Przeczytaj

Pole powierzchni całkowitej wielościanu to suma pól jego wszystkich ścian. Sześcian ma sześć przystających ścian, które są kwadratami. Jeżeli krawędź sześcianu oznaczymy przez $a$ to

P_{c} = 6 a^{2}

Wiemy już, że pomiędzy odcinkami w sześcianie: krawędzią, przekątną ściany,przekątna ściany sześcianuprzekątną ściany, przekątną sześcianuprzekątna sześcianuprzekątną sześcianu są pewne zależności. Dzięki tym zależnościom możemy obliczyć pole powierzchni sześcianupole powierzchni sześcianupole powierzchni sześcianu znając długość jednego z tych odcinków.

Przykład 1

Obliczymy pole powierzchni sześcianu, którego przekątna ma długość $12 cm$ .

Rozwiązanie

Wiemy, że $d = a \sqrt{3}$ .

Mamy więc $12 = a \sqrt{3}$ .

A stąd $a = 4 \sqrt{3}$ .

Czyli $P_{c} = 6 \cdot {(4 \sqrt{3})}^{2} = 288 [{cm}^{2}]$ .

Znając pole powierzchni sześcianu możemy obliczyć długości odcinków w tym sześcianie.

Przykład 2

Pole powierzchni sześcianu wynosi $120 {cm}^{2}$ . Obliczymy długość przekątnej ściany bocznej tego sześcianu.

Rozwiązanie

Mamy $P_{c} = 120$ .

Czyli $6 a^{2} = 120$ .

Stąd $a^{2} = 20$ , co daje nam $a = 2 \sqrt{5}$ .

Wiemy, że $p = a \sqrt{2}$ , a zatem $p = 2 \sqrt{10} cm$ .

Warto zastanowić się, jak zmienia się pole powierzchni sześcianupole powierzchni sześcianupole powierzchni sześcianu przy zmianie długości odcinków w tym sześcianie.

Przykład 3

Krawędź sześcianu zwiększyła się dwukrotnie, sprawdzimy jak zmieniło się pole powierzchni tego sześcianu.

Rozwiązanie

Oznaczmy początkową krawędź sześcianu przez $a$ . Wówczas $P_{c_{1}} = 6 a^{2}$ .

Wówczas krawędź większego sześcianu ma długość $2 a$ , a jego pole całkowite

$P_{c_{2}} = 6 \cdot {(2 a)}^{2} = 24 a^{2} = 4 P_{c_{1}}$ .

A zatem, jeżeli krawędź sześcianu zwiększy się dwukrotnie, to jego pole powierzchni zwiększy się czterokrotnie.

Ważne!

Można wyciągnąć ogólny wniosek:

Jeżeli krawędź sześcianu zwiększy się (odpowiednio zmniejszy się) $k$ –krotnie, to jego pole powierzchni zwiększy się (odpowiednio zmniejszy się) $k^{2}$ –krotnie.

Przykład 4

W sześcianie $A B C D E F G H$ na krawędziach $A B$ i $A D$ wybrano punkty $I$ i $J$ , które dzielą krawędzie podstawy w stosunku $3 : 1$ licząc od wierzchołka $A$ . Pole trójkąta $I J E$ wynosi $6 \sqrt{41}$ . Obliczymy pole całkowite tego sześcianu.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1IgGZo8cNUvP

Na ilustracji przedstawiono sześcian o dolnej podstawie A B C D oraz górnej E F G H. Zaznaczono przekątną dolnej podstawy A C. Zaznaczono punkt J znajdujący się na krawędzi A D, w odległości jednej trzeciej długości krawędzi od punktu D. Zaznaczono również punkt I na krawędzi A B, znajdujący się w odległości jednej trzeciej długości krawędzi od punktu B. W przestrzeni sześcianu utworzono trójkąt o wierzchołkach E I J.

Oznaczmy
$|B I| = |J D| = x$ .
Wtedy
$|I A| = |A J| = 3 x$ .
A zatem
$|I J| = 3 x \sqrt{2}$ .
Wyraźmy długość wysokości trójkąta $I J E$ w zależności od $x$ .

R1En9vwtgx0mz

Wysokość trójkąta $I J E$ jest przeciwprostokątną trójkąta $E A K$ . Przy czym
$|A E| = 4 x$
oraz
$|A K| = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x$ .
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
${(4 x)}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2} x)}^{2} = {|E K|}^{2}$ .
A stąd
${|E K|}^{2} = \frac{41}{2} x^{2}$ .
Czyli
$|E K| = \frac{\sqrt{82}}{2} x$ .

Mamy więc
$P_{∆ I J E} = \frac{3 x \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} x}{2} = \frac{3 \sqrt{41} x^{2}}{2}$ .
Podstawiając pole, mamy
$6 \sqrt{41} = \frac{3 \sqrt{41}}{2} x^{2}$ .
Czyli
$x^{2} = 4$ ,
a stąd
$x = 2$ ,
więc krawędź sześcianu jest równa
$a = 8$ ,
a jego pole całkowite wynosi
$P_{c} = 6 \cdot 8^{2} = 384$ .

Słownik

pole powierzchni sześcianu

suma pól wszystkich ścian sześcianu

przekątna ściany sześcianu

odcinek łączący dwa wierzchołki tej samej ściany sześcianu, nie będący jej krawędzią

przekątna sześcianu

odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy sześcianu nie należącym do tej samej ściany

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik