Przeczytaj
Niech dane będą funkcje i . Dla każdego elementu istnieje wówczas dokładnie jeden element , taki że . Funkcje i wyznaczają więc nową funkcję określoną w następujący sposób: dla każdego . Funkcję nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji i i oznaczamy symbolem .
Funkcję przyjęto nazywać funkcją wewnętrzną, zaś funkcją zewnętrzną funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest schemat złożenia dwóch funkcji. Po lewej stronie w niebieskim prostokącie znajdują się trzy kropki – jest to dziedzina funkcji . Wszystkim trzem argumentom funkcja przyporządkowuje pewne wartości wewnątrz niebieskiego trójkąta. Jest to właśnie zbiór wartości funkcji . Oznaczamy go przez . Może on zawierać się w większym zbiorze . Jest to przeciwdziedzina funkcji . Na naszym rysunku jest on niebieską elipsą. W tej elipsie jest jeden niebieski punkt, który nie jest wartością tej funkcji, nie dochodzi do niego niebieska strzałka. Mamy też funkcję , której dziedziną jest duży prostokąt – . W zbiorze znajduje się pięć argumentów funkcji . Ponieważ jest to dziedzina, to od każdego argumentu musi odchodzić strzałka, musi być jakieś przyporządkowanie i trafiać w fioletowy trapez - w zbiór - przeciwdziedzinę funkcji . W zbiorze mogą się znajdować elementy, do których nie dochodzą strzałki. Te elementy, do których strzałki dochodzą, czyli są to elementy przekształcone w wyniku działania funkcji , należą do zbioru wartości funkcji i oznaczamy go przez - to fioletowy równoległobok. Nasze złożeniezłożenie musi wykorzystać wszystkie argumenty ze zbioru , przekształca je funkcją na wartości, które są również argumentami funkcji , przekształcającej je dalej na wartości. Zielone strzałki pokazują już rezultat naszego złożenia działającego ze zbioru w zbiór .
Składanie funkcji można porównać do ubierania swetrów. Jeśli mamy na sobie dwa swetry, na wierzchu fioletowy a pod spodem niebieski, to w pewnej kolejności je na siebie nałożyliśmy – najpierw niebieski a potem dopiero fioletowy.
Funkcję nazywamy funkcją wewnętrznąfunkcją wewnętrzną , zaś nazywamy zewnętrznązewnętrzną – dokładnie tak, jak ze swetrami.
Czasami funkcje oraz określone są tylko za pomocą wzorów. Wówczas, jeśli szukamy złożenia , należy określić dziedziny i (odpowiednio funkcji i ).
Jeśli zbiór wartości funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji tj. , to dziedzina funkcji złożonej jest równa dziedzinie funkcji , czyli .
Jeśli zbiór wartości funkcji nie zawiera się w dziedzinie funkcji , czyli , wówczas dziedzina złożenia funkcji składa się jedynie z argumentów należących do dziedziny funkcji , których wartości należą do dziedziny funkcji tj. .
Złożenie funkcji nazywamy superpozycją.
Dana jest funkcja złożona . Określimy funkcję wewnętrzną i zewnętrzną tego złożenia oraz zapiszemy funkcję za pomocą superpozycji.
Rozwiązanie
Podana funkcja składa się z funkcji pierwiastkowej i kwadratowej.
Funkcją wewnętrzną jest , a zewnętrzną .
Funkcja zapisana za pomocą superpozycji będzie postaci .
Niech oraz . Utworzymy złożenie podając wzór i określimy dziedzinę tego złożenia.
Rozwiązanie
Rozpoczniemy od wyznaczenie superpozycji. Niech , czyli .
Otrzymaliśmy odpowiedni wzór, więc przejdziemy do wyznaczenia dziedziny złożenia. Z własności funkcji liniowej i logarytmicznej wiadomo, że oraz .
Zauważmy, że , zatem skorzystamy z warunku, że . Stąd i , czyli .
Ostatecznie .
Dane są funkcje oraz . Znajdziemy superpozycje: oraz . Jaki otrzymamy wniosek?
Rozwiązanie
Określmy dziedzinę i zbiór wartości funkcji oraz funkcji . Funkcja jest funkcją liniową zatem . Funkcja . W odniesieniu do definicji .
Stąd funkcja oraz
Ponieważ , to złożenie istnieje i oraz .
Wniosek: Ponieważ , to złożenie funkcji nie jest przemienne.
Pokażemy, że dla dowolnych funkcji , i zachodzi: .
Rozwiązanie
Niech , , , i . Weźmy dowolny . Wówczas
Złożenie funkcji jest działaniem łącznym.
Niech . Znajdziemy rozwiązanie nierówności .
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział , czyli .
Istnieje zatem złożenie , które wyraża się wzorem:
.
Naszym zadaniem jest znalezienie takich , które spełniają nierówność:
. . Stąd dla każdego . Zatem .
Szukamy pierwiastków równania: lub .
Narysujmy wykres pomocniczej funkcji , .
Odczytujemy z wykresu, iż . Stąd:
Dane są funkcje: oraz . Wyznaczymy oraz .
Rozwiązanie
Określmy dziedziny oraz zbiory wartości funkcji oraz funkcji . Funkcja . Funkcja .
Zbiór , zatem istnieje złożenie , określone wzorem:
. Złożenie również istnieje, ponieważ i , gdzie .
Niech funkcje i będą określone w następujący sposób: , . Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Określmy dziedziny i zbiory wartości funkcji i .
Funkcja , .
Ponieważ oraz , istnieją złożenia , oraz , gdzie , a .
Podstawmy do warunku zadania:
Podstawmy za , gdzie . Otrzymujemy nierówność kwadratową:
Naszkicujmy wykres trójmianu kwadratowego .
,
oraz .
Odczytujemy z wykresu, że nierówność jest spełniona dla . Ale , stąd . Wróćmy z podstawieniem: . Pierwsza nierówność jest spełniona dla każdego . Z drugiej nierówności otrzymujemy: . Ponieważ jest to koniunkcja dwóch warunków, to w konsekwencji otrzymujemy, że .
Słownik
Niech dane będą funkcje: i . Funkcję spełniającą warunek: , dla każdego nazywamy superpozycją (złożeniem) funkcji i .
w złożeniu funkcję nazywamy funkcją wewnętrzną
w złożeniu funkcję nazywamy funkcją zewnętrzną