Badamy ciągłość funkcji w punkcie $x_0=0$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$, $x_0\in D_f$.

Najpierw liczymy wartość funkcji w punkcie $x_0=0$.

Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla $x\le 0$, czyli w szczególności dla zera:

$f\left(x_0\right)=f\left(0\right)=-0+5=5$.

Teraz znajdujemy granicę funkcji $f$ w punkcie $x_0=0$:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x+5\right)=0+5=5$ i $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2-3x+5\right)=0^2-3·0+5=5$.

Granice: lewostronna i prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_0=0$ są równe:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=5$, czyli istnieje granica funkcji w punkcie $x_0=0$.

Ponieważ granica funkcji w punkcie $x_0=0$ jest równa wartości tej funkcji w tym punkcie:

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=5$, więc funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0=0$.

Badamy ciągłość funkcji w punkcie $x_1=2$.

Najpierw liczymy wartość funkcji w punkcie $x_1=2$.

Wybieramy trzeci człon funkcji, który jest określony dla $x\ge 2$, czyli w szczególności dla $x_1=2$:

$f\left(x_1\right)=f\left(2\right)=2+1=3$.

Teraz znajdujemy granicę funkcji $f$ w punkcie $x_1=2$:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2-3x+5\right)=2^2-3·2+5=4-6+5=3$ i $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=2+1=3$.

Granice: lewostronna i prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_1=2$ są równe:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=3$, czyli istnieje granica funkcji w punkcie $x_1=2$.

Granica funkcji w punkcie $x_1=2$ jest równa wartości tej funkcji, w tym punkcie:

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3$ czyli funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_1=2$.

Funkcja $f$ jest ciągła w zbiorze $\mathrm{ℝ}$:

RLyS745bx3kHQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z trzech elementów. Od lewej mamy niebieską składową. Jest to ukośna półprosta leżąca w drugiej ćwiartce i biegnąca przez punkt $\left(-1;6\right)$ do swojego końca w punkcie $\left(0;5\right)$. Drugą składową jest narysowany żółtym kolorem kawałek paraboli o ramionach skierowanych w górę zawarty między punktami $\left(0;5\right)$ oraz $\left(2;3\right)$, a wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $\left(\frac{3}{2};2\frac{3}{4}\right)$. Trzecią składową jest narysowana czerwonym kolorem ukośna półprosta biegnąca w pierwszej ćwiartce od punktu $\left(2;3\right)$ między innymi przez punkt $\left(3;4\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności.

Aby funkcja była ciągła w $x_0=1$, musi być spełniony warunek

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Liczymy wartość funkcji w punkcie $x_0=1$.

Wybieramy pierwszy człon funkcji, który jest określony dla $x\le 1$, czyli również dla $x=1$:

$f\left(x_0\right)=f\left(1\right)=1^2-3·1=1-3=-2$.

Teraz znajdujemy granicę funkcji $f$ w punkcie $x_0=1$:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2-3x\right)=1^2-3·1=-2$ i $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(ax\right)=a·1=a$.

Granice: lewostronna i prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_0=1$ muszą być równe, czyli

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-2=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=a$ stąd $a=-2$.

Więc dla $a=-2$ spełniony jest warunek $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)=-2$.

Dla $a=-2$ funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0=1$.

RHoT0aAm2AYFz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch części. O lewej mamy narysowany na niebiesko kawałek krzywej biegnący w drugiej i w czwartej ćwiartce między innymi przez punkty $\left(-1;4\right)$ oraz $\left(0;0\right)$ i biegnie do punktu $\left(1;-2\right)$. Z tego punktu biegnie druga składowa wykresu będąca ukośną półprostą narysowaną na czerwono. Biegnie ona również między innymi przez punkt $\left(2;-4\right)$.