Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy

R1FybjSNxVtQ4

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z kilku składowych. Od lewej wykres biegnie przez zamalowany punkt $\left(a,f\left(a\right)\right)$, dalej biegnie w górę do niezamalowanego punktu b. Drugą składową wykresu jest poziomy łuk między niezamalowanymi punktami b oraz c. Poniżej znajduje się trzecia składowa, czyli poziomy odcinek o lewym końcu w zamalowanym punkcie $\left(c,f\left(c\right)\right)$, a z prawej strony ograniczonym niezamalowanym punktem d. Czwartą składową jest wyżej położony zamalowany punkt $\left(d,f\left(d\right)\right)$. Poniżej punktu rozpoczyna się ostatnia składowa wykresu, czyli ukośna półprosta ograniczona lewostronnie niezamalowanym punktem d. Funkcja przyjmuje wartości tylko dla argumentów a, c oraz d, ponieważ x równa się b nie należy do dziedziny. Mimo że wymieniliśmy tu trzykrotnie x równa się d, funkcja tylko raz przyjmuje wartość dla tego argumentu. Pozostałe dwa punkty, czyli prawy koniec odcinka i lewy początek półprostej są niezamalowane, czyli nie należą do wykresu.

Przedstawiona na rysunku funkcja jest ciągła w punkcie $a$, natomiast nie jest ciągła w punkcie $b$ (gdyż nie jest spełniony warunek 1), punkcie $c$ i $d$ (bo nie są spełnione warunki 2 i 3).

$x_0$ jest punktem nieciągłości wtedy i tylko wtedy gdy funkcja $f$ nie jest ciągłą w $x_0$.

Zbadamy ciągłość funkcji:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,& x<1\\ 2,& x=1\\ 4-2^x, & x>1\end{array}\right.$

w punkcie $x_0=1$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$, $x_0\in D_f$.

Oczywiście $f\left(1\right)=2$. Policzmy granice jednostronne: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim } \left(x+1\right)=1+1=2$ oraz $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim } \left(4-2^x\right)=4-2=2$.

Otrzymujemy zatem ciąg równości:

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$,

więc funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$.

Zbadamy ciągłość funkcji:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x& \text{dla }x\le -1\\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)& \text{dla }x>-1\end{array}\right.$

w punkcie $x_0=-1$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$, $x_0\in D_f$.

Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla $x\le -1$ czyli też dla $x_0=-1$.

Liczymy wartość funkcji w punkcie $x_0=-1$:

$f\left(x_0\right)=f\left(-1\right)=-1$, czyli $f\left(-1\right)=-1$.

Teraz znajdujemy granicę funkcji w punkcie $x_0=-1$:

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }x=-1$ i $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x+2\right)\left(x-1\right)=-2$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

Granice jednostronne są różne. Nie istnieje granica  w punkcie $x_0=-1$ (punkcie nieciągłościpunkt nieciągłościpunkcie nieciągłości), stąd funkcja $f$ nie jest ciągła w tym punkcie.

Tak wygląda wykres tej funkcji:

RJ5oWXoIXkyBU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch części: lewa część to ukośna półprosta ograniczona niezamalowanym punktem $\left(-1;-1\right)$, przebiega też między innymi przez punkt $\left(-2;-2\right)$. Półprosta znajduje się w trzeciej ćwiartce. Drugą składową wykresu jest kawałek paraboli o ramionach skierowanych do góry. Biegnie on od zamalowanego punktu $\left(-1;-2\right)$. Wierzchołek paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce, a jej prawe ramię przebiega przez punkty $\left(0;-2\right)$ oraz $\left(1;0\right)$ i biegnie dalej w górę.

Ciągłość funkcji należy kojarzyć z nierozerwalnością wykresu funkcji w badanym punkcie.

Funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0=-1$.

Rozważmy funkcję
$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}},& x\ne 2\\ a,& x=2\end{array}\right.$.
Wyznaczymy wartość parametru $a$, dla której funkcja $f$ jest ciągła.

Rozwiązanie

Znajdujemy granicę funkcji w punkcie $x=2$.

W tym celu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$, zapiszemy $x^2-4$ jako $\left(x-2\right)\left(x+2\right)$.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=4$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x+2\right)=4$

Ponieważ granica jest równa $4$, więc dla  $a=4$ otrzymamy funkcję ciągłąfunkcja ciągłafunkcję ciągłą.

Wyznaczymy $a$ i $b$ tak, aby funkcja $f$ była ciągła w $x_0=0$.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+1& \text{dla }x\le 0\\ ax+b& \text{dla }x>0\end{array}\right.$

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$, $x_0\in D_f$.

Liczymy wartość funkcji w $x_0=0$:

$f\left(0\right)=0^2+2·0+1=1$.

Aby funkcja była ciągła w $x_0$, musi być spełniony warunek:

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Liczymy granice lewostronną i prawostronną w punkcie $x_0=0$:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+2x+1\right)=1$ i $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(ax+b\right)=b$.

Ponieważ $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$ ma być równe $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=b$ to $b=1$, natomiast $a$ może być dowolne.

Odpowiedź

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0=0$ dla dowolnego $a\in \mathbb{R}$ i $b=1$.

funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$x_0$ jest punktem nieciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $f$ nie jest ciągłą w $x_0$

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej $x$, dla których funkcja $f\left(x\right)$ jest określona