Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Przykład 1

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z spełniających warunek x>y>z zachodzi x>y+z2.

Założenie

x>y>z; x, y, z

Teza

x>y+z2

Dowód

Zauważmy, że teza jest równoważna nierówności x-y+z2>0.

Rozważmy wyrażenie x-y+z2.

x-y+z2=2x2-y+z2=2x-y+z2=2x-y-z2=x-y+x-z2

Z założenia wiemy, że x>yx>z, zatem x-y>0x-z>0.

Ponadto suma liczb dodatnich jest dodatnia, więc x-y+x-z>0.

Stąd x-y+x-z2>0.

Na mocy przechodniości relacji równości mamy x-y+z2>0, zatem teza została udowodniona.

Przykład 2

Wiadomo, że liczby pp3+21 są liczbami pierwszymi. Wykażemy, że istnieje dokładnie jedna liczba p spełniająca ten warunek.

Założenie

pp3+21 są liczbami pierwszymi.

Teza

Istnieje dokładnie jedna liczba p.

Dowód

Zauważmy, że jedyną liczbą pierwszą parzystą jest liczba 2.

Rozważmy p=2.

Wtedy p3+21=23+21=8+21=29, co jest liczbą pierwszą.

Rozważmy teraz p większe od 2.

Oznacza to, że p jest liczbą nieparzystą.

Wówczas p321 są liczbami nieparzystymi, a zatem p3+21 jest liczbą parzystą większą niż 2, zatem nie jest liczbą pierwszą.

Jedyną liczbą p spełniająca warunki zadania jest p=2.

Przykład 3

Wykażemy, że dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich xy wyrażenie xy-x-y+1 przyjmuje wartość nieujemną.

Założenie

x, y+

Teza

xy-x-y+10

Dowód

Przekształcimy lewą stronę powyższej nierówności, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania.

xy-x-y+1=xy-1-y-1=y-1x-1

Zauważmy, że ponieważ xy są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc są nie mniejsze, niż 1, czyli x1y1.

Zatem liczby x-1y-1 są nieujemne.

Ponadto iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, więc
y-1x-10.

Ponieważ relacja równości jest przechodnia, więc teza została udowodniona.

Przykład 4

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x wyrażenie x2-2x+1 przyjmuje wartości nieujemne.

Założenie

x

Teza

x2-2x+10

Dowód

Rozważmy lewą stronę nierówności.

x2-2x+1=x2-x-x+1=xx-1-x-1=
=x-1x-1=x-12

Przypomnijmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Stąd x-120.

Ponieważ relacja równości jest przechodnia, więc teza została udowodniona.

Przykład 5

Medianą ułamków abcd nazywamy ułamek a+cb+d. Wykaż, że wartość mediany dwóch różnych ułamków dodatnich jest większa niż mniejszy z nich oraz mniejsza od większego z nich.

Założenie

ab<cd; a, b, c, d są liczbami naturalnymi dodatnimi.

Teza

ab<a+cb+d<cd

Dowód

Korzystając z twierdzeniatwierdzenietwierdzenia o własności relacji mniejszości, przekształcimy założenie.

Zauważmy, że nierówność ab<cd jest równoważna z nierównością ab-cd<0, którą z kolei można przekształcić, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika adbd-cbdb<0.

Zatem założenie przekształca się do postaci ad-cbbd<0.

Ponieważ z założenia liczba bd jest dodatnia, więc liczba ad-bc jest ujemna.

Rozważmy najpierw nierówność ab<a+cb+d.

Z własności relacji mniejszości jest ona równoważna nierówności ab-a+cb+d<0.

Zbadajmy zatem wyrażenie ab-a+cb+d.

ab-a+cb+d=ab+dbb+d-a+cbb+db=ab+ad-ab-bcbb+d=ad-bcbb+d

Wiemy już, że licznik powyższego ułamka jest liczbą ujemną.

Ponadto łatwo zauważyć, że mianownik jest liczbą dodatnią.

Ponieważ iloraz liczby ujemnej przez dodatnią jest ujemny, więc ad-bcbb+d<0.

Z przechodniości relacji równości mamy ab-a+cb+d<0, czyli ab<a+cb+d. Drugą część dowodu pozostawiamy jako ćwiczenie.

Ważne!

Mówimy, że relacja R jest:

  • zwrotna na zbiorze A, gdy każdy element a zbioru A jest w relacji sam ze sobą, czyli aRa;

  • przechodnia na zbiorze A, gdy dla dowolnych elementów a, b, c zbioru A zachodzi: jeśli a jest w relacji z bb jest w relacji z c, to a jest w relacji z c, czyli jeśli aRbbRc, to aRc;

  • antysymetryczna na zbiorze A, gdy dla dowolnych elementów a, b zbioru A zachodzi: jeśli a jest w relacji z bb jest w relacji z a, to a jest równe b, czyli jeśli aRbbRa, to a=b.

Przykład 6

Udowodnimydowód twierdzeniaUdowodnimy, że relacja podzielności w zbiorze:

a) liczb całkowitych bez zera jest zwrotna,

b) liczb całkowitych jest przechodnia,

c) liczb naturalnych dodatnich jest antysymetryczna.

Dowody

a) Relacja podzielności jest zwrotna na zbiorze liczb całkowitych różnych od zera, ponieważ dla każdej liczby całkowitej k różnej od zera zachodzi k=k·1, co oznacza, że k|k.

b) Załóżmy teraz, że dla liczb całkowitych k, m, n zachodzi: k|mm|n.
Oznacza to, że istnieją takie liczby całkowite x, y, dla których m=kx oraz n=my.
Wynika stąd, że n=kxy.
Ponieważ iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, więc k|n.
Zatem relacja podzielności jest przechodnia.

c) Niech teraz k|mm|k zachodzi dla pewnych liczb naturalnych dodatnich k, m.
Z pierwszego warunku wynika, że istnieje liczba naturalna x, dla której m=kx, zaś z drugiego wynika, że istnieje liczba naturalna y, dla której k=my.
Stąd m=myx, zatem 1=yx.
Ponieważ xy są liczbami naturalnymi, więc x=1y=1, czyli k=m.
Zatem rozważana relacja jest antysymetryczna na zbiorze liczb naturalnych dodatnich.

Słownik

dowód twierdzenia
dowód twierdzenia

rozumowanie, które ma celu uzasadnić prawdziwość jakiegoś twierdzenia; dowód prowadzi od założeń do tezy wykorzystując przy tym inne fakty

twierdzenie
twierdzenie

zdanie, które opisuje fakt, zależność lub równość, które potrafimy udowodnić, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych lub przyjętych za pewnik (aksjomatów) prawd;
twierdzenie najczęściej ma postać zdania:
Jeżeli p, to q; pierwsza część (p) takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie; druga część (q) to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida