Przeczytaj

Podzielność wielomianów

Definicja: Podzielność wielomianów

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ .

Możemy wtedy powiedzieć, że wielomian $Q (x)$ jest ilorazem wielomianu $W (x)$ przez wielomian $P (x)$ , natomiast o wielomianie $P (x)$ , że jest dzielnikiem wielomianu $W (x)$ .

W niektórych przypadkach do znalezienia dzielników wielomianu można wykorzystać wzory skróconego mnożenia.

Przykład 1

Wielomian $W (x) = x^{6} - 1$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} - 1$ .
Ilorazem tych wielomianów jest wielomian $Q (x) = x^{4} + x^{2} + 1$ .

Wielomian $W (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + 1$ .
Ilorazem jest wielomian $Q (x) = x^{2} + 1$ .

Zauważmy, że jeżeli $W (x)$ jest wielomianem zerowym, to jest wielomianem podzielnym przez dowolny niezerowy wielomian $P (x)$ . Ilorazem jest wtedy wielomian zerowy.

stopień wielomianu

Własność: stopień wielomianu

Jeżeli niezerowy wielomian $W (x)$ stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia $n$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ stopnia $k$ , to $k \leq n$ , a iloraz $W (x)$ przez $P (x)$ jest wielomianem stopnia $n - k$ .

Przykład 2

Dany jest wielomian drugiego stopnia $W (x) = 3 x^{2} + x - 4$ , czyli trójmian kwadratowy.

Zapiszmy wielomian w postaci iloczynowej: $W (x) = (3 x + 4) (x - 1)$ .
Wyznaczmy wielomiany, przez które wielomian $W (x)$ jest podzielny.

Rrw7FvSILQOcj

Wielomiany stopnia drugiego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wielomiany stopnia drugiego: np. przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery (wtedy ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden) czy też przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, osiem (ilorazem jest Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka).
Ogólnie: wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery jest podzielny przez wszystkie wielomiany drugiego stopnia postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, W nawias, x, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka.

, Wielomiany stopnia pierwszego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.
Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest również podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu.

, Wielomiany stopnia zerowego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia zerowego postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, przecinek, k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu.

Wielomiany stopnia drugiego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wielomiany stopnia drugiego: np. przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery (wtedy ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden) czy też przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, osiem (ilorazem jest Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka).
Ogólnie: wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery jest podzielny przez wszystkie wielomiany drugiego stopnia postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, W nawias, x, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka.

, Wielomiany stopnia pierwszego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.
Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest również podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu.

, Wielomiany stopnia zerowego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia zerowego postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, przecinek, k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu.

Przykład 3

Dany jest wielomian $W (x) = x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 6$ . Wiadomo, że jest on podzielnypodzielność wielomianówpodzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + x + 3$ . Jak wyznaczyć iloraz tych wielomianów?

R1WZSExmcnrsY

krok 1 Wiemy, że iloraz Q nawias, x, zamknięcie nawiasu będzie wielomianem drugiego stopnia. Możemy więc zapisać Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c., krok 2 Zatem zgodnie z definicją podzielności wielomianów W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, czyli
x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, sześć, równa się, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, zamknięcie nawiasu., krok 3 Obliczmy iloczyn P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu:
nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, trzy a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus plus, nawias, trzy b, plus, c, zamknięcie nawiasu, x, plus, trzy c., krok 4 Z równości wielomianów mamy:
nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, a, plus, b, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, trzy a, plus, b, plus, c, równa się, pięć, koniec równania, czwarte równanie, trzy b, plus, c, równa się, dwa, koniec równania, piąte równanie, trzy c, równa się, sześć, koniec równania, koniec układu równań, ., krok 5 Wobec tego a, równa się, jeden, przecinek, b, równa się, zero, przecinek, c, równa się, dwa, czyli
Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa.

Przykład 4

Wiadomo, że wielomian $W (x) = 3 x^{3} + p x^{2} + q x + 42$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} - 4 x - 21$ . Jaką wartość mają parametry $p$ i $q$ ?

Szukamy ilorazu wielomianu stopnia trzeciego przez wielomian stopnia drugiego - ilorazem będzie więc wielomian stopnia pierwszego - zapiszmy go jako $Q (x) = a x + b$ .

$W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ , czyli

$3 x^{3} + p x^{2} + q x + 42 = (x^{2} - 4 x - 21) (a x + b) =$
$= a x^{3} + (b - 4 a) x^{2} + (- 21 a - 4) x - 21 b$ .

Korzystając z równości wielomianów mamy $\{\begin{cases} a = 3 \\ - 21 b = 42 \\ p = b - 4 a \\ q = - 21 a - 4 b \end{cases}$ .

Po obliczeniach $a = 3$ i $b = - 2$ , czyli $p = - 2 - 12 = - 14$ , a $q = - 63 + 8 = - 55$ .

Przykład 5

Wiadomo, że wielomian $W (x) = 24 x^{3} - 10 x^{2} - 47 x + 12$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = 2 x - 3$ . Wyznaczmy iloraz tych wielomianów wyłączając $P (x)$ przed nawias:

Zapiszmy wielomian $W (x)$ w postaci sumy składników będących wielokrotościami wielomianu $P (x)$ .
$W (x) = 24 x^{3} - 36 x^{2} + 26 x^{2} - 39 x - 8 x + 12$ .

Wyłączmy teraz odpowiednie czynniki przed nawias.
$W (x) = 12 x^{2} (2 x - 3) + 13 x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3)$ .

Teraz wyłączając $2 x - 3$ możemy wyznaczyć szukany iloraz.
$W (x) = (2 x - 3) (12 x^{2} + 13 x - 4)$ .

Ilorazem wielomianów $W (x)$ przez $P (x)$ jest wielomian $12 x^{2} + 13 x - 4$ .

Słownik

podzielność wielomianów

wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$

stopień wielomianu jednej zmiennej

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

gdzie $a_{0}, a_{1}, \dots a_{n} \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$

liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ ,

jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$
jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia

stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik