Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

RGhIze2eISQAW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do sześciu oraz osią pionową od minus 4 do siedmiu. Zaznaczono na nim wykres funkcji f, funkcja jest rosnąca w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 5 do minus jeden z wartością końcową 5 na osi Y, następnie funkcja maleje w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 1 do 1 z wartością końcową 3 na osi Y, funkcja ponownie rośnie w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od jeden do sześciu kończąc swój bieg w punkcie 6 na osi Y.

Naszkicujemy wykresy funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)-3$ i $h\left(x\right)=f\left(x\right)+2$. Podamy zbiory wartości funkcji $f$, $g$ i $h$ oraz punkty przecięcia wykresów tych funkcji  z osią $Y$. Przypomnijmy sobie, jakie przekształcenie należy wykonać, aby uzyskać wykresy tych funkcji.

Rozwiązanie

Aby otrzymać wykres funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)-3$ należy wykres danej funkcji f przesunąć o $3$ jednostki w dół, wzdłuż osi $Y$.

Aby otrzymać wykres funkcji $h\left(x\right)=f\left(x\right)+2$ należy wykres danej funkcji f przesunąć o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$.

Wykonamy te czynności w jednym układzie współrzędnych.

R1BJeRVL6Pbl7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do sześciu oraz osią pionową od minus 4 do siedmiu. Zaznaczono na nim wykres funkcji f, g i h  , funkcja f jest rosnąca w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 5 do minus jeden z wartością końcową 5 na osi Y, następnie funkcja maleje w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 1 do 1 z wartością końcową 3 na osi Y, funkcja ponownie rośnie w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od jeden do sześciu kończąc swój bieg w punkcie 6 na osi Y. Wykres funkcji g powstał w wyniku przesunięcia funkcji f o trzy jednostki w dół, posiada ona wtedy dwa miejsca zerowe w punkcie minus dwa oraz jeden i przecina oś Y w punkcie jeden. Wykres funkcji h powstał w wyniku przesunięcia funkcji f o dwie jednostki w górę, w wyniku czego funkcja przecina oś Y w punkcie sześć.

Korzystając z wykresów funkcji odczytamy zbiory wartości oraz współrzędne punktu przecięcia wykresów z osią $Y$.

$Z{W}_f=⟨-3,6)$

$Z{W}_g=\left.⟨-6,3\right)$ – przesunięcie w dółprzesunięcie w dółprzesunięcie w dół o $3$ jednostki

$Z{W}_h=\left.⟨-1,8\right)$ – przesunięcie w góręprzesunięcie w góręprzesunięcie w górę o $2$ jednostki.

Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$: $\left(0, 4\right)$

Punkt przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $Y$: $\left(0, 1\right)$

Punkt przecięcia wykresu funkcji $h$ z osią $Y$: $\left(0, 6\right)$.

RCvIgpXXvi7h2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 3 do ośmiu oraz osią pionową od minus 6 do czterech. Funkcja f rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-3;-5\right)$ jest rosnąca w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus trzech do jeden kończąc na wartości 3 na osi Y, następnie funkcja maleje do wartości minus jeden w przedziale lewostronnie i prawostronnie domkniętym od jeden do pięciu, funkcja ponownie rośnie do wartości dwa w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym w przedziale od pięciu do siedmiu.

Na powyższym rysunku dany jest wykres funkcji $f$. Podamy $D_g$, $Z{W}_g$ oraz $g_{max}$, $g_{min}$, jeżeli $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$.

Rozwiązanie

Chcąc wyznaczyć wszystkie wymienione własności funkcji $g$ bez sporządzania wykresu, wyznaczymy własności funkcji $f$.

$D_f=\left.⟨-3, 7\right)$

$Z{W}_{f=}⟨-5, 3⟩$

$f_{max}=3$

$f_{min}=-5$

Funkcja $g$ powstaje w wyniku przesunięcia w dółprzesunięcie w dółprzesunięcia w dół wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki. Zatem:

$D_g=\left.⟨-3, 7\right)$

$Z{W}_{g=}⟨-7, 1⟩$

$g_{max}=1$

$g_{min}=-7$.

