Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw definicję układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

układ równań z dwiema niewiadomymi

Definicja: układ równań z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie $a_{1}$ i $b_{1}$ oraz $a_{2}$ i $b_{2}$ nie są równocześnie równe zero. W powyższym układzie $x$ oraz $y$ oznaczają niewiadome, $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ - współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , natomiast $c_{1}$ i $c_{2}$ nazywamy wyrazami wolnymi.

Aby zastosować metodę wyznacznikową, musimy jeszcze określić liczbę nazywaną wyznacznikiem. Przyjmujemy poniższą definicję.

wyznacznik

Definicja: wyznacznik

Wyznacznikiem $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}|$ nazywiemy liczbę $a d - b c$ .

Przykład 1

Obliczmy wyznaczniki:

$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}|$ ,
$|\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 3 \end{matrix}|$ .

Rozwiązanie

Korzystając z podanego wyżej wzoru, możemy obliczyć wartość wyznacznikawyznacznikwyznacznika.
Możemy też zapamiętać metodę, która pozwala nam obliczać takie wyznaczniki.
$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}|$
W tym układzie liczb możemy zauważyć, że są one położone na dwóch przekątnych, zaznaczonych tu kolorami pomarańczowym i niebieskim. Aby obliczyć wyznacznik mnożymy liczby znajdujące się na przekątnej zaznaczonej kolorem pomarańczowym i odejmujemy iloczyn liczb zaznaczonych kolorem niebieskim.
A zatem:
$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}| = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = - 4 - 4 = - 8$
Od iloczynu liczb znajdujących się na przekątnej zaznaczonej kolorem pomarańczowym, odejmujemy iloczyn liczb położonych na przekątnej zaznaczonej kolorem niebieskim.
$|\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 3 \end{matrix}| = 2 \cdot 3 - (- 1) \cdot 4 = 6 + 4 = 10$

Ważne!

Aby rozwiązać układ równańukład równań:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

metodą wyznacznikową, musimy obliczyć trzy liczby:

wyznacznik główny $W$ – utworzony ze współczynników liczbowych znajdujących się przy niewiadomych $x$ i $y$ .
$W = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}$
wyznacznik niewidomej $x$ oznaczany $W_{x}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $x$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{x} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}| = c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1}$
wyznacznik niewidomej $y$ oznaczany $W_{y}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $y$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}$

Jeśli wyznacznik główny $W \neq 0$ , to taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony), które możemy wyznaczyć za pomocą wzorów Cramera:

x = \frac{W_{x}}{W}

y = \frac{W_{y}}{W}

Jeśli wyznacznik główny $W = 0$ i $W_{x} = 0$ i $W_{y} = 0$ , to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony).

Jeśli wyznacznik główny $W = 0$ i ( $W_{x} \neq 0$ lub $W_{y} \neq 0$ ), to układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} 4 x + y = 8 \\ 2 x - \frac{1}{2} y = 8 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Rozwiązanie

Zapisujemy i obliczamy wyznacznik główny.
Wypisujemy w odpowiednich kolumnach współczynniki znajdujące się przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$W = |\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}|$
Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.
$W = |\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}| = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) - 2 \cdot 1 = - 2 - 2 = - 4$
Zapisujemy i obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .
W pierwszej kolumnie wyznacznika głównego zastępujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomej $x$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{x} = |\begin{matrix} 8 & 1 \\ 8 & - \frac{1}{2} \end{matrix}|$
Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.
$W_{x} = |\begin{matrix} 8 & 1 \\ 8 & - \frac{1}{2} \end{matrix}| = 8 \cdot (- \frac{1}{2}) - 8 \cdot 1 = - 4 - 8 = - 12$
Zapisujemy i obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .
W drugiej kolumnie wyznacznika głównego zastępujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomej $y$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{y} = |\begin{matrix} 4 & 8 \\ 2 & 8 \end{matrix}|$
Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.
$W_{y} = |\begin{matrix} 4 & 8 \\ 2 & 8 \end{matrix}| = 4 \cdot 8 - 2 \cdot 8 = 32 - 16 = 16$
Ponieważ wyznacznik główny jest różny od zera, więc możemy wykorzystać wzory Cramera do wyznaczenia rozwiązania tego układu.
$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 12}{- 4} = 3$
$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{16}{- 4} = - 4$
A zatem rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 4 \end{cases}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} \frac{4 x + y}{3} + 2 = y - 2 \\ 4 (x + y) - 1 = 3 y - 4 x \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać bardziej skomplikowany układ dwóch równań liniowych, musimy każde z równań układu doprowadzić do najprostszej postaci. Możemy dodawać do obu stron równania to samo wyrażenie oraz mnożyć obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie.
Układ musimy uporządkować i doprowadzić do postaci

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ .

