Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Rozwiązaniem układu równań nazywamy parę liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Wykresem funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b$ jest prosta o równaniu $y=ax+b$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2$ jest krzywa o równaniu $y=a{x}^2$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$. Krzywą tę nazywamy parabolą.

Na rysunku przedstawione są wykresy równań $y=x^2+2x$ oraz $y=x+2$.

R1eExkB56mLlj

Grafika przedstawia układ równań z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa wykresy. Pierwszy z nich to ukośna prosta o równaniu $y=x+2$, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu. Drugi wykres to parabola z ramionami skierowanymi do góry o równaniu $y=x^2+2x$, której wierzchołek znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Wykresy przecinają się w dwóch punktach, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami. Współrzędne pierwszego punktu to początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu, a współrzędne drugiego punktu to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu.

Widzimy, że wykresy te przecinają się w dwóch punktach, których współrzędne możemy odczytać z rysunku. Są to punkty $\left(-2, 0\right)$ oraz $\left(1, 3\right)$.

Współrzędne punktów przecięcia  wykresów równań, są rozwiązaniami układu utworzonego przez te równania.

A zatem rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2+2x\\ y=x+2\end{array}\right.$ są dwie pary liczb $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-2x^2-3x\\ y=-2x+3\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=-2x^2-3x$ oraz $y=-2x+3$.

RDRbZCxCIU91Q

Grafika przedstawia układ równań z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa wykresy. Pierwszy z nich to ukośna prosta o równaniu $y=-2x+3$, która rozpoczyna się w drugiej ćwiartce , przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, następnie przecina oś x i w czwartej ćwiartce wychodzi poza płaszczyznę układu. Drugi wykres to parabola o ramionach skierowanych w dół równaniu $y=-2x^2-3x$. Wierzchołek paraboli znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wykresy nie mają punktów wspólnych.

Wykresy nie posiadają punktów wspólnych. Zatem na podstawie geometrycznej interpretacji układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-2x^2-3x\\ y=-2x+3\end{array}\right.$ widzimy, że nie posiada on rozwiązań.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2+x\\ y=-x-2\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=\frac{1}{2}{x}^2+x$ oraz
$y=-x-2$.

R1CMrmE3nQqnA

Grafika przedstawia układ równań z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa wykresy. Pierwszy z nich to ukośna prosta o równaniu $y=-x-2$, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu, a oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 2, zamknięcie nawiasu. Drugi wykres to parabola o ramionach skierowanych do góry i równaniu $y=\frac{1}{2}{x}^2+x$. Wierzchołek paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykresy przecinają się w jednym punkcie, który został zaznaczony zamalowaną kropką. Współrzędne tego punktu to początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu.

Prosta i parabola mają dokładnie jeden wspólny punkt $P=\left(-2, 0\right)$.

Stąd układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2+x\\ y=-x-2\end{array}\right.$ ma dokładnie jedno rozwiązanie $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}\right.$.

Rozwiążemy metodą graficzną układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2+4x\\ y=\left|x+2\right|+2\end{array}\right.$.

W układzie współrzędnych przedstawione są wykresy funkcji $y=x^2+4x$ oraz $y=\left|x+2\right|+2$.

R1SGlFCNz6a9U

Grafika przedstawia układ równań z poziomą osią x od minus sześciu do trzech i pionową osią y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa wykresy. Pierwszy z nich to wykres w kształcie litery V składający się z dwóch półprostych, ma on równanie $y=\left|x+2\right|+2$. Ramiona litery V skierowane są do góry, a wierzchołek znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, 2, zamknięcie nawiasu. Drugi wykres to parabola o ramionach skierowanych do góry i równaniu $y=x^2+4x$. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, minus 4, zamknięcie nawiasu. Wykresy przecinają się w dwóch punktach, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami. Współrzędne pierwszego punktu to początek nawiasu, minus 5, 5, zamknięcie nawiasu, a współrzędne drugiego punktu to początek nawiasu, 1, 5, zamknięcie nawiasu.

Wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych $\left(-5, 5\right)$ oraz $\left(1, 5\right)$, a zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2+4x\\ y=\left|x+2\right|+2\end{array}\right.$ ma dwa rozwiązania postaci $\left\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=5\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\end{array}\right.$.

Określimy liczbę rozwiązań układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2-x\\ y=-3x+m\end{array}\right.$, w zależności od parametru $m$.

Wiemy, że punkt wspólny wykresów należy jednocześnie do paraboli i prostej. Spełniony jest zatem warunek

$x^2-x=-3x+m$

Znajdziemy $m$, dla którego istnieje dokładnie jeden taki punkt. Taka sytuacja ma miejsce wtedy, gdy wyróżnik trójmianu $x^2+2x-m=0$ jest równy zero.

$∆=4-4·1·\left(-m\right)$

$4+4m=0$

$m=-1$

A zatem prosta $y=-3x-1$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą $y=x^2-x$ dla $m=-1$.

Naszkicujemy wykresy tych równań.

RX5EZpbaVLDpd

Grafika przedstawia układ równań z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa wykresy. Pierwszy z nich to ukośna prosta o równaniu $y=-3x-1$ która zaczyna się w drugiej ćwiartce układu, przechodzi przez trzecią ćwiartkę i przecinając oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu. Drugi wykres to parabola o ramionach skierowanych do góry i równaniu $y=x^2-x$. Wierzchołek paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce. Wykresy przecinają się w jednym punkcie, który został zaznaczony zamalowaną kropką. Współrzędne tego punktu to początek nawiasu, minus 1, 2, zamknięcie nawiasu.

Proste $y=-3x+m$ są równoległe do narysowanej prostej, a w zależności od wartości parametru $m$ „przesuwają się” wzdłuż osi $Y$. Z własności funkcji liniowej wiemy, że proste będą przecinać oś $Y$ w punkcie $\left(0, m\right)$.

Zatem dla $m<-1$ prosta $y=-3x+m$ nie będzie miała punktu wspólnego z parabolą $y=x^2-x$, a dla $m>-1$ prosta będzie miała dwa punkty wspólne z parabolą.

koniunkcja co najmniej dwóch równań

wykres funkcji kwadratowej