Przeczytaj

złożenie funkcji

Definicja: złożenie funkcji

Niech dane będą funkcje $f : X \to Y$ i $g : Y \to Z$ . Dla każdego elementu $x \in X$ istnieje wówczas dokładnie jeden element $z \in Z$ , taki że $z = g (f (x))$ . Funkcje $f$ i $g$ wyznaczają więc nową funkcję $h : X \to Z$ określoną w następujący sposób: $h (x) = g (f (x))$ dla każdego $x \in X$ . Funkcję $h$ nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji $f$ i $g$ i oznaczamy symbolem $g \circ f$ .

Funkcję $f$ przyjęto nazywać funkcją wewnętrzną, $g$ zaś funkcją zewnętrzną funkcji $h$ .

RI1FnoAjyeWLy

Ilustracja obrazuje złożenie funckji za pomocą figur geometrycznych. Można na niej wyróżnić trzy części. Pierwsza z nich znajduje się w górnym lewym rogu i jest w kształcie niebieskiego prostokąta, który jest nazwany wielkie X. Na nim namalowane są trzy kropki. Po prawo od niebieskiego prostokąta znajduje się druga część, czyli fioletowy prostokąt nazwany wielkie W. W nim znajduje się niebieska elipsa nazwana wielkie Y, a w elipsie niebieski trójkąt równoramienny nazwany f nawias wielkie X zamknięcie nawiasu. W trójkącie tym, również są zaznaczone trzy kropki. Kropki z niebieskiego prostokąta wielkie X łączą się za pomocą strzałek z grotem skierowanym w prawo z kropkami w fioletowym trójkącie f nawias wielkie X zamknięcie nawiasu. Nad strzałką znajduje się napis f. Pod fioletowym prostokątem wielkie W znajduje się trzecie część, czyli fioletowy trapez wielkie Z, a w jego wewnętrzu znajduje się fioletowy równoległobok g nawias wielkie W zamknięcie nawiasu. Wewnątrz fioletowego równoległoboku znajdują się trzy kropki do których poprowadzone są fioletowe. Strzałki od kropek znajdujących się w niebieski trójkącie f nawias wielkie X zamknięcie nawiasu. Strzałki skierowane mają grot w dół i są podpisane g. Do tych samych kropek w fioletowym równoległoboku poprowadzone są zielone strzałki z trzech kropek z prostokąta wielkie X. Cały ten proces można opisać za pomocą równania znajdującego się w lewym dolnym rogu h równa się złożenie funckji f i g. Poza tym w niebieskiej elipsie wielkie Y znajduje się pojedyncza kropka który za pomocą fioletowej strzałki podpisane g łączy się z czwartą kropką w fioletowym równoległoboku. W fioletowym prostokącie wielkie W znajduje się pojedyncza kropka który za pomocą fioletowej strzałki podpisane g łączy się z piątą kropką w fioletowym równoległoboku. Poza tym w fioletowym trapezie wielkie Z znajdują się dwie kropki z niczym nie połączone. Kropki oznaczają argumenty funkcji .

Na rysunku przedstawiony jest schemat złożenia dwóch funkcji. Po lewej stronie w niebieskim prostokącie znajdują się trzy kropki – jest to dziedzina funkcji $f$ . Wszystkim trzem argumentom funkcja $f$ przyporządkowuje pewne wartości wewnątrz niebieskiego trójkąta. Jest to właśnie zbiór wartości funkcji $f$ . Oznaczamy go przez $f (X)$ . Może on zawierać się w większym zbiorze $Y$ . Jest to przeciwdziedzina funkcji $f$ . Na naszym rysunku jest on niebieską elipsą. W tej elipsie jest jeden niebieski punkt, który nie jest wartością tej funkcji, nie dochodzi do niego niebieska strzałka. Mamy też funkcję $g$ , której dziedziną jest duży prostokąt – $W$ . W zbiorze $W$ znajduje się pięć argumentów funkcji $g$ . Ponieważ jest to dziedzina, to od każdego argumentu musi odchodzić strzałka, musi być jakieś przyporządkowanie i trafiać w fioletowy trapez - w zbiór $Z$ - przeciwdziedzinę funkcji $g$ . W zbiorze $Z$ mogą się znajdować elementy, do których nie dochodzą strzałki. Te elementy, do których strzałki dochodzą, czyli są to elementy przekształcone w wyniku działania funkcji $g$ , należą do zbioru wartości funkcji $g$ i oznaczamy go przez $g (W)$ - to fioletowy równoległobok. Nasze złożeniezłożenie (superpozycja)złożenie musi wykorzystać wszystkie argumenty ze zbioru $X$ , przekształca je funkcją $f$ na wartości, które są również argumentami funkcji $g$ , przekształcającej je dalej na wartości. Zielone strzałki pokazują już rezultat naszego złożenia działającego ze zbioru $X$ w zbiór $Z$ .

Składanie funkcji można porównać do ubierania swetrów. Jeśli mamy na sobie dwa swetry, na wierzchu fioletowy a pod spodem niebieski, to w pewnej kolejności je na siebie nałożyliśmy – najpierw niebieski a potem dopiero fioletowy.

Funkcję $f$ nazywamy funkcją wewnętrznąfunkcja wewnętrznafunkcją wewnętrzną , zaś $g$ nazywamy zewnętrznąfunkcja zewnętrznazewnętrzną – dokładnie tak, jak ze swetrami.

Czasami funkcje $f$ oraz $g$ określone są tylko za pomocą wzorów. Wówczas, jeśli szukamy złożenia $g \circ f$ , należy określić dziedziny $D_{f}$ i $D_{g}$ (odpowiednio funkcji $f$ i $g$ ).

Jeśli zbiór wartości funkcji $f$ zawiera się w dziedzinie funkcji $g$ tj. $f (D_{f}) \subset D_{g}$ , to dziedzina funkcji złożonej $g \circ f$ jest równa dziedzinie funkcji $f$ , czyli $D_{g \circ f} = D_{f}$ .

Jeśli zbiór wartości funkcji $f$ nie zawiera się w dziedzinie funkcji $g$ , czyli $f (D_{f}) ⊄ D_{g}$ , wówczas dziedzina złożenia funkcji $g \circ f$ składa się jedynie z argumentów należących do dziedziny funkcji $f$ , których wartości należą do dziedziny funkcji $g$ tj. $D_{g \circ f} = \{x : x \in D_{f} \land f (x) \in D_{g}\}$ .

R10q7g7romHrd

Ilustracja obrazuje relacje dziedzin dwóch funckji f i g podczas ich złożenia. Na ilustracji wyróżniamy trzy części. Pierwsza z nich znajduje się w lewym górnym rogu i jest to niebieski prostokąt o nazwie wielkie D indeks dolny f koniec indeksu dolnego oraz znajdująca się w nim zielona elipsa o nazwie wielkie D indeks dolny złożenie funkcji f i g koniec indeksu dolnego. Druga część znajduje się po prawo i jest to fioletowy prostokąt o nazwie wielkie D indeks dolny g koniec indeksu dolnego który przykrywa w połowie niebieski trójkąt o nazwie f nawias wielkie D indeks dolny f koniec indeksu dolnego nawias. W zielonej elipsie z pierwszej części zaznaczone są dwie kropki które łączą się za pomocą niebieskich strzałek podpisanych f z dwiema kropkami znajdującymi się w części wspólnej niebieskiego trójkąta i fioletowego prostokąta z drugiej części. Trzecia część znajduje się pod drugą częścią która jest fioletowym prostokątem w którym znajdują się dwie kropki do których poprowadzone są różowe strzałki podpisane g od dwóch wspomnianych kropek z drugiej części oraz zielone strzałki od dwóch kropek z części pierwszej. Po lewo napisane jest na zielono złożenie funckji f i g. Po za tym w niebieskim prostokącie w pierwszej części znajduje się jedna kropka połączona za pomocą niebieskiej strzałki podpisanej z f z kropką znajdującą się tylko w niebieskim trójkącie z drugiej części. Kropki oznaczają argumenty funkcji .

bg‑magenta

Złożenie funkcji nazywamy superpozycją.

Przykład 1

Dana jest funkcja złożona $h (x) = \sqrt{6 x - x^{2}}$ . Określimy funkcję wewnętrzną i zewnętrzną tego złożenia oraz zapiszemy funkcję $h$ za pomocą superpozycji.

Rozwiązanie

Podana funkcja składa się z funkcji pierwiastkowej i kwadratowej.

Funkcją wewnętrzną jest $f (x) = 6 x - x^{2}$ , a zewnętrzną $g (x) = \sqrt{x}$ .

Funkcja $h$ zapisana za pomocą superpozycji będzie postaci $h = g \circ f = g (f (x))$ .

Przykład 2

Niech $f (x) = \log x$ oraz $g (x) = 10 - 6 x$ . Utworzymy złożenie $f \circ g$ podając wzór i określimy dziedzinę tego złożenia.

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od wyznaczenie superpozycji. Niech $h = f \circ g$ , czyli $h = f (g (x)) = \log (10 - 6 x)$ .

Otrzymaliśmy odpowiedni wzór, więc przejdziemy do wyznaczenia dziedziny złożenia. Z własności funkcji liniowej i logarytmicznej wiadomo, że $D_{f} = (0, \infty)$ oraz $D_{g} = R$ .

Zauważmy, że $f (D_{g}) ⊄ D_{f}$ , zatem skorzystamy z warunku, że $D_{f \circ g} = \{x : x \in D_{g} \land g (x) \in D_{f}\}$ . Stąd $x \in R$ i $10 - 6 x > 0$ , czyli $x < \frac{5}{3}$ .

Ostatecznie $D_{f \circ g} = (- \infty, \frac{5}{3})$ .

Przykład 3

Dane są funkcje $f (x) = x + 2$ oraz $g (x) = 2 x^{2} - 1$ . Znajdziemy superpozycje: $g \circ f$ oraz $f \circ g$ . Jaki otrzymamy wniosek?

Rozwiązanie

Określmy dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$ oraz funkcji $g$ . Funkcja $f$ jest funkcją liniową zatem $f : ℝ \to ℝ$ . Funkcja $g : ℝ \to ⟨- 1; \infty)$ . W odniesieniu do definicji $Y = W = ℝ$ .

RUgqMOqaMOzqE

Ilustracja przedstawia schemat. Od lewej. Zbiór liczb rzeczywistych strzałka w prawo z napisem f jako funkcja. Zbiór liczb rzeczywistych. strzałka w dół z napisem g jako funkcja. przedział lewostronnie domknięty od minus 1 do nieskończoności. Od pierwszego zbioru liczb rzeczywistych z lewej strony wychodzi strzałka do przedziału z równaniem h=g∘f.

Stąd funkcja $h = g \circ f : ℝ \to ⟨- 1; \infty)$ oraz $h (x) = g (f (x)) = 2 {(x + 2)}^{2} - 1 = 2 (x^{2} + 4 x + 4) - 1 = 2 x^{2} + 8 x + 8 - 1 =$ $= 2 x^{2} + 8 x + 7$

R8ltgjVIXUZ8m

Ilustracja przedstawia schemat. Od lewej. Zbiór liczb rzeczywistych strzałka w prawo z napisem g jako funkcja. Przedział lewostronnie domknięty od minus 1 do nieskończoności zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych; strzałka w dół z napisem f jako funkcja. Zbiór liczb rzeczywistych. Od pierwszego zbioru liczb rzeczywistych z lewej strony wychodzi strzałka do końcowego zbioru liczb rzeczywistych z równaniem h=f∘g.

Ponieważ $⟨- 1; \infty) \subset ℝ$ , to złożenie $f \circ g$ istnieje i $k = f \circ g : ℝ \to ℝ$ oraz $k (x) = f (g (x)) = (2 x^{2} - 1) + 2 = 2 x^{2} - 1 + 2 = 2 x^{2} + 1$ .

Wniosek: Ponieważ $g \circ f \neq f \circ g$ , to złożenie funkcji nie jest przemienne.

Przykład 4

Pokażemy, że dla dowolnych funkcji $f$ , $g$ i $h$ zachodzi: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ .

Rozwiązanie

Niech $h : S \to T$ , $g : W \to X$ , $f : Y \to Z$ , $T \subset W$ i $X \subset Y$ . Weźmy dowolny $x \in S$ . Wówczas $(f \circ (g \circ h)) (x) = f ((g \circ h) (x)) = f (g (h (x))) = (f \circ g) (h (x)) =$ $= ((f \circ g) \circ h) (x)$

bg‑magenta

Złożenie funkcji jest działaniem łącznym.

Przykład 5

Niech $f (x) = 2 x (1 - x)$ . Znajdziemy rozwiązanie nierówności $f^{2} = f \circ f > 0$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział $(- \infty; \frac{1}{2} ⟩$ , czyli $f : ℝ \to (- \infty; \frac{1}{2} ⟩$ .

R1ZUEi0eCLJ0f

Ilustracja przedstawia schemat. Od lewej. Zbiór liczb rzeczywistych strzałka w prawo z napisem f jako funkcja. .Przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do jednej drugiej zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych. Strzałka w dół z napisem f jako funkcja. Zbiór liczb rzeczywistych. Od pierwszego zbioru liczb rzeczywistych z lewej strony wychodzi strzałka do przedziału przedział prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do jednej drugiej z równaniem f∘f.

Istnieje zatem złożenie $f \circ f$ , które wyraża się wzorem:

$f (f (x)) = 2 (2 x (1 - x)) (1 - 2 x (1 - x)) = 4 x (1 - x) (1 - 2 x + 2 x^{2})$ .

Naszym zadaniem jest znalezienie takich $x$ , które spełniają nierówność:

$4 x (1 - x) (1 - 2 x + 2 x^{2}) > 0$ . $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = - 4 < 0$ . Stąd $1 - 2 x + 2 x^{2} > 0$ dla każdego $x \in ℝ$ . Zatem $4 x (1 - x) (1 - 2 x + 2 x^{2}) > 0 \Leftrightarrow 4 x (1 - x) > 0 \Leftrightarrow x (1 - x) > 0$ .

Szukamy pierwiastków równania: $x (1 - x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ lub $x = 1$ .

Narysujmy wykres pomocniczej funkcji $h (x) = x (1 - x)$ , $h : ℝ \to ℝ$ .

RrZtUkdMcQt72

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y oraz poziomą X. Zaznaczono wartości zero oraz jeden na osi poziomej oraz na osi pionowej wartość jedna czwarta. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji hx=y, czyli parabolę z ramionami skierowanymi w dół i miejscami zerowymi równymi zero i jeden. Wierzchołek paraboli znajduje się na wysokości jedna czwarta.

Odczytujemy z wykresu, iż $h (x) = x (1 - x) > 0 \Leftrightarrow x \in (0; 1)$ . Stąd:

$f \circ f > 0 \Leftrightarrow x \in (0; 1)$

Przykład 6

Dane są funkcje: $f (x) = \sqrt{x}$ oraz $g (x) = x^{2}$ . Wyznaczymy $f \circ g$ oraz $g \circ f$ .

Rozwiązanie

Określmy dziedziny oraz zbiory wartości funkcji $f$ oraz funkcji $g$ . Funkcja $f : ⟨0; \infty) \to ⟨0; \infty)$ . Funkcja $g : ℝ \to ⟨0; \infty)$ .

RDZowLtDVad3g

Ilustracja przedstawia schemat. Od lewej przedział lewostronnie domknięty od zera do nieskończoności. Strzałka w prawo z napisem f. Przedział lewostronnie domknięty zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych strzałka w dół z napisem g. przedział lewostronnie domknięty od zera do nieskończoności. Z pierwszego przedziału wychodzi strzałka do ostatniego przedziału z napisem g∘f.

Zbiór $⟨0; \infty) \subset ℝ$ , zatem istnieje złożenie $g \circ f : ⟨0; \infty) \to ⟨0; \infty)$ , określone wzorem:

$g (f (x)) = {(\sqrt{x})}^{2} = x$ . Złożenie $f \circ g$ również istnieje, ponieważ $⟨0; \infty) \subset ⟨0; \infty)$ i $f \circ g : ℝ \to ⟨0; \infty)$ , gdzie $f (g (x)) = \sqrt{x^{2}} = |x|$ .

Przykład 7

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w następujący sposób: $f (x) = 2^{x} + 1$ , $g (x) = 2 x + 4$ . Rozwiążemy nierówność: $f (g (x)) < g (f (x)) - 2$ .

Rozwiązanie

Określmy dziedziny i zbiory wartości funkcji $f$ i $g$ .

Funkcja $f : ℝ \to (1; \infty)$ , $g : ℝ \to ℝ$ .

REHSCn7im9h4B

Ilustracja przedstawia schemat. Zbiór liczb rzeczywistych. Strzałka w bok z napisem f . przedział otwarty od jeden do nieskończoności zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych. Strzałka w dół z napisem g. Zbiór liczb rzeczywistych. Pierwszy zbiór liczb rzeczywistych łączy się z ostatnim strzałką z napisem g∘f.

R1LWgG8WGQfGz

Ilustracja przedstawia schemat. Zbiór liczb rzeczywistych. Strzałka w bok z napisem g do zbioru liczb rzeczywistych. Strzałka w dół z napisem f do przedziału otwartego od jeden do nieskończoności. Od pierwszego zbioru liczb rzeczywistych do przedziału prowadzi strzałka z napisem. f∘g.

Ponieważ $(1; \infty) \subset ℝ$ oraz $ℝ \subset ℝ$ , istnieją złożenia $g \circ f : ℝ \to ℝ$ , oraz $f \circ g : ℝ \to (1; \infty)$ , gdzie $g (f (x)) = 2 (2^{x} + 1) + 4 = 2 \cdot 2^{x} + 6$ , a $f (g (x)) = 2^{2 x + 4} + 1$ .

Podstawmy do warunku zadania:

$f (g (x)) < g (f (x)) - 2 \Leftrightarrow 2^{2 x + 4} + 1 < 2 \cdot 2^{x} + 6 - 2 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 2^{2 x + 4} - 2 \cdot 2^{x} - 3 < 0 \Leftrightarrow 16 \cdot 2^{2 x} - 2 \cdot 2^{x} - 3 < 0 .$

Podstawmy za $2^{x} = t$ , gdzie $t > 0$ . Otrzymujemy nierówność kwadratową:

$16 t^{2} - 2 t - 3 < 0$

Naszkicujmy wykres trójmianu kwadratowego $h (t) = 16 t^{2} - 2 t - 3$ .

$Δ = 4 - 4 \cdot 16 \cdot (- 3) = 4 + 192 = 196, \sqrt{Δ} = 14$ ,

$t_{1} = \frac{2 - 14}{32} = \frac{- 12}{32} = \frac{- 3}{8}$ oraz $t_{1} = \frac{2 + 14}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ .

RGgMWDODdbFTV

IIlustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą T oraz pionową Y. Na osi T zaznaczono takie punkty jak minus trzy ósme, zero, jedna druga oraz jeden. Na osi Y zaznaczono minus trzy. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji ht=y, czyli parabolę z ramionami skierowanymi w górę oraz wierzchołkiem w czwartej ćwiartce. Miejsca zerowe to minus trzy ósme oraz jedna druga. Wierzchołek paraboli ma współrzędną igrekową równa minus trzy.

Odczytujemy z wykresu, że nierówność jest spełniona dla $t \in (- \frac{3}{8}; \frac{1}{2})$ . Ale $t > 0$ , stąd $0 < t < \frac{1}{2}$ . Wróćmy z podstawieniem: $0 < 2^{x} < \frac{1}{2} = 2^{- 1}$ . Pierwsza nierówność jest spełniona dla każdego $x \in ℝ$ . Z drugiej nierówności otrzymujemy: $x < - 1$ . Ponieważ jest to koniunkcja dwóch warunków, to w konsekwencji otrzymujemy, że $x \in (- \infty; - 1)$ .

Słownik

złożenie (superpozycja)

Niech dane będą funkcje: $f : X \to Y$ i $g : Y \to Z$ . Funkcję $h$ spełniającą warunek: $h (x) = g (f (x))$ , dla każdego $x \in X$ nazywamy superpozycją (złożeniem) funkcji $f$ i $g$ .

funkcja wewnętrzna

w złożeniu $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ funkcję $f$ nazywamy funkcją wewnętrzną

funkcja zewnętrzna

w złożeniu $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ funkcję $g$ nazywamy funkcją zewnętrzną

Wprowadzenie

Infografika

Słownik