Niech $f\left(x\right)$ oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu $x_0$.

Ilorazem różnicowym funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_0$ dla przyrostu $h$ zmiennej niezależnej $x$ nazywamy wyrażenie

Jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.

RkBFIqGmV9ob8

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem $y=\mathrm{tg}\alpha ·x+b$. Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$, które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne $\left(x_0+h;f\left(x_0+h\right)\right)$. Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$. Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.

Niech $f\left(x\right)$ oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu $x_0$. Jeśli istnieje skończona granica $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i oznaczamy jako $f\text{'}\left(x_0\right)$.

Obliczymy, korzystając z definicji, pochodną funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=-x^2+3x$ w punkcie $x_0=-2$.

Rozwiązanie:

Mamy $f\left(x\right)=-x^2+3x$ oraz $x_0=-2$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcjiiloraz różnicowy funkcjiilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h}=\frac{-{\left(-2+h\right)}^2+3·\left(-2+h\right)+{\left(-2\right)}^2+6}{h}=$

$=\frac{-\left(4-4h+h^2\right)-6+3h+4+6}{h}=\frac{-4+4h-h^2-6+3h+4+6}{h}=$

$=\frac{7h-h^2}{h}=7-h$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=-x^2+3x$ w punkcie $x_0=-2$:

$f\text{'}\left(-2\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(7-h\right)=7$

Obliczymy, korzystając z definicji, pochodną funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=x^3+2x$ w punkcie $x_0=3$.

Rozwiązanie:

Mamy $f\left(x\right)=x^3+2x$ oraz $x_0=3$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h}=\frac{{\left(3+h\right)}^3+2·\left(3+h\right)-3^3-2·3}{h}=$

$=\frac{27+27h+9h^2+h^3+6+2h-27-6}{h}=\frac{29h+9h^2+h^3}{h}=$

$=29+9h+h^2$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=x^3+2x$ w punkcie $x_0=3$:

$f\text{'}\left(3\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(29+9h+h^2\right)=29$

Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a, b, c\in \mathrm{ℝ}$, w punkcie $x_0$ jest równa $2a{x}_0+b$.

Rozwiązanie:

Mamy $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ oraz dany punkt $x_0$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{a·{\left(x_0+h\right)}^2+b·\left(x_0+h\right)+c-a·{x_0}^2-b·x_0-c}{h}=$

$=\frac{a{x_0}^2+2a{x}_{0}h+a{h}^2+b{x}_0+bh+c-a{x_0}^2-b{x}_0-c}{h}=$

$=\frac{2a{x}_{0}h+a{h}^2+bh}{h}=2a{x}_0+ah+b$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ w punkcie $x_0$:

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(2a{x}_0+ah+b\right)=2a{x}_0+b$

Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, gdzie $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, w punkcie $x_0$ jest równa $\frac{-a}{{x_0}^2}$.

Rozwiązanie:

Mamy $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ oraz dany punkt $x_0$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{x_0+h}-\frac{a}{x_0}}}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{a·x_0-a·x_0-a·h}{\left(x_0+h\right)·x_0}}}{h}=$

$=\frac{{\displaystyle \frac{-ah}{\left(x_0+h\right)·x_0}}}{h}=\frac{-a}{\left(x_0+h\right)·x_0}$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ w punkcie $x_0$:

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{-a}{\left(x_0+h\right)·x_0}\right)=\frac{-a}{x_0·x_0}=\frac{-a}{{x_0}^2}$

Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\sqrt{x}$, w punkcie $x_0$ jest równa $\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Rozwiązanie:

Mamy $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ oraz dany punkt $x_0$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{{\displaystyle \sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}}{h}=\frac{{\displaystyle \left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}}{h·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}=$

$=\frac{x_0+h-x_0}{h·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}=\frac{h}{h·\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ w punkcie $x_0$:

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

wielkość, która opisuje przyrost wartości funkcji względem przyrostu argumentów funkcji w danym przedziale