Przeczytaj

Już wiesz

Przesunięcie równoległe wykresu funkcji $y = f (x)$ o wektor $\vec{v} = [0; q]$ , to przesunięcie równoległe wzdłuż osi $Y$ .

Obrazem punktu $A = (x; y)$ w przesunięciu o wektor $\vec{v} = [0; q]$ jest punkt $A' = (x'; y')$ . Z własności przesunięcia wiemy, że

$x' = x$ oraz $y' = y + q$ , czyli $x = x'$ oraz $y = y' - q$ .

Po wstawieniu powyższych równań do wzoru funkcji otrzymamy:

$y' - q = f (x')$

$y' = f (x') + q$

Zapiszemy tę zależność w postaci:

$y = f (x) + q$

by móc narysować wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych. Zatem wykres danej funkcji po przesunięciu będzie wykresem funkcji $y = f (x) + q$ .

bg‑azure

Reguła: 1

Wykres funkcji $y = f (x) + q$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $y = f (x)$ o wektor $\vec{v} = [0; q]$ .

W przypadku, gdy $f (x) = \frac{a}{x}$ powyższa reguła brzmi:

bg‑azure

Reguła: 2

Wykres funkcji $y = g (x) = \frac{a}{x} + q$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $y = f (x) = \frac{a}{x}$ o wektor $\vec{v} = [0; q]$ .

Przykład 1

Przesuniemy wykres funkcji $f (x) = \frac{1}{x}$ o wektor $\vec{v} = [0; - 2]$ .

Wzór funkcji, której wykresem jest hiperbola otrzymana w wyniku przesunięcia, ma postać: $g (x) = \frac{1}{x} - 2$ .

R1E3bFXHj7R5f

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres y=1x stanowi hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja przechodzi przez punkt 1;1. Wykres y=1x-2 stanowi przesunięcie wykresu y=1x o wektor 0;-2, czyli dwie jednostki w dół, względem osi Y . Wykres przechodzi przez punkt 1;-1. Asymptotę poziomą opisuje równanie y=-2.

Wypiszemy własności funkcji $g$ .

${ZW}_{g} = ℝ ∖ \{-2\}$
Miejsce zerowe: $x_{0} = \frac{1}{2}$
Asymptota: asymptotaasymptota pozioma $y = -2$
Wykres funkcji $g$ jest symetryczny względem punktu $(0; -2)$

Przykład 2

Wyznaczymy współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres funkcji $f (x) = - \frac{2}{x}$ wzdłuż osi $Y$ , aby otrzymać wykres funkcji:

a) $g (x) = - \frac{2}{x} + 3$

b) $h (x) = - \frac{2}{x} - 5$

Rozwiązanie:

Skoro wykres funkcji $g (x) = \frac{a}{x} + q$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ o wektor $\vec{v} = [0; q]$ , to:

a) $q = 3$ , $\vec{v} = [0; 3]$

b) $q = -5$ , $\vec{v} = [0; - 5]$

Przykład 3

Wyznaczymy wektor, o jaki został przesunięty równolegle wzdłuż osi $Y$ , wykres funkcji $f (x) = - \frac{4}{x}$ , jeśli w wyniku przesunięcia wykresu funkcji powstał wykres funkcji, którego zbiór wartości to ${ZW}_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ .

Rozwiązanie:

Jeśli ${ZW}_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ , to wzór funkcji $g$ ma postać $g (x) = - \frac{4}{x} - 3$ , czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o wektor $\vec{v} = [0; - 3]$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wektor, o jaki został przesunięty wzdłuż osi $Y$ , wykres funkcji $f (x) = \frac{5}{x}$ , jeśli w wyniku przesunięcia powstał wykres funkcji $g$ , której asymptotą poziomą jest prosta $y = 6$ .

Rozwiązanie:

Jeśli prosta $y = 6$ jest asymptotą poziomą wykresu funkcji, to wzór funkcji ma postać $g (x) = \frac{5}{x} + 6$ , czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o wektor $\vec{v} = [0; 6]$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wektor, o jaki należy przesunąć wykres funkcji $f (x) = - \frac{5}{x} - 3$ , aby otrzymać wykres funkcji:

a) $g (x) = - \frac{5}{x} - 7$

b) $h (x) = - \frac{5}{x} + 8$

Rozwiązanie:

Skoro wykres funkcji $g (x) = \frac{a}{x} + q$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ o wektor $\vec{v} = [0; q]$ , to:

a) $- \frac{5}{x} - 3 + q = - \frac{5}{x} - 7$ , czyli $q = -4$ , $\vec{v} = [0; - 4]$

b) $- \frac{5}{x} - 3 + q = - \frac{5}{x} + 8$ , czyli $q = 11$ , $\vec{v} = [0; 11]$

Słownik

asymptota

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera; asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik