Siatką ostrosłupa nazywamy rysunek płaski odzwierciedlający w rzeczywistych wymiarach ściany ostrosłupa, zawierający największą możliwą liczbę wspólnych krawędzi bryły.

Dane są dwa odcinki o długości odpowiednio $a$ oraz $b$. Skonstruuj siatkę ostrosłupa sześciokątnego, którego podstawa jest wielokątem foremnymwielokąt foremnywielokątem foremnym o boku długości $a$, wysokość jest równa $b$ i wszystkie krawędzie boczne są sobie równe.

Rozwiązanie:

1. Analiza zadania:

R1aM1XxxKNJTI

Grafika przedstawia ostrosłup. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Wierzchołki podstawy są oznaczone literami, kolejno: A, B, C, D, E, F. Górny wierzchołek ostrosłupa jest oznaczony literą S. Krawędź postawy ostrosłupa jest podpisana literą a. Krawędź boczna ostrosłupa jest podpisana literą c. W ostrosłupie narysowana jest jego wysokość, jest ona podpisana literą b. Punkt, w którym wysokość styka się z podstawą jest oznaczony literą G. Z punktu G poprowadzona została linia do punktu D. Wysokość b jest pod kątem prostym do odcinka GD.

Celem zadania jest konstrukcja siatki ostrosłupa przedstawionego w rzucie. Jeżeli wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa są sobie równe, to spodek wysokości $G$ znajduje się w środku symetrii podstawy. Aby skonstruować siatkę, brakuje nam odcinka $c$, który reprezentuje krawędź boczną ostrosłupa. Konstrukcja musi zatem być dwuetapowa. W pierwszym etapie wykreślimy odcinek $c$. W drugim etapie wykreślimy właściwą siatkę.

2. Opis konstrukcji:

Zauważmy, że w opisie konstrukcji nie trzeba podawać wszystkich czynności konstrukcyjnych. Na tym etapie nauki możemy wykorzystywać poznane wcześniej konstrukcje podstawowe, jako etapy nowych konstrukcji.

3. Właściwa konstrukcja:

Pierwszy etap:

R1DgTvVBNESJI

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o wierzchołkach: D, G, S. Przy kącie prostym jest punkt G. Odcinek DS stanowi przeciwprostokątną trójkąta i jest podpisany literą c. Krótsza przyprostokątna, którą stanowi odcinek DG jest podpisana literą a. Dłuższa przyprostokątna, którą stanowi odcinek GS jest podpisana literą b.

Drugi etap:

R16qSmwM73576

Grafika przedstawia sześciokąt foremny. Wierzchołki sześciokąta to: A, B, C, D, E, F. Sześciokąt jest wpisany w okrąg. Okrąg jest narysowany linią przerywaną w kolorze różowym.

RPCpVLb7NgfN5

Grafika przedstawia siatkę ostrosłupa. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Wierzchołki sześciokąta to: A, B, C, D, E, F. Do każdej krawędzi sześciokąta dorysowany został trójkąt równoramienny, którego trzeci wierzchołek jest podpisany literą S. Na rysunku znajduje się również 6 okręgów, narysowanych linią przerywaną. Każdy wierzchołek sześciokąta jest środkiem okręgu o promieniu równym długości ramienia trójkąta.

W praktyce, zamiast rysować pełne okręgi można zaznaczać tylko te ich fragmenty (łuki), które będą potrzebne do zlokalizowania punktu przecięcia kreślonych obiektów.

4. Dowód poprawności konstrukcji:

Podstawa jest sześciokątem foremnym (z konstrukcji), a wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, ponieważ ich ramiona są promieniami izometrycznych okręgówokręgi izometryczneizometrycznych okręgów. Ponadto w pierwszym etapie konstrukcji widać trójkąt $SGD$, który gwarantuje, że wysokość ostrosłupa po sklejeniu siatki jest równa $b$. Konstrukcja jest możliwa do wykonania przy dowolnych zadanych z góry długościach odcinków $a$ oraz $b$.

Dany jest fragment siatki ostrosłupa - jego podstawa oraz jedna ze ścian. Dokończmy tę siatkę wiedząc, że punkt $A$ jest jego spodkiem wysokości. Korzystając z siatki i informacji, że $\left|AB\right|=4$ oraz $\left|AE\right|=5$ obliczmy miary kątów wewnętrznych ścian bocznych danego ostrosłupa.

R1Z5H7BJQaK9o

Grafika przedstawia kwadrat i przylegający do niego z lewej strony trójkąt prostokątny. Wierzchołki kwadratu to kolejno: A, B, C, D. Bok AB jest jednocześnie przyprostokątną trójkąta, którego wierzchołki to A, B, E. Odcinek EB jest przeciwprostokątną trójkąta. Każdy z boków kwadratu został zaznaczony pojedynczą krótką linią. Bok AE trójkąta jest zaznaczony dwoma liniami. Natomiast przeciwprostokątna EB trójkąta jest zaznaczona dwoma strzałkami.

Rozwiązanie:

Zwróćmy uwagę na symbole umieszczone na rysunku. Jednakowymi symbolami zaznaczone są odcinki tej samej długości. Naszą bryłą jest zatem ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat a wysokością jest krawędź $AE$. Wykonujemy odpowiedni szkic do zadania w rzucie:

RQhHq4bpZhGws

Rysunek przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat. Wierzchołki kwadratu to: A, B, C, D. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą E. W podstawie ostrosłupa narysowana została jej przekątna. Przekątna łączy wierzchołek A z wierzchołkiem C i ma kolor różowy. Kąt pomiędzy przekątną AC a krawędzią boczną ostrosłupa AE to kąt prosty.

Nietrudno zauważyć, że ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi. Trójkąty $ABE$ oraz $ADE$ mają kąt prosty przy wierzchołku $A$. Trójkąty $BCE$ i $CDE$ są prostokątne, a krawędź $CE$ jest ich przeciwprostokątną. Możemy zatem zaprojektować siatkę ostrosłupa, wystawiając w punktach $A$, $B$ oraz $D$ odpowiednie proste prostopadłe.

RG0ExSE2YEHq7

Grafika przedstawia siatkę ostrosłupa. Odstawą ostrosłupa jest kwadrat o wierzchołkach: A, B, C, D. Do każdego z boku kwadratu przylega trójkąt prostokątny, w taki sposób, że bok kwadratu stanowi krótszą przyprostokątną trójkąta. Otrzymujemy cztery następujące trójkąty. Trójkąt 1: A, B, E, trójkąt 2: A, D, E dolny indeks 1, trójkąt 3: D, C, E dolny indeks 2, trójkąt 4: B, C, E dolny indeks 3. Każdy z boków kwadratu jest zaznaczony krótką linią. Bok AE trójkąta pierwszego jest zaznaczony dwoma krótkimi liniami. Również bok A E dolny indeks 1, w trójkącie 2 jest zaznaczony dwoma liniami. Bok D E dolny indeks 1 w trójkącie 2 jest zaznaczony trzema liniami. Takie same trzy linie znajdują się na boku D E dolny indeks 2, w trójkącie 3. Przeciwprostokątna C E dolny indeks 2 w trójkącie 3, jest zaznaczona strzałką. Taka sama strzałka znajduje się na przeciwprostokątnej C E dolny indeks 3 w trójkącie 4. Bok B E dolny indeks 3 w trójkącie 4 jest zaznaczony dwoma strzałkami. Takie same dwie strzałki znajdują się na boku BD pierwszego trójkąta.

Zauważmy, że dokładność konstrukcji możemy sprawdzić mierząc cyrklem odcinki o końcu $C$. Mają one obrazować tę samą krawędź, zatem muszą być sobie równe. Jednocześnie istotnym jest, że trójkąty $ABE$ oraz $AD{E}_1$ są przystające, analogicznie trójkąty $BC{E}_3$ oraz $CD{E}_2$.

Obliczymy teraz miary kątów wewnętrznych ścian bocznych naszego ostrosłupa. Zastosujemy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Wykorzystując definicję tangensa kąta ostrego w trójkącie $ABE$ otrzymamy:

$tg\left(\sphericalangle B\right)=\frac{\left|ED\right|}{\left|AD\right|}=\frac{5}{4}$

$\left|\sphericalangle B\right|=51°$

Zatem kąty wewnętrzne trójkątów $ABE$ oraz $ADE$ to $51°$, $39°$, $90°$.

Aby wykorzystać funkcje trygonometryczne w trójkącie $BCE$ musimy najpierw obliczyć długość odcinka $BE$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABE$ otrzymujemy:

${\left|BE\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|AE\right|}^2$

${\left|BE\right|}^2=4^2+5^2$

${\left|BE\right|}^2=41$

$\left|BE\right|=\sqrt{41}$

Konsekwentnie zatem wyliczamy miary kątów w trójkącie $BCE$:

$tg\left(\sphericalangle C\right)=\frac{\left|BE\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\sqrt{41}}{4}$

Zatem kąty wewnętrzne trójkątów $BCE$ oraz $CDE$ to $58°$, $32°$, $90°$.

Na rysunku przestawiona jest siatka pewnego ostrosłupa, którego wszystkie krawędzie mają długość $10$. Narysowano na niej kolorowe odcinki, których końce są każdorazowo środkami odpowiednich boków trójkątów równobocznych. Kolorowe odcinki po sklejeniu siatki w ostrosłup ograniczą pewien wielokąt. Oblicz pole tego wielokąta.

RHZQkLjmf3dRs

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt. Wierzchołki podstawy to: B, C, D. Do każdego z boków tego trójkąta przylega trójkąt, którego trzeci wierzchołek jest podpisany literą A. Powstają trójkąty: trójkąt 1: B, C, A, trójkąt 2: C, D, A, trójkąt 3: D, B, A. Na rysunku zostały narysowane dwie linie w kolorze różowym. Pierwsza z nich jest równoległa do odcinka AC i przechodzi przez 4 punkty: S dolny indeks 1, znajdujący się na odcinku AD w trójkącie 2, S dolny indeks 2 znajdujący się na boku CD, S dolny indeks 3 znajdujący się na boku CB, oraz S dolny indeks 4 znajdujący się na odcinku AB w trójkącie 1. Druga linia łączy punkty: S dolny indeks 5 znajdujący się na odcinku DA w trójkącie 3 oraz punkt S dolny indeks 6 znajdujący się na odcinku BA w trójkącie 3.

Rozwiązanie:

Po pierwsze zauważmy, że siatka zbudowana jest z czterech identycznych trójkątów równobocznych. Ostrosłupem, którego tyczy zadanie jest więc ostrosłup trójkątny. Analizując, które punkty z siatki skleją się ze sobą w przestrzeni, możemy wykonać szkic czworościanu w rzucie, który pozwoli nam zobaczyć wielokąt opisany w zadaniu.

RXjmknDIYBNWt

Grafika przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt. Wierzchołki podstawy to: B, C, D. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą A. W ostrosłupie znajduje się czworościan, którego wierzchołki znajdują się na krawędziach ostrosłupa kolejno. Wierzchołki czworościanu to: S dolny indeks 1 równa się S dolny indeks 5, punkt ten znajduje się na krawędzi bocznej AD, S dolny indeks 2, znajdujący się na krawędzi podstawy C,D, S dolny indeks 3, znajdujący się na krawędzi podstawy BC oraz S dolny indeks 4 równa się S dolny indeks 6, który znajduje się na krawędzi bocznej ostrosłupa AB.

Na rysunku zaznaczona jest informacja, że punkty $S_4$ oraz $S_6$ zostały ze sobą utożsamione, analogicznie punkty $S_1$ oraz $S_5$. Ostatecznie rozpatrujemy czworokąt $S_1{S}_2{S}_3{S}_4$. Aby obliczyć jego pole, musimy go sklasyfikować. W pierwszym etapie zauważmy, że wszystkie boki tego czworokąta są odcinkami, które łączą środki dwóch boków w trójkącie. Zgodnie z twierdzeniem odcinki te są równe zatem połowie długości trzeciego boku trójkąta, czyli w naszym przypadku $5$. Wiemy teraz, że nasz czworokąt jest rombem.

Zauważmy teraz, że trójkąty $D{S}_1{S}_3$ oraz $D{S}_2{S}_4$ są przystające na mocy znanej nam cechy przystawania trójkątówcechy przystawania trójkątówcechy przystawania trójkątów bok - kąt - bok. Istotnie, dwa sąsiednie boki trójkątów to odpowiednio wysokość ściany bocznej i połowa krawędzi bocznej naszego ostrosłupa. Jednocześnie kąt między tymi bokami w obu trójkątach jest identyczny ze względu na symetrię naszego czworościanu. Oznacza to, że omawiany czworokąt jest rombem o przekątnych równej długości, zatem jest kwadratem. To pozwala już obliczyć pole czworokąta $P=5^2=25$ i rozwiązuje problem zadania.

Zauważmy, że tym razem kluczowym elementem rozwiązania zadania było wykorzystanie naszej wyobraźni przestrzennej, która pozwoliła przeanalizować własności bryły na podstawie jej siatki. Taka umiejętność rozumienia i interpretacji pojęcia matematycznego oraz operowania obiektami matematycznymi jest zapisanym w podstawie programowej wymaganiem ogólnym i jeszcze wielokrotnie będzie wykorzystywana na zajęciach. Warto ją zatem trenować.

wielokąt, którego wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne są równej miary

okręgi, dla których istnieje takie przekształcenie zachowujące długości boków (izometria), w którym obrazem jednego okręgu jest drugi okrąg. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by dwa okręgi były izometryczne jest równość promieni tych okręgów

twierdzenie, które wskazuje, ile minimalnie i które elementy trójkąta należy ze sobą porównać, aby udowodnić, że dane dwa trójkąty są przystające:
(a) cecha bok‑bok‑bok $\left(BBB\right)$ – przystawanie odpowiednich boków,
(b) cecha bok‑kąt‑bok $\left(BKB\right)$ – przystawanie dwóch boków i kąta między nimi,
(c) cecha kąt‑bok‑kąt $\left(KBK\right)$ – przystawanie dwóch kątów i boku zawartego w ich wspólnym ramieniu,
(d) cecha bok‑bok‑kąt $\left(BBK\right)$ – przystawanie dwóch boków i kąta naprzeciw dłuższego z nich,
(e) cecha bok‑kąt‑kąt $\left(BKK\right)$ – przystawanie dwóch kątów i boku leżącego naprzeciw wskazanego spośród nich