Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0.

Funkcja ciągła
Definicja: Funkcja ciągła

Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

limxx0fx=fx0.

Tak więc funkcja jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:

  1. funkcja jest określona w punkcie x0;

  2. istnieje granica funkcji limxx0fx=g;

  3. granica g równa się wartości fx0.

Przykład 1
R1FybjSNxVtQ4

Przedstawiona na rysunku funkcja jest ciągła w punkcie a, natomiast nie jest ciągła w punkcie b (gdyż nie jest spełniony warunek 1), punkcie cd (bo nie są spełnione warunki 2 i 3).

Funkcja f ciągła w punkcie x0 musi być w tym punkcie określona, a ponadto musi istnieć granica funkcji f w punkcie x0 i być równa wartości funkcji f w tym punkcie.

Oznacza to, że nie ma sensu zastanawianie się nad ciągłością funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny.

Istnienie granicy funkcji w punkcie x0 oznacza, że granica lewostronna i prawostronna muszą być równe, czyli

limxx0-fx=limxx0+fx.
Punkt nieciągłości
Definicja: Punkt nieciągłości

x0 jest punktem nieciągłości wtedy i tylko wtedy gdy funkcja f nie jest ciągłą w x0.

Algorytm badania ciągłości funkcji w danym punkcie:

a) określenie dziedziny funkcjidziedzina funkcjidziedziny funkcji i określenie czy x0 należy do dziedziny funkcji;

b) obliczenie wartości funkcji w punkcie x0;

c) obliczenie granicy właściwej w punkcie x0 – jeśli nie istnieje, to funkcja nie jest ciągła w tym punkcie;

d) porównanie wyliczonej granicy funkcji w punkcie x0 z wartością funkcji w tym punkcie, jeśli są sobie równe, to funkcja jest ciągła w punkcie x0 a jeśli są różne, to funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Przykład 2

Zbadamy ciągłość funkcji:

fx=x+1,x<12,x=14-2x, x>1

w punkcie x0=1.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df=, x0Df.

Oczywiście f1=2. Policzmy granice jednostronne: limx1-fx=limx1- x+1=1+1=2 oraz limx1+fx=limx1+ 4-2x=4-2=2.

Otrzymujemy zatem ciąg równości:

limx-1-fx=limx-1-fx=f1,

więc funkcja jest ciągła w punkcie x0.

Przykład 3

Zbadamy ciągłość funkcji:

fx=xdla x-1x+2x-1dla x>-1

w punkcie x0=-1.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df=, x0Df.

Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla x-1 czyli też dla x0=-1.

Liczymy wartość funkcji w punkcie x0=-1:

fx0=f-1=-1 czyli f-1=-1.

Teraz znajdujemy granicę funkcji w punkcie x0=-1:

limx-1-fx=limx-1-x=-1limx-1+fx=limx-1+x+2x-1=-2

limx-1-fxlimx-1+fx.

Granice jednostronne są różne. Nie istnieje granica  w punkcie x0=-1 (punkcie nieciągłościpunkt nieciągłościpunkcie nieciągłości), stąd funkcja f nie jest ciągła w tym punkcie.

Tak wygląda wykres tej funkcji:

RJ5oWXoIXkyBU

Ciągłość funkcji należy kojarzyć z nierozerwalnością wykresu funkcji w badanym punkcie.

Funkcja f nie jest ciągła w punkcie x0=-1.

Przykład 4

Rozważmy funkcję fx=x2-4x-2, x2a,x=2. Wyznaczymy wartość parametru a, dla której funkcja f jest ciągła.

Rozwiązanie

Znajdujemy granicę funkcji w punkcie x=2.

W tym celu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a2-b2=a-ba+b, zapiszemy x2-4 jako x-2x+2.

limx2-fx=limx2-x2-4x-2=limx2-x-2x+2x-2=limx2-x+2=4

limx2+fx=limx2+x2-4x-2=limx2+x-2x+2x-2=limx2+x+2=4

Ponieważ granica jest równa 4, więc dla  a=4 otrzymamy funkcję ciągłąfunkcja ciągłafunkcję ciągłą.

Przykład 5

Wyznaczymy ab tak, aby funkcja f była ciągła w x0=0.

fx=x2+2x+1dla x0ax+bdla x>0

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df=, x0Df.

Liczymy wartość funkcji w x0=0:

f0=02+2·0+1=1.

Aby funkcja była ciągła w x0, musi być spełniony warunek:

limxx0-fx=limxx0+fx=fx0.

Liczymy granice lewostronną i prawostronną w punkcie x0=0:

limx0-x2+2x+1=1limx0+ax+b=b.

Ponieważ limx0-fx=1 ma być równe limx0+fx=b to b=1, natomiast a może być dowolne.

Odpowiedź

Funkcja f jest ciągła w punkcie x0=0 dla dowolnego aRb=1.

Słownik

funkcja ciągła
funkcja ciągła

funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

limxx0fx=fx0
punkt nieciągłości
punkt nieciągłości

x0 jest punktem nieciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f nie jest ciągłą w x0

dziedzina funkcji
dziedzina funkcji

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej x, dla których funkcja fx jest określona