Przeczytaj
Jeżeli ciąg liczbowy jest skończony, to poszukując najmniejszej/największej wartości ciągu, korzystamy najczęściej z wykresu lub wzoru ogólnego ciągu.
Określimy na podstawie wykresu skończonego ciągu najmniejszy i największy wyraz tego ciągu.
Z wykresu odczytujemy, że najmniejszą wartość równą ma wyraz .
Największą wartość równą przyjmuje wyraz .
Ciąg określony jest wzorem ogólnym dla . Określimy największy i najmniejszy wyraz tego ciągu.
Wykres ciągu zawiera się w prostej, będącej wykresem funkcji . Funkcja ta jest rosnąca, zatem i ciąg jest rosnący.
Najmniejszy wyraz ciągu to:
.
Największy wyraz ciągu to:
Odpowiedź: Najmniejszy wyraz ciągu to , a największy to .
Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów ciągów nieskończonych i . Przypuszczamy, że ciąg to ciąg malejący, a ciąg to ciąg rosnący.
Zauważmy, że ciąg malejący nie ma wyrazu najmniejszego, ale ma wyraz największy. Jest to pierwszy wyraz ciągu.
W ciągu rosnącym, jest na odwrót – pierwszy wyraz ciągu to wyraz najmniejszy, a wyrazu największego ciąg nie przyjmuje.
Jeśli ciąg jest stały (wykres takiego ciagu na rysunku poniżej) – każdy wyraz ciągu ma taką samą wartość.
Wyrazy ciągu dla tworzone są według pewnej reguły. Znajdziemy tę regułę na podstawie tabelki częściowej ciągu i określimy wyraz największy i najmniejszy ciągu.
Zapisujemy przykład wzoru ogólnego ciągu:
Na podstawie znalezionego wzoru stwierdzamy, że jest to ciąg malejący. Zatem największy wyraz ciągu to:
Ciąg nie ma najmniejszego wyrazu.
Jeśli ciąg nie jest monotonicznymonotoniczny, to szukanie najmniejszego lub największego wyrazu ciągu jest nieco trudniejsze.
Ciągi rosnące, malejące, stałe, nierosnące, niemalejące to ciągi monotoniczne.
Znajdziemy najmniejszy wyraz ciągu określonego wzorem
.
Wykres składa się z izolowanych punktów zawartych w paraboli . Najmniejsza wartość funkcji, której wykresem jest ta parabola, to druga współrzędna wierzchołka paraboli.
Obliczamy najpierw pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.
Otrzymana liczba to liczba naturalna. Zatem wartość najmniejszego wyrazu ciągu jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli.
Obliczamy tę współrzędną.
Zatem najmniejszy wyraz ciągu to .
Ciąg określony jest wzorem rekurencyjnym
Wykażemy, że różnica między największym a najmniejszym wyrazem ciągu jest równa .
Na podstawie wzoru rekurencyjnego określamy wzór ogólny ciągu.
Wypisujemy najpierw kilka początkowych wyrazów ciągu.
Zatem wzór ogólny ciągu to
Jest to ciąg, którego wyrazy nieparzyste mają wartość , a parzyste mają wartość . Czyli różnica między największym a najmniejszym wyrazem ciągu jest równa .
Znając wzór ciągu, można nie tylko określić jego wyrazy największy i najmniejszy, ale również wyrazy ciągu spełniające określone warunki.
Suma początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem . Określimy, ile wyrazów tego ciągu jest równych i podamy największy wyraz ciągu w przedziale .
Znajdziemy najpierw wzór na wyraz ogólny ciągu.
Obliczamy, który wyraz ciągu jest równy .
Rozwiązujemy równanie kwadratowe w zbiorze liczb naturalnych dodatnich.
Okazuje się, że pierwszy wyraz ciągu jest równy .
W przedziale ciąg jest rosnący. Zatem największy wyraz ciągu to:
Odpowiedź: Pierwszy wyraz ciągu jest równy . Największy wyraz w przedziale to .
Słownik
ciągi rosnące, malejące, stałe, nierosnące, niemalejące to ciągi monotoniczne