Przypomnijmy definicję ilorazu różnicowego funkcji.
Iloraz różnicowy funkcji Definicja: Iloraz różnicowy funkcji
Niech f x oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x 0 .
Ilorazem różnicowym funkcji f x w punkcie x 0 dla przyrostu h zmiennej niezależnej x nazywamy wyrażenie
U h = f x 0 + h - f x 0 h
Jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.
RkBFIqGmV9ob8 Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem y = tg α · x + b . Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne x 0 ; f x 0 , które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne x 0 + h ; f x 0 + h . Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości f x 0 + h - f x 0 . Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.
Zdefiniujmy pochodną funkcji w punkcie.
Pochodna funkcji w punkcie Definicja: Pochodna funkcji w punkcie
Niech f x oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x 0 . Jeśli istnieje skończona granica lim h → 0 f x 0 + h - f x 0 h , to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy jako f ' x 0 .
Stosując tą definicję pokażemy, jak obliczyć pochodną funkcji w podanym punkcie oraz wyprowadzimy, korzystając z definicji, wzory na pochodne różnych funkcji.
Przykład 1
Obliczymy, korzystając z definicji, pochodną funkcji określonej wzorem f x = - x 2 + 3 x w punkcie x 0 = - 2 .
Rozwiązanie:
Mamy f x = - x 2 + 3 x oraz x 0 = - 2 .
Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji iloraz różnicowy funkcji ilorazu różnicowego funkcji :
U h = f - 2 + h - f - 2 h = - - 2 + h 2 + 3 · - 2 + h + - 2 2 + 6 h =
= - 4 - 4 h + h 2 - 6 + 3 h + 4 + 6 h = - 4 + 4 h - h 2 - 6 + 3 h + 4 + 6 h =
= 7 h - h 2 h = 7 - h
Obliczamy pochodną funkcji f x = - x 2 + 3 x w punkcie x 0 = - 2 :
f ' - 2 = lim h → 0 7 - h = 7
Przykład 2
Obliczymy, korzystając z definicji, pochodną funkcji określonej wzorem f x = x 3 + 2 x w punkcie x 0 = 3 .
Rozwiązanie:
Mamy f x = x 3 + 2 x oraz x 0 = 3 .
Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:
U h = f 3 + h - f 3 h = 3 + h 3 + 2 · 3 + h - 3 3 - 2 · 3 h =
= 27 + 27 h + 9 h 2 + h 3 + 6 + 2 h - 27 - 6 h = 29 h + 9 h 2 + h 3 h =
= 29 + 9 h + h 2
Obliczamy pochodną funkcji f x = x 3 + 2 x w punkcie x 0 = 3 :
f ' 3 = lim h → 0 29 + 9 h + h 2 = 29
Przykład 3
Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem f x = a x 2 + b x + c , gdzie a , b , c ∈ ℝ , w punkcie x 0 jest równa 2 a x 0 + b .
Rozwiązanie:
Mamy f x = a x 2 + b x + c oraz dany punkt x 0 .
Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:
U h = f x 0 + h - f x 0 h = a · x 0 + h 2 + b · x 0 + h + c - a · x 0 2 - b · x 0 - c h =
= a x 0 2 + 2 a x 0 h + a h 2 + b x 0 + b h + c - a x 0 2 - b x 0 - c h =
= 2 a x 0 h + a h 2 + b h h = 2 a x 0 + a h + b
Obliczamy pochodną funkcji f x = a x 2 + b x + c w punkcie x 0 :
f ' x 0 = lim h → 0 2 a x 0 + a h + b = 2 a x 0 + b
Przykład 4
Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem f x = a x , gdzie a ∈ ℝ ∖ 0 , w punkcie x 0 jest równa - a x 0 2 .
Rozwiązanie:
Mamy f x = a x oraz dany punkt x 0 .
Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:
U h = f x 0 + h - f x 0 h = a x 0 + h - a x 0 h = a · x 0 - a · x 0 - a · h x 0 + h · x 0 h =
= - a h x 0 + h · x 0 h = - a x 0 + h · x 0
Obliczamy pochodną funkcji f x = a x w punkcie x 0 :
f ' x 0 = lim h → 0 - a x 0 + h · x 0 = - a x 0 · x 0 = - a x 0 2
Przykład 5
Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem f x = x , w punkcie x 0 jest równa 1 2 x 0 .
Rozwiązanie:
Mamy f x = x oraz dany punkt x 0 .
Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:
U h = f x 0 + h - f x 0 h = x 0 + h - x 0 h = x 0 + h - x 0 · x 0 + h + x 0 h · x 0 + h + x 0 =
= x 0 + h - x 0 h · x 0 + h + x 0 = h h · x 0 + h + x 0 = 1 x 0 + h + x 0
Obliczamy pochodną funkcji f x = x w punkcie x 0 :
f ' x 0 = lim h → 0 1 x 0 + h + x 0 = 1 2 x 0
Słownik iloraz różnicowy funkcji iloraz różnicowy funkcji
wielkość, która opisuje przyrost wartości funkcji względem przyrostu argumentów funkcji w danym przedziale