Przeczytaj
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa iloczynowi pola podstawy przez wysokość.
![Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RhLPCcbKVgKud/1634340702/2kH0DHKMj39R9Ux12zWEc0kcZXns2Pwc.png)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnymgraniastosłupie prawidłowym trójkątnym o objętości równej , pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól podstaw. Wyznaczymy długość krawędzi podstawy i długość wysokości tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Niech oznacza długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z warunków zadania wynika, że
oraz .
Przekształcając równoważnie pierwsze równanie, uzyskujemy kolejno
.
Następnie, podstawiając powyższą zależność do drugiego równania, otrzymujemy kolejno
.
Możemy wyliczyć długość wysokości
.
Zatem krawędź podstawy graniastosłupa ma długość , a wysokość .
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. Przyjmując że oraz , obliczymy jego objętość.
![Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej graniastosłupa tworzącą z krawędzią podstawy kąt o mierze α](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1NQYxxPHdUhM/1634340702/2axmmPUE4mxoLIpJy4ipwCsI5UBvcI3X.png)
Rozwiązanie:
Niech oznacza długość krawędzi podstawy, długość wysokości oraz długość przekątnej ściany bocznej rozważanego graniastosłupa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa dla trójkąta mamy
.
Stosujemy twierdzenie kosinusówtwierdzenie kosinusów do trójkąta , otrzymujemy kolejno
.
Możemy obliczyć objętość
.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym, którego . Pole otrzymanego przekroju wynosi . Stosunek długości wysokości do długości krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
![Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną od punktu R na krawędzi ściany bocznej przechodzącą przez krawędź podstawy AC i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R10kC18OcVgZn/1634340702/1EyluuCcj9xw09rQgViuiMIktLVjCle0.png)
Niech oznacza długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Zauważmy, że przekrój jest trójkątem równoramiennym, a nie trapezem wtedy i tylko wtedy gdy punkt znajduje się na krawędzi . Dzieję się tak, gdy
.
Ostatnia równość wynika z faktu, że stosunek długości wysokości do długości krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi . Zatem pole trójkąta równoramiennego wynosi i wysokości . Z warunków zadania mamy
oraz i .
Z trójkąta otrzymujemy
,
gdzie odcinek jest wysokością podstawy. Otrzymujemy kolejno
.
Możemy teraz wyznaczyć zależność wysokości trójkąta od długości krawędzi podstawy. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta otrzymujemy
.
Podstawiając tę zależność do wzoru na pole przekroju graniastosłupa otrzymujemy
.
Stąd oraz . Możemy obliczyć objętość
.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest równa , a tangens kąta jaki przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną wynosi . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.
![Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Środek krawędzi podstawy B C oznaczono punktem P. W środku graniastosłupa powstał trójkąt prostokątny A P F. Kąt przy wierzchołku F ma miarę α.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R8ubrB07bHNab/1634340702/NZ40aEjA8HcF0nPUWVwYNtId72qiKmGA.png)
Niech oznacza długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z treści zadania wynika, że . Odcinek jest wysokością podstawy. Z warunków zadania otrzymujemy kolejno
.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta otrzymujemy
, stąd mamy .
Możemy obliczyć objętość
.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni całkowitej jest równe . Kosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej wynosi . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
![Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Środek krawędzi podstawy B C oznaczono punktem P. W środku graniastosłupa powstał trójkąt prostokątny A P F. Kąt przy wierzchołku F ma miarę α.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1dBj5PFgTVob/1634340703/zeW57Os7I5cqsSleCdXUinyEv5yrMzeU.png)
Niech oznacza długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa kolejno dla trójkątów i otrzymujemy, że
oraz .
Z warunków zadania mamy kolejno
.
Podstawiamy tę zależność do wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Otrzymujemy kolejno
zatem .
Możemy obliczyć objętość
.
Słownik
graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny
w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta
w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi