Przeczytaj

Podzielność wielomianów

Definicja: Podzielność wielomianów

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ .

Możemy wtedy powiedzieć, że wielomian $Q (x)$ jest ilorazem wielomianu $W (x)$ przez wielomian $P (x)$ , natomiast o wielomianie $P (x)$ , że jest dzielnikiem wielomianu $W (x)$ .

W niektórych przypadkach do znalezienia dzielników wielomianu można wykorzystać wzory skróconego mnożenia.

Przykład 1

Wielomian $W (x) = x^{6} - 1$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} - 1$ .
Ilorazem tych wielomianów jest wielomian $Q (x) = x^{4} + x^{2} + 1$ .

Wielomian $W (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + 1$ .
Ilorazem jest wielomian $Q (x) = x^{2} + 1$ .

Zauważmy, że jeżeli $W (x)$ jest wielomianem zerowym, to jest wielomianem podzielnym przez dowolny niezerowy wielomian $P (x)$ . Ilorazem jest wtedy wielomian zerowy.

stopień wielomianu

Własność: stopień wielomianu

Jeżeli niezerowy wielomian $W (x)$ stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia $n$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ stopnia $k$ , to $k \leq n$ , a iloraz $W (x)$ przez $P (x)$ jest wielomianem stopnia $n - k$ .

Przykład 2

Dany jest wielomian drugiego stopnia $W (x) = 3 x^{2} + x - 4$ , czyli trójmian kwadratowy.

Zapiszmy wielomian w postaci iloczynowej: $W (x) = (3 x + 4) (x - 1)$ .
Wyznaczmy wielomiany, przez które wielomian $W (x)$ jest podzielny.

Rrw7FvSILQOcj

Wielomiany stopnia drugiego

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez wielomiany stopnia drugiego: np. przez $P (x) = 3 x^{2} + x - 4$ (wtedy ilorazem jest wielomian stopnia zerowego $Q (x) = 1$ ) czy też przez $P (x) = - 6 x^{2} - 2 x + 8$ (ilorazem jest $Q (x) = - \frac{1}{2}$ ).
Ogólnie: wielomian $W (x) = 3 x^{2} + x - 4$ jest podzielny przez wszystkie wielomiany drugiego stopnia postaci $P (x) = k \cdot W (x)$ dla $k \neq 0$ . Ilorazem jest wielomian stopnia zerowego $Q (x) = \frac{1}{k}$ .

, Wielomiany stopnia pierwszego

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci $P (x) = k \cdot (3 x + 4)$ dla $k \neq 0$ . Ilorazem jest wtedy wielomian $Q (x) = \frac{1}{k} \cdot (x - 1)$ .
Wielomian $W (x)$ jest również podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci $P (x) = k \cdot (x - 1)$ . Ilorazem jest wtedy wielomian $Q (x) = \frac{1}{k} \cdot (3 x + 4)$ .

, Wielomiany stopnia zerowego

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia zerowego postaci $P (x) = k, k \neq 0$ . Ilorazem jest wtedy wielomian $Q (x) = \frac{1}{k} \cdot (3 x^{2} + x - 4)$ .

Wielomiany stopnia drugiego

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez wielomiany stopnia drugiego: np. przez $P (x) = 3 x^{2} + x - 4$ (wtedy ilorazem jest wielomian stopnia zerowego $Q (x) = 1$ ) czy też przez $P (x) = - 6 x^{2} - 2 x + 8$ (ilorazem jest $Q (x) = - \frac{1}{2}$ ).
Ogólnie: wielomian $W (x) = 3 x^{2} + x - 4$ jest podzielny przez wszystkie wielomiany drugiego stopnia postaci $P (x) = k \cdot W (x)$ dla $k \neq 0$ . Ilorazem jest wielomian stopnia zerowego $Q (x) = \frac{1}{k}$ .

Wielomiany stopnia pierwszego

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci $P (x) = k \cdot (3 x + 4)$ dla $k \neq 0$ . Ilorazem jest wtedy wielomian $Q (x) = \frac{1}{k} \cdot (x - 1)$ .
Wielomian $W (x)$ jest również podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci $P (x) = k \cdot (x - 1)$ . Ilorazem jest wtedy wielomian $Q (x) = \frac{1}{k} \cdot (3 x + 4)$ .

Wielomiany stopnia zerowego

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia zerowego postaci $P (x) = k, k \neq 0$ . Ilorazem jest wtedy wielomian $Q (x) = \frac{1}{k} \cdot (3 x^{2} + x - 4)$ .

Przykład 3

Dany jest wielomian $W (x) = x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 6$ . Wiadomo, że jest on podzielnypodzielność wielomianówpodzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + x + 3$ . Jak wyznaczyć iloraz tych wielomianów?

R1WZSExmcnrsY

krok 1 Wiemy, że iloraz

Q (x)

będzie wielomianem drugiego stopnia. Możemy więc zapisać

Q (x) = a x^{2} + b x + c

., krok 2 Zatem zgodnie z definicją podzielności wielomianów

W (x) = P (x) \cdot Q (x)

, czyli

x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 6 = (x^{2} + x + 3) (a x^{2} + b x + c)

., krok 3 Obliczmy iloczyn

P (x) \cdot Q (x)

(x^{2} + x + 3) (a x^{2} + b x + c) = a x^{4} + (a + b) x^{3} + (3 a + b + c) x^{2} +

+ (3 b + c) x + 3 c

., krok 4 Z równości wielomianów mamy:

\{\begin{cases} a = 1 \\ a + b = 1 \\ 3 a + b + c = 5 \\ 3 b + c = 2 \\ 3 c = 6 \end{cases} .

, krok 5 Wobec tego

a = 1, b = 0, c = 2

, czyli

Q (x) = x^{2} + 2

Przykład 4

Wiadomo, że wielomian $W (x) = 3 x^{3} + p x^{2} + q x + 42$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} - 4 x - 21$ . Jaką wartość mają parametry $p$ i $q$ ?

Szukamy ilorazu wielomianu stopnia trzeciego przez wielomian stopnia drugiego - ilorazem będzie więc wielomian stopnia pierwszego - zapiszmy go jako $Q (x) = a x + b$ .

$W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ , czyli

$3 x^{3} + p x^{2} + q x + 42 = (x^{2} - 4 x - 21) (a x + b) =$
$= a x^{3} + (b - 4 a) x^{2} + (- 21 a - 4) x - 21 b$ .

Korzystając z równości wielomianów mamy $\{\begin{cases} a = 3 \\ - 21 b = 42 \\ p = b - 4 a \\ q = - 21 a - 4 b \end{cases}$ .

Po obliczeniach $a = 3$ i $b = - 2$ , czyli $p = - 2 - 12 = - 14$ , a $q = - 63 + 8 = - 55$ .

Przykład 5

Wiadomo, że wielomian $W (x) = 24 x^{3} - 10 x^{2} - 47 x + 12$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = 2 x - 3$ . Wyznaczmy iloraz tych wielomianów wyłączając $P (x)$ przed nawias:

Zapiszmy wielomian $W (x)$ w postaci sumy składników będących wielokrotościami wielomianu $P (x)$ .
$W (x) = 24 x^{3} - 36 x^{2} + 26 x^{2} - 39 x - 8 x + 12$ .

Wyłączmy teraz odpowiednie czynniki przed nawias.
$W (x) = 12 x^{2} (2 x - 3) + 13 x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3)$ .

Teraz wyłączając $2 x - 3$ możemy wyznaczyć szukany iloraz.
$W (x) = (2 x - 3) (12 x^{2} + 13 x - 4)$ .

Ilorazem wielomianów $W (x)$ przez $P (x)$ jest wielomian $12 x^{2} + 13 x - 4$ .

Słownik

podzielność wielomianów

wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$

stopień wielomianu jednej zmiennej

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

gdzie $a_{0}, a_{1}, \dots a_{n} \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$

liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ ,

jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$
jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia

stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik