Przeczytaj

Punktom osi liczbowej odpowiada nieskończenie wiele liczb naturalnych:

0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots

jak i liczb całkowitych ujemnych:

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, \dots

RuS8VMUzNNxeO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z opisanymi punktami od minus dwa do dwa.

Ważne!

Liczbę $0$ będziemy uważać za liczbę naturalną. Jest to jednak tylko kwestia umowy - w niektórych książkach można się spotkać z niezaliczaniem zera do liczb naturalnych.

Każdy odcinek prostej można dzielić na dowolnie małe części. Przykładowo, gdy podzielimy odcinek o końcach w punktach $0$ i $1$ na sześć równych części, to punkty podziału wypadną w liczbach:

0, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}

oraz

1

R1FnAjo8dOu0s

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi wartościami od zero do jeden. Między nimi opisano punkty: jedna szósta, dwie szóste, trzy szóste, cztery szóste, pięć szóstych.

Z kolei dzieląc ten sam odcinek na piętnaście równych części, wyróżnimy na osi jeszcze dłuższą serię liczb.

RIGVR8JcGAYxO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi wartościami od zera do jeden. Pomiędzy nimi oznaczono punkty od jednej piętnastej do czternastu piętnastych.

Ważne!

Ułamki o tych samych mianownikach łatwo się porównuje, np. $\frac{10}{15} < \frac{11}{15}$ , $\frac{11}{15} < \frac{13}{15}$ . Obie te nierówności możemy zapisać w formie tzw. nierówności podwójnej: $\frac{10}{15} < \frac{11}{15} < \frac{13}{15}$ . Taki zapis wyraźnie pokazuje, że $\frac{11}{15}$ leży na osi liczbowej pomiędzy liczbami $\frac{10}{15}$ oraz $\frac{13}{15}$ .

Widać teraz, że każdy odcinek o końcach będących liczbami całkowitymi można dzielić na dowolną liczbę równych części. A zatem liczb, które pojawią się wówczas jako punkty podziału, jest nieskończenie wiele. Każdą z nich zawsze można zapisać w postaci ułamka zwykłego $\frac{p}{q}$ gdzie $p$ oraz $q$ są liczbami całkowitymi. Zbiór wszystkich ułamków zwykłych nazywamy także zbiorem liczb wymiernych.

Już wiesz

Ułamek, który jest mniejszy od $1$ i większy od $- 1$ , nazywamy ułamkiem właściwym. Ułamek, który nie jest właściwy, czyli ułamek niewłaściwy, można zapisać albo jako liczbę całkowitą, albo w postaci sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego.

liczba wymierna

Definicja: liczba wymierna

Liczba $x$ jest liczbą wymierną, jeśli można ją przedstawić w postaci: $x = \frac{p}{q}$ , czyli w postaci ułamka zwykłego, gdzie liczby $p$ oraz $q$ są liczbami całkowitymi, przy czym $q$ jest różne od zera.

Przykład 1

Liczba $\frac{13}{25}$ jest liczbą wymiernąliczba wymiernaliczbą wymierną.

Przykład 2

Liczba $2 \frac{1}{3}$ jest liczbą wymierną, bowiem można ją zapisać w postaci ułamka zwykłego: $2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Przykład 3

Każda liczba całkowita $p$ jest liczbą wymierną, bo można ją zapisać w postaci ułamka zwykłego: $p = \frac{p}{1}$ .

Uwaga!

Na osi liczbowej, oprócz liczb wymiernych, jest jeszcze nieskończenie wiele liczb niewymiernych, czyli takich, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego.

Dla zainteresowanych

Przykładem liczby niewymiernej jest $\sqrt{2}$ . O liczbach niewymiernych można powiedzieć, że są położone na osi liczbowej w punktach, w które nigdy nie trafimy, dzieląc odcinek o całkowitych końcach na $n$ równych części.

Wiesz już, jak należy wykonywać działania na liczbach wymiernych, rozszerzać i skracać ułamki, dodawać je, odejmować, mnożyć i dzielić. Nie ma zatem potrzeby, aby teraz uczyć się tego od nowa. Przypomnimy jedynie techniki, których w tych operacjach używamy.

Przykład 4

Ustalimy, która z liczb: $x = \frac{18}{27}$ oraz $y = \frac{24}{45}$ jest większa. Na początek zauważamy, że oba ułamki można skrócić:

$x = \frac{18}{27} = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ , $y = \frac{24}{45} = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 15} = \frac{8}{15}$ .

Teraz wystarczy ułamki $x = \frac{2}{3}$ oraz $y = \frac{8}{15}$ sprowadzić do wspólnego mianownika. Najmniejszym z nich jest liczba $15$ . Ułamek $x = \frac{2}{3}$ możemy teraz rozszerzyć następująco:

$x = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$ .

Widać już, że $y < x$ , gdyż $\frac{8}{15} < \frac{10}{15}$ .

R1JyepLe3Qlbp

Ważne!

Zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne są elementami zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór ten można określić następująco: liczby rzeczywiste dodatnie to wszystkie możliwe długości odcinka, zaś liczby rzeczywiste ujemne to wszystkie liczby przeciwne do liczb rzeczywistych dodatnich. Zbiór liczb rzeczywistych to zbiór utworzony przez połączenie zbioru liczb rzeczywistych dodatnich i zbioru liczb rzeczywistych ujemnych.

Przykład 5

Obliczymy wartość wyrażenia $x = (\frac{3}{5} + 1 \frac{3}{8}) : 3 \frac{19}{20}$ .

Najpierw zapisujemy liczby mieszane w postaci ułamków zwykłych: $x = (\frac{3}{5} + \frac{8 + 3}{8}) : \frac{60 + 19}{20} = (\frac{3}{5} + \frac{11}{8}) : \frac{79}{20}$ .

Dodajemy teraz ułamki w nawiasie, sprowadzając je do wspólnego mianownika, co prowadzi do następującego wyniku: $x = (\frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5}) : \frac{79}{20} = \frac{24 + 55}{40} : \frac{79}{20} = \frac{79}{40} \cdot \frac{20}{79} = \frac{1}{2}$ .

W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z tego, że dzielenie przez dany ułamek oznacza mnożenie przez jego odwrotność.

Słownik

liczba wymierna

liczba $x$ jest liczbą wymierną, jeśli można ją przedstawić w postaci: $x = \frac{p}{q}$ , czyli w postaci ułamka zwykłego, gdzie liczby $p$ oraz $q$ są liczbami całkowitymi, przy czym $q$ jest różne od zera

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik