Wyznaczymy pierwiastki równania kwadratowego $x^2+4x+3=0$ (jeżeli istnieją).

Najpierw sprawdzimy, czy równanie kwadratowe posiada rozwiązanie.

$∆=4^2-4·3=16-12=4>0$

„Delta” jest liczbą dodatnią, czyli równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Obliczymy sumę pierwiastków równania.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1+x_2=-4$

Obliczymy iloczyn pierwiastków równania.

$x_1·x_2=\frac{c}{a}$

$x_1·x_2=3$

Czyli $x_1+x_2=-4$, $x_1·x_2=3$.

Odgadywanie pierwiastków możemy rozpocząć od podania takich par liczb całkowitych, których iloczyn jest równy $3$.

Są to liczby $1$ i $3$ oraz $-1$ i $-3$.

Korzystając z warunku, że suma tych liczb jest równa $\left(-4\right)$.

Wybieramy liczby $-1$ i $-3$.

Pierwiastki równania kwadratowego to $x=-3$, $x=-1$.

Wyznaczymy pierwiastki równania kwadratowego $x^2-2x-8=0$.

Sprawdzimy najpierw, czy równanie ma pierwiastki.

$∆={\left(-2\right)}^2-4·\left(-8\right)=4+32=36>0$

Równanie ma dwa różne rozwiązania.

$x_1+x_2=2$

$x_1·x_2=-8$

Ponieważ iloczyn pierwiastków jest ujemny, to znaczy, że pierwiastki mają przeciwne znaki.

Przyjmując, że pierwiastki są liczbami całkowitymi możemy podać pary $-8$ i $1$, $-1$ i $8$, $-2$ i $4$, $-4$ i $2$.

Ale suma pierwiastków jest liczbą dodatnią równą $2$, zatem tylko para $-2$ i $4$ spełnia oba równania.

Rozwiązaniem równania są liczby $x=-2$, $x=4$.

Wyznaczymy współczynniki $b$ i $c$ równania kwadratowego $x^2+bx+c=0$ wiedząc, że rozwiązania $x_1$ i $x_2$ równania spełniają warunki $x_1=7$, $x_1·x_2=-56$.

Ponieważ $x_1·x_2=\frac{c}{a}$, czyli $\frac{c}{a}=-56$, $c=-56$.

Równanie możemy zapisać w postaci $x^2+bx-56=0$.

Ponieważ $x_1=7$, czyli $7^2+b·7-56=0$.

$49+7b-56=0$

$7b=7$

$b=1$

Współczynniki równania kwadratowego to $b=1$ i $c=-56$.

Obliczymy rozwiązania równania kwadratowego $x^2-mx-4=0$ wiedząc, że  rozwiązania są liczbami całkowitymi i parametr $m$ jest liczbą pierwsząliczba pierwszaliczbą pierwszą.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$∆=m^2-4·\left(-4\right)=m^2+16>0$

Oznacza to że dla dowolnej liczby $m$ równanie ma dwa różne rozwiązania.

Korzystając ze wzorów Viète’awzory Viete’awzorów Viète’a otrzymujemy:

$x_1+x_2=m$

$x_1·x_2=-4$

Z drugiego warunku możemy ustalić, że ponieważ $x_1, x_2\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ to rozwiązaniami równania mogą być pary liczb $-4$ i $1$ lub $-1$ i $4$.

Ale $x_1+x_2=m$, gdzie $m$ jest liczbą pierwszą.

Zatem suma $-4+1=-3$ nie spełnia tego warunku.

Sprawdzimy drugą parę liczb.

$4+\left(-1\right)=3$

Liczba $3$ jest liczbą pierwszą, zatem rozwiązania równania to $x=4$, $x=-1$, dla parametru $m=3$.

jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to:

$x_1+ x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1·x_2=\frac{c}{a}$

taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne, jedynkę i samą siebie