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $3$ , a w drugim równaniu opuszczamy nawias.

$\{\begin{cases} \frac{4 x + y}{3} + 2 = y - 2 \cdot 3 \\ 4 (x + y) - 1 = 3 y - 4 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x + y + 6 = 3 y - 6 \\ 4 x + 4 y - 1 = 3 y - 4 x \end{cases}$

Przenosimy niewiadome $x$ oraz $y$ na lewa stronę równań, a wyrazy wolne na prawą stronę równań i redukujemy wyrazy podobne w każdym z nich.

$\{\begin{cases} 4 x - 2 y = - 12 \\ 8 x + y = 1 \end{cases}$

Możemy jeszcze w pierwszym równaniu podzielić obie strony przez $2$ .

$\{\begin{cases} 2 x - y = - 6 \\ 8 x + y = 1 \end{cases}$

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 8 & 1 \end{matrix}| = 2 + 8 = 10$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} - 6 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}| = - 6 + 1 = - 5$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 2 & - 6 \\ 8 & 1 \end{matrix}| = 2 + 48 = 50$

Ponieważ $W \neq 0$ , więc układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznaczamy wartości niewiadomych $x$ i $y$ , korzystając ze wzorów.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{50}{10} = 5$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = 5 \end{cases}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} - \sqrt{3} x - \sqrt{2} y = 8 \\ 2 \sqrt{2} x + \sqrt{3} y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$ .
Skorzystamy z metody wyznacznikowej.

Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} - \sqrt{3} & - \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{2} & \sqrt{3} \end{matrix}| = - 3 + 4 = 1$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 8 & - \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{2} & \sqrt{3} \end{matrix}| = 8 \sqrt{3} + 4$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} - \sqrt{3} & 8 \\ 2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2} \end{matrix}| = - 2 \sqrt{6} - 16 \sqrt{2}$

Ponieważ $W \neq 0$ , więc układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznaczamy wartości niewiadomych $x$ i $y$ , korzystając ze wzorów.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{8 \sqrt{3} + 4}{1}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{- 2 \sqrt{6} - 16 \sqrt{2}}{1}$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 8 \sqrt{3} + 4 \\ y = - 2 \sqrt{6} - 16 \sqrt{2} \end{cases}$ .

Możemy zauważyć, że metoda ta pozwala łatwo wyznaczyć rozwiązanie równania nawet wtedy, gdy są nim liczby niewymierne.

Przykład 5

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 10 \\ - 10 x + 8 y = - 20 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 5 & - 4 \\ - 10 & 8 \end{matrix}| = 40 - 40 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 10 & - 4 \\ - 20 & 8 \end{matrix}| = 80 - 80 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 5 & 10 \\ - 10 & - 20 \end{matrix}| = - 100 + 100 = 0$

$W = 0$ i $W_{x} = 0$ i $W_{y} = 0$

Oznacza to, że układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Jest to układ równań nieoznaczony.

Przykład 6

Rozwiążemy układ równań metodą wyznacznikową.

$\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 10 \\ - 10 x + 8 y = 20 \end{cases}$

Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 5 & - 4 \\ - 10 & 8 \end{matrix}| = 40 - 40 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 10 & - 4 \\ 20 & 8 \end{matrix}| = 80 + 80 = 160$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 5 & 10 \\ - 10 & 20 \end{matrix}| = 100 + 100 = 200$

$W = 0$ i ( $W_{x} \neq 0$ oraz $W_{y} \neq 0$ )

A zatem ten układ równań jest sprzeczny i nie posiada rozwiązania.

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

wyznacznik

liczba postaci $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}| = a d - b c$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik