z krzesłem.

Proponujemy ci prosty - choć zaskakujący - eksperyment z wykorzystaniem krzesła obrotowego. Weź w ręce jakiś ciężki przedmiot, np. hantle treningowe. Ustaw się tak, aby nogi nie miały kontaktu z podłożem w trakcie obracania się. Odepchnij się lub, lepiej, poproś kogoś, aby wprawił krzesło razem z Tobą w ruch obrotowy. Mając rozłożone szeroko ramiona z hantlami, masz razem z krzesłem moment bezwładności $I_1$. Przyłożony w ten sposób zewnętrzny moment siły sprawi, że obracasz się z prędkością obrotową ${\omega}_1$. Znaczy to, że ten obracający się układ ma moment pędu równy $L=I_1\omega_1$. Co się stanie, jeśli teraz przyciągniesz ramiona z hantlami do ciała? Twój moment bezwładności zmniejszy się (bo masa hantli nie zmniejszy się, a będą bliżej osi obrotu) do pewnej wartości $I_2$. Odczujesz, że zwiększa się prędkość obrotowa – przyspieszasz do $\omega_2$. Dlaczego?

Gdy ktoś Cię obracał na krześle, przykładał zewnętrzny moment siły do tego układu (do Ciebie i krzesła). Jednakże Ty, rozsuwając czy składając ramiona, działasz siłą wewnątrz układu. Moment siły zewnętrznej $M_{\mathrm{zew}}=0$, nie zmienia się zatem momentu pędu tego układu, więc $\Delta L=0$. W efekcie moment pędu jest stały:

Jeśli zatem moment bezwładności układu zmniejszy się np. dwukrotnie, to jego prędkość kątowa wzrośnie dwukrotnie. W rzeczywistym układzie mogą się pojawić drobne odstępstwa, związane z oporami ruchu – opór powietrza oraz tarcie na łożysku krzesła będą powodować powstanie hamującego momentu siły. Ich całkowite wyeliminowanie jest niemożliwe, ale - przy odpowiednio dużych prędkościach i momentach bezwładności - będą zaniedbywalne. Można również skorzystać z urządzenia o lepszym łożysku niż domowe krzesło obrotowe – na przykład na siłowniach można spotkać się z obrotowymi platformami do ćwiczeń.

Dla podsumowania, w poniższej tabeli zestawiono analogie pomiędzy wielkościami opisującymi pęd w ruchu postępowym i moment pędu w ruchu obrotowym:

Słowniczek