Uzupełnimy tabelę, mając dane informacje na temat funkcji $f$

Rozwiązanie

Aby uzupełnić własności funkcji $g$, rozpoczniemy od interpretacji wzoru:

$g\left(x\right)=f\left(x\right)+5$ to przesunięcie w górę o $5$ jednostek wykresu funkcji $f$, zatem:

$D_g=\left(-3, 4\right.⟩$

$Z{W}_g=\left.⟨3, 9\right)$

Punkt przecięcia z osią $Y$: $\left(0, 3\right)$

Analogicznie postępujemy z własnościami funkcji $h$, rozpoczniemy od interpreatcji wzoru:

$h\left(x\right)=f\left(x\right)-3$, to przesunięcie w dół o $3$ jednostki wykresu funkcji $f$, zatem:

$D_h=\left(-3, 4\right.⟩$

$Z{W}_h=\left.⟨-5, 1\right)$

Punkt przecięcia z osią $Y$: $\left(0,- 5\right)$

Dany jest wykres funkcji $f$

R1dzHgDDbSNSU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 4 do siedmiu oraz osią pionową od minus 3 do sześciu. Funkcja rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-3;5\right)$ jest prostą malejącą w przedziale od minus trzech do minus jeden z wartością zero na osi Y, następnie zamienia się w parabolę z wierzchołkiem w punkcie $\left(0;4\right)$, która kończy się w punkcie $\left(1;3\right)$, od tego punktu funkcja ponownie przybiera formę liniową i maleje do punktu $\left(6;-2\right)$

Wyznaczymy dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości, najmniejszą, największą wartość funkcji oraz punkt przecięcia wykresu funkcji  z osią $Y$ dla danej funkcji oraz funkcji:

$g\left(x\right)=f\left(x\right)+1$

$h\left(x\right)=f\left(x\right)-5$

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od wyznaczenia wszystkich własności dla funkcji $f$, odczytując je z wykresu funkcji:

$D_f=⟨-3, 6⟩$

$Z{W}_f=⟨-2, 5⟩$

$f_{min}=-2$

$f_{max}=5$

punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$: $\left(0, 4\right)$

Wzór funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)+1$ oznacza, że wykres funkcji $f$ należy przesunąć w górę o $1$ jednostkę wzdłuż osi $Y$, zatem:

$D_g=⟨-3, 6⟩$ nie ulega zmianie, gdyż to przesunięcie nie ma wpływu na argumenty

$Z{W}_g=⟨-1, 6⟩$

$g_{min}=-1$

$g_{max}=6$

punkt przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $Y$: $\left(0, 5\right)$

Wzór funkcji $h\left(x\right)=f\left(x\right)-5$ oznacza, że wykres funkcji $f$ należy przesunąć w dół o $5$ jednostek wzdłuż osi $Y$, zatem:

$D_h=⟨-3, 6⟩$

$Z{W}_h=⟨-7, 0⟩$

$h_{min}=-7$

$h_{max}=0$

punkt przecięcia wykresu funkcji $h$ z osią $Y$: $\left(0, -1\right)$.

Dany jest wykres funkcji $f$

Rzoa3CYADEUmS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 8 do trzech oraz osią pionową od minus 5 do trzech. Funkcja rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-8;-4\right)$ jest rosnąca do punktu $\left(-3;1\right)$, następnie maleje punktu $\left(1;-3\right)$ ponownie rośnie do punktu $\left(3;1\right)$ punkt jest zaznaczony niezamalowanym kółkiem.

Wyznaczymy argumenty, dla których $f\left(x\right)+1\ge 0$.

Rozwiązanie

Można to wykonać na dwa sposoby:

I sposób:

Możemy przekształcić nierówność i rozwiązać nierówność równoważną, tzn. $f\left(x\right)\ge -1$

Korzystając z danego wykresu odczytujemy, że $f\left(x\right)\ge -1\iff x\in ⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨2, 3\right)$

II sposób:

Rozwiążemy nierówność $f\left(x\right)+1\ge 0$ korzystając z przesunięcia wykresu danej funkcji o $1$ jednostkę w górę i odczytamy rozwiązanie.

R1CB79JQen1qZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 8 do trzech oraz osią pionową od minus 5 do trzech. Funkcja rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-8;-4\right)$ jest rosnąca do punktu $\left(-3;1\right)$, następnie maleje punktu $\left(1;-3\right)$ ponownie rośnie do punktu $\left(3;1\right)$ punkt jest zaznaczony niezamalowanym kółkiem. Powyżej narysowano funkcję o takim samym przebiegu ale przesuniętą o jedną jednostkę w górę.

$f\left(x\right)+1\ge 0\iff x\in ⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨2, 3\right)$.

wzór $y=f\left(x\right)+q$, gdzie $q>0$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w górę o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$

wzór $y=f\left(x\right)-q$, gdzie $q>0$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w dół o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$

dziedzina funkcji liczbowej określonej za pomocą wzoru w postaci wyrażenia algebraicznego   - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór tej funkcji (dane wyrażenie algebraiczne) ma sens liczbowy

zbiór  wartości funkcji liczbowej  - wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

punkt, którego odciętą jest $0$, zaś rzędną jest wartość funkcji dla argumentu $0$, czyli jest to punkt o współrzędnych $\left(0, f\left(0\right)\right)$