Przeczytaj
Niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu punktu .
Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
Tak więc funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy:
funkcja jest określona w punkcie ;
istnieje granica funkcji ;
granica równa się wartości .
![Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z kilku składowych. Od lewej wykres biegnie przez zamalowany punkt a,fa, dalej biegnie w górę do niezamalowanego punktu b. Drugą składową wykresu jest poziomy łuk między niezamalowanymi punktami b oraz c. Poniżej znajduje się trzecia składowa, czyli poziomy odcinek o lewym końcu w zamalowanym punkcie c,fc, a z prawej strony ograniczonym niezamalowanym punktem d. Czwartą składową jest wyżej położony zamalowany punkt d,fd. Poniżej punktu rozpoczyna się ostatnia składowa wykresu, czyli ukośna półprosta ograniczona lewostronnie niezamalowanym punktem d. Funkcja przyjmuje wartości tylko dla argumentów a, c oraz d, ponieważ x równa się b nie należy do dziedziny. Mimo że wymieniliśmy tu trzykrotnie x równa się d, funkcja tylko raz przyjmuje wartość dla tego argumentu. Pozostałe dwa punkty, czyli prawy koniec odcinka i lewy początek półprostej są niezamalowane, czyli nie należą do wykresu.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1FybjSNxVtQ4/1614583394/2H6rIejNWLlTRYrZBG3Yy8gD0cVKB9R5.png)
Przedstawiona na rysunku funkcja jest ciągła w punkcie , natomiast nie jest ciągła w punkcie (gdyż nie jest spełniony warunek 1), punkcie i (bo nie są spełnione warunki 2 i 3).
Funkcja ciągła w punkcie musi być w tym punkcie określona, a ponadto musi istnieć granica funkcji w punkcie i być równa wartości funkcji w tym punkcie.
Oznacza to, że nie ma sensu zastanawianie się nad ciągłością funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny.
Istnienie granicy funkcji w punkcie oznacza, że granica lewostronna i prawostronna muszą być równe, czyli
jest punktem nieciągłości wtedy i tylko wtedy gdy funkcja nie jest ciągłą w .
Algorytm badania ciągłości funkcji w danym punkcie:
a) określenie dziedziny funkcjidziedziny funkcji i określenie czy należy do dziedziny funkcji;
b) obliczenie wartości funkcji w punkcie ;
c) obliczenie granicy właściwej w punkcie – jeśli nie istnieje, to funkcja nie jest ciągła w tym punkcie;
d) porównanie wyliczonej granicy funkcji w punkcie z wartością funkcji w tym punkcie, jeśli są sobie równe, to funkcja jest ciągła w punkcie a jeśli są różne, to funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.
Zbadamy ciągłość funkcji:
w punkcie .
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór , .
Oczywiście . Policzmy granice jednostronne: oraz .
Otrzymujemy zatem ciąg równości:
,
więc funkcja jest ciągła w punkcie .
Zbadamy ciągłość funkcji:
w punkcie .
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór , .
Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla czyli też dla .
Liczymy wartość funkcji w punkcie :
, czyli .
Teraz znajdujemy granicę funkcji w punkcie :
i
.
Granice jednostronne są różne. Nie istnieje granica w punkcie (punkcie nieciągłościpunkcie nieciągłości), stąd funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.
Tak wygląda wykres tej funkcji:
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch części: lewa część to ukośna półprosta ograniczona niezamalowanym punktem -1;-1, przebiega też między innymi przez punkt -2;-2. Półprosta znajduje się w trzeciej ćwiartce. Drugą składową wykresu jest kawałek paraboli o ramionach skierowanych do góry. Biegnie on od zamalowanego punktu -1;-2. Wierzchołek paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce, a jej prawe ramię przebiega przez punkty 0;-2 oraz 1;0 i biegnie dalej w górę.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RJ5oWXoIXkyBU/1614583395/1A6gJIiZU8tya05pWyOETR0KSfxvhtb0.png)
Ciągłość funkcji należy kojarzyć z nierozerwalnością wykresu funkcji w badanym punkcie.
Funkcja nie jest ciągła w punkcie .
Rozważmy funkcję
.
Wyznaczymy wartość parametru , dla której funkcja jest ciągła.
Rozwiązanie
Znajdujemy granicę funkcji w punkcie .
W tym celu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia , zapiszemy jako .
Ponieważ granica jest równa , więc dla otrzymamy funkcję ciągłąfunkcję ciągłą.
Wyznaczymy i tak, aby funkcja była ciągła w .
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór , .
Liczymy wartość funkcji w :
.
Aby funkcja była ciągła w , musi być spełniony warunek:
.
Liczymy granice lewostronną i prawostronną w punkcie :
i .
Ponieważ ma być równe to , natomiast może być dowolne.
Odpowiedź
Funkcja jest ciągła w punkcie dla dowolnego i .
Słownik
funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
jest punktem nieciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja nie jest ciągłą w
zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej , dla których funkcja jest określona