Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy definicję ilorazu różnicowego funkcji.

Iloraz różnicowy funkcji
Definicja: Iloraz różnicowy funkcji

Niech fx oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x0.

Ilorazem różnicowym funkcji fx w punkcie x0 dla przyrostu h zmiennej niezależnej x nazywamy wyrażenie

Uh=fx0+h-fx0h

Jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.

RkBFIqGmV9ob8

Zdefiniujmy pochodną funkcji w punkcie.

Pochodna funkcji w punkcie
Definicja: Pochodna funkcji w punkcie

Niech fx oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x0. Jeśli istnieje skończona granica limh0fx0+h-fx0h, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy jako f'x0.

Stosując tą definicję pokażemy, jak obliczyć pochodną funkcji w podanym punkcie oraz wyprowadzimy, korzystając z definicji, wzory na pochodne różnych funkcji.

Przykład 1

Obliczymy, korzystając z definicji, pochodną funkcji określonej wzorem fx=-x2+3x w punkcie x0=-2.

Rozwiązanie:

Mamy fx=-x2+3x oraz x0=-2.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcjiiloraz różnicowy funkcjiilorazu różnicowego funkcji:

Uh=f-2+h-f-2h=--2+h2+3·-2+h+-22+6h=

=-4-4h+h2-6+3h+4+6h=-4+4h-h2-6+3h+4+6h=

=7h-h2h=7-h

Obliczamy pochodną funkcji fx=-x2+3x w punkcie x0=-2:

f'-2=limh07-h=7

Przykład 2

Obliczymy, korzystając z definicji, pochodną funkcji określonej wzorem fx=x3+2x w punkcie x0=3.

Rozwiązanie:

Mamy fx=x3+2x oraz x0=3.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

Uh=f3+h-f3h=3+h3+2·3+h-33-2·3h=

=27+27h+9h2+h3+6+2h-27-6h=29h+9h2+h3h=

=29+9h+h2

Obliczamy pochodną funkcji fx=x3+2x w punkcie x0=3:

f'3=limh029+9h+h2=29

Przykład 3

Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem fx=ax2+bx+c, gdzie a, b, c, w punkcie x0 jest równa 2ax0+b.

Rozwiązanie:

Mamy fx=ax2+bx+c oraz dany punkt x0.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

Uh=fx0+h-fx0h=a·x0+h2+b·x0+h+c-a·x02-b·x0-ch=

=ax02+2ax0h+ah2+bx0+bh+c-ax02-bx0-ch=

=2ax0h+ah2+bhh=2ax0+ah+b

Obliczamy pochodną funkcji fx=ax2+bx+c w punkcie x0:

f'x0=limh02ax0+ah+b=2ax0+b

Przykład 4

Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem fx=ax, gdzie a0, w punkcie x0 jest równa -ax02.

Rozwiązanie:

Mamy fx=ax oraz dany punkt x0.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

Uh=fx0+h-fx0h=ax0+h-ax0h=a·x0-a·x0-a·hx0+h·x0h=

=-ahx0+h·x0h=-ax0+h·x0

Obliczamy pochodną funkcji fx=ax w punkcie x0:

f'x0=limh0-ax0+h·x0=-ax0·x0=-ax02

Przykład 5

Wykażemy, że pochodna funkcji określonej wzorem fx=x, w punkcie x0 jest równa 12x0.

Rozwiązanie:

Mamy fx=x oraz dany punkt x0.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

Uh=fx0+h-fx0h=x0+h-x0h=x0+h-x0·x0+h+x0h·x0+h+x0=

=x0+h-x0h·x0+h+x0=hh·x0+h+x0=1x0+h+x0

Obliczamy pochodną funkcji fx=x w punkcie x0:

f'x0=limh01x0+h+x0=12x0

Słownik

iloraz różnicowy funkcji
iloraz różnicowy funkcji

wielkość, która opisuje przyrost wartości funkcji względem przyrostu argumentów funkcji w danym przedziale