Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej ciągłości funkcji w punkcie.
Polecenie 2
Sprawdź, czy funkcja jest ciągła w i .
Badamy ciągłość funkcji w punkcie .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór , .
Najpierw liczymy wartość funkcji w punkcie .
Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla , czyli w szczególności dla zera:
.
Teraz znajdujemy granicę funkcji w punkcie :
i .
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji w punkcie są równe:
, czyli istnieje granica funkcji w punkcie .
Ponieważ granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w tym punkcie:
, więc funkcja jest ciągła w punkcie .
Badamy ciągłość funkcji w punkcie .
Najpierw liczymy wartość funkcji w punkcie .
Wybieramy trzeci człon funkcji, który jest określony dla , czyli w szczególności dla :
.
Teraz znajdujemy granicę funkcji w punkcie :
i .
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji w punkcie są równe:
, czyli istnieje granica funkcji w punkcie .
Granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji, w tym punkcie:
czyli funkcja jest ciągła w punkcie .
Funkcja jest ciągła w zbiorze :
RLyS745bx3kHQ
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z trzech elementów. Od lewej mamy niebieską składową. Jest to ukośna półprosta leżąca w drugiej ćwiartce i biegnąca przez punkt do swojego końca w punkcie . Drugą składową jest narysowany żółtym kolorem kawałek paraboli o ramionach skierowanych w górę zawarty między punktami oraz , a wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie . Trzecią składową jest narysowana czerwonym kolorem ukośna półprosta biegnąca w pierwszej ćwiartce od punktu między innymi przez punkt i biegnie dalej do plus nieskończoności.
Polecenie 3
Wyznacz tak, aby funkcja
była ciągła w .
Aby funkcja była ciągła w , musi być spełniony warunek
.
Liczymy wartość funkcji w punkcie .
Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla , czyli również dla :
.
Teraz znajdujemy granicę funkcji w punkcie :
i .
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji w punkcie muszą być równe, czyli
stąd .
Więc dla spełniony jest warunek .
Dla funkcja jest ciągła w punkcie .
RHoT0aAm2AYFz
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch części. O lewej mamy narysowany na niebiesko kawałek krzywej biegnący w drugiej i w czwartej ćwiartce między innymi przez punkty oraz i biegnie do punktu . Z tego punktu biegnie druga składowa wykresu będąca ukośną półprostą narysowaną na czerwono. Biegnie ona również między innymi przez punkt .