Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
Definicja: Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa iloczynowi pola podstawy przez wysokość.

RhLPCcbKVgKud
V = a 2 34·h
Przykład 1

graniastosłupie prawidłowym trójkątnymgraniastosłup prawidłowy trójkątnygraniastosłupie prawidłowym trójkątnym o objętości równej 1 , pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól podstaw. Wyznaczymy długość krawędzi podstawy i długość wysokości tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Niech a > 0 oznacza długość krawędzi podstawy oraz h > 0 długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z warunków zadania wynika, że

3 a h = 2 a 2 3 4 oraz a234h=1.

Przekształcając równoważnie pierwsze równanie, uzyskujemy kolejno

3ah=a232

3h=a32

h=a36.

Następnie, podstawiając powyższą zależność do drugiego równania, otrzymujemy kolejno

a234·a36=1

a38=1

a=2.

Możemy wyliczyć długość wysokości

h=236=33.

Zatem krawędź podstawy graniastosłupa ma długość 2, a wysokość 33.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. Przyjmując że h=10 oraz cosα=910, obliczymy jego objętość.

R1NQYxxPHdUhM

Rozwiązanie:

Niech a>0 oznacza długość krawędzi podstawy, h>0 długość wysokości oraz d>0 długość przekątnej ściany bocznej rozważanego graniastosłupa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACF mamy

d2=a2+h2=a2+100.

Stosujemy twierdzenie kosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenie kosinusów do trójkąta ABF, otrzymujemy kolejno

a2=d2+d2-2·d·d·cosα

a2=2a2+100-2a2+100·910

a2=15a2+20

a2=25

a=5.

Możemy obliczyć objętość

V=a234h=2534·10=12523.

Przykład 3

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym, którego tgα=23. Pole otrzymanego przekroju wynosi 39. Stosunek długości wysokości do długości krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 2. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

R10kC18OcVgZn

Niech a>0 oznacza długość krawędzi podstawy oraz h>0 długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Zauważmy, że przekrój jest trójkątem równoramiennym, a nie trapezem wtedy i tylko wtedy gdy punkt R znajduje się na krawędzi EB. Dzieję się tak, gdy

tgαha32=2ha3=23h3a=433.

Ostatnia równość wynika z faktu, że stosunek długości wysokości do długości krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 2. Zatem pole trójkąta równoramiennego wynosi PACR=39 i wysokości hACR>0. Z warunków zadania mamy

tgα=23 oraz PACR=12ahACR=39h=2a.

Z trójkąta RPB otrzymujemy

BRPB=23,

gdzie odcinek PB=a32 jest wysokością podstawy. Otrzymujemy kolejno

BRa32=23

BR=3a.

Możemy teraz wyznaczyć zależność wysokości trójkąta ACR od długości krawędzi podstawy. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta RPB otrzymujemy

hACR=9a2+3a24=392a.

Podstawiając tę zależność do wzoru na pole przekroju graniastosłupa otrzymujemy

PACR=12ahACR=12a·392a=394a2=39.

Stąd a=2 oraz h=4. Możemy obliczyć objętość

V=a234h=434·4=43.

Przykład 4

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest równa 4, a tangens kąta jaki przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną wynosi 15 5 . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.

R8ubrB07bHNab

Niech a>0 oznacza długość krawędzi podstawy oraz h>0 długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z treści zadania wynika, że a=AB=BC=AC=4. Odcinek AP=a32=23 jest wysokością podstawy. Z warunków zadania otrzymujemy kolejno

tgα=APPF

23PF=155

PF=25.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta FCP otrzymujemy

PF2=h2+14a2, stąd mamy h=4.

Możemy obliczyć objętość

V=a234h=1634·4=163.

Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni całkowitej jest równe 33. Kosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej wynosi 21313. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

R1dBj5PFgTVob

Niech a>0 oznacza długość krawędzi podstawy oraz h>0 długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa kolejno dla trójkątów ACFPCF otrzymujemy, że

AF=h2+a2 oraz FP=h2+14a2.

Z warunków zadania mamy kolejno

cosα=FPAF

h2+14a2h2+a2=21313

13h2+14a2=4h2+a2

9h2=34a2

h=36a.

Podstawiamy tę zależność do wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Otrzymujemy kolejno

3ah+a232=33

3a·36a+a232=33

a2=3

a=3 zatem h=12.

Możemy obliczyć objętość

V=a234h=334·12=338.

Słownik

graniastosłup prawidłowy trójkątny
graniastosłup prawidłowy trójkątny

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa

w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta

twierdzenie cosinusów
twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi