Warto przeczytać

Układy nieinercjalne związane są z ciałami poruszającymi się z przyspieszeniem. Układem nieinercjalnym jest na przykład hamujący samochód, rozpędzający się samolot lub rowerzysta wjeżdżający ze stałą szybkością w łuk zakrętu. W pierwszych dwóch przypadkach istnienie przyspieszenia związane jest ze zmianą wartości wektora prędkości ciała, w trzecim – ze zmianą kierunku wektora prędkości.

Aby poprawnie opisać ruch ciał w układach nieinercjalnych (np. kierowcy w hamującym samochodzie), do sił działających na ciało należy dodać tzw. siły pozorne. Najprostszą siłą pozorną jest siła bezwładności. Jej istnienie wynika z faktu, że ciało porusza się względem przyspieszającego układu odniesienia. Siła ta wynosi $\overrightarrow{F_B}=-m\overrightarrow{a}$, gdzie $\overrightarrow{a}$ jest przyspieszeniem układu. Znak minus wskazuje, że siła ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora przyspieszenia.

Więcej informacji na temat układów nieinercjalnych i sił bezwładności znajdziesz m.in. w e‑materiałach „W jaki sposób definiujemy układ inercjalny, nieinercjalny i laboratoryjny?”, „Co to jest siła bezwładności i jakie są jej cechy” oraz „W jaki sposób opisać ruch ciał w układach inercjalnych i nieinercjalnych?”. W tym e‑materiale skupimy się na analizie kilku przykładów, w których wykorzystanie układu nieinercjalnego do opisu ruchu jest wygodniejsze niż wykorzystanie układu inercjalnego.

Przykład 1

Samochód wjeżdża z prędkością $v = 72\,\text{km/h}$ na most w kształcie łuku o promieniu $R = 200\,\text{m}$. Wyznacz wartość siły nacisku, jaką wywiera kierowca na fotel samochodu w najwyższym punkcie mostu, jeśli masa kierowcy wynosi $m = 75\,\text{kg}$. Przy jakiej prędkości samochodu kierowca znajdowałby się w stanie nieważkości?

Analiza zadania

W inercjalnym układzie odniesienia (Rys. 1.) samochód porusza się po łuku z prędkością o stałej wartości 20 m/s. Kierunek wektora prędkości ulega zmianie, za co odpowiada przyspieszenie dośrodkowe o wartości $a_d=\frac{v^2}{R}$.

RCzyPMLzjnFH0

Schematyczny rysunek przedstawia pojazd znajdujący się na wzniesieniu pod działaniem siły dośrodkowej. Kierunek wektora prędkości liniowej ulega ciągłej zmianie. Pojazd porusza się do przodu w prawo, co opisuje wektor mała litera v. Działa na niego siła dośrodkowa opisana małą literą a z indeksem dolnym małe d, zaznaczona żółtą strzałką skierowaną pionowo w dół.

Znamy zatem wartość przyspieszenia, z jakim porusza się samochód. Oznacza to, że w związanym z samochodem układzie nieinercjalnym, na kierowcę będzie działała pewna siła bezwładności. Ponieważ przyspieszenie w układzie inercjalnym wynosi $a_d=\frac{v^2}{r}$ i jest skierowane do środka okręgu, to siła bezwładności (pozorna) w układzie nieinercjalnym skierowana musi być przeciwnie – od środka okręgu. Siłę taką nazywamy siłą odśrodkowąsiła odśrodkowasiłą odśrodkową $\overrightarrow{F_o}$. Związane z nią jest przyspieszenie odśrodkowe $\overrightarrow{a_o}$ o tej samej wartości, co przyspieszenie dośrodkowe $\overrightarrow{a_d}$. Wartość siły odśrodkowej wynosi zatem

Wszystkie siły działające na kierowcę w układzie nieinercjalnym przedstawiliśmy na Rys. 2. Są to: siła ciężkości kierowcy $\overrightarrow{F_g}$, siła odśrodkowa $\overrightarrow{F_o}$ oraz siła reakcji $\overrightarrow{F_r}$, związana z naciskiem kierowcy na fotel samochodu.

R1FI8b17sfOo7

Na rysunku przedstawiono schematycznie pojazd znajdujący się na wzniesieniu, na który działają siła grawitacji, siła odśrodkowa, siła reakcji związana z wypadkowym naciskiem kierowcy na fotel.

Rozwiązanie

Widzimy, że nacisk kierowcy na fotel $F_N$ w tym przypadku będzie związany z różnicą siły ciężkości i siły odśrodkowej:

Stąd

Dla mostu o ustalonym promieniu łuku siła odśrodkowa zależy tylko od masy i prędkości samochodu i będzie rosła wraz z prędkością. Oznacza to, że dla pewnej wartości prędkości stanie się ona równa sile ciężkości działającej na kierowcę, co oznacza, że nacisk kierowcy na fotel stanie się równy zeru. Sytuację taką nazywamy stanem nieważkości.

Odpowiedź:

Nacisk kierowcy na fotel przy szybkości samochodu wynoszącej 20 m/s wynosi 586 N. Aby kierowca znalazł się w stanie nieważkości, samochód powinien poruszać się z prędkością ok. 44,3 m/s.

Komentarz:

Zadanie to byłoby o wiele trudniejsze do rozwiązania w układzie inercjalnym, gdzie na kierowcę w najwyższym punkcie mostu działa siła ciężkości. Jest ona skierowana pionowo w dół. Widzimy, że w tym układzie na pierwszy rzut oka nie widać siły, która powodowałaby zmniejszenie nacisku na fotel. Siła ta „ukryta jest” w sile reakcji podłoża na nacisk i nazywamy ją siłą reakcji więzów.

Przykład 2

Mały ciężarek o masie $m$ = 250 g zawieszony jest na nici o długości $l$ = 50 cm i wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej. Maksymalne naprężenie, które może wytrzymać nić, aby się nie zerwać, wynosi $F_N$ = 8 N. Wyznacz maksymalną częstotliwość drgań tego ciężarka.

Analiza zadania:

W układzie inercjalnym zmiana kierunku wektora prędkości wynika z istnienia przyspieszenia dośrodkowego $a_d=\frac{v^2}{r}$, podobnie jak w przykładzie 1. W układzie nieinercjalnym na ciężarek, oprócz siły ciężkości, działa siła odśrodkowasiła odśrodkowasiła odśrodkowa o wartości $F_o=\frac{{mv}^2}{r}$. W tym przykładzie promień okręgu, po którym porusza się ciało, wynosi $l$. Wahadło jest ciężarkiem umieszczonym na nitce, której drugi koniec jest zaczepiony i wykonuje ruch po fragmencie okręgu względem tego punktu.

Zastanówmy się teraz, w jakiej sytuacji nitka może się zerwać? Będzie to miało miejsce wtedy, gdy siła ją naprężająca będzie największa. Sytuacja ta wystąpi, gdy ciężarek będzie przechodzić przez najniższy punkt swojego ruchu, gdyż wtedy siła ciężkości i siła odśrodkowasiła odśrodkowasiła odśrodkowa będą skierowane zgodnie i pionowo w dół, co przełoży się na największe naprężenie nici. Sytuację tę przedstawiliśmy na Rys. 3.

Rn7RmJPZ9zRrL

Rysunek przedstawia schemat wahadła matematycznego i rozkład sił działających na ciężarek w układzie nieinercjalnym. Maksymalna siła wypadkowa występuje w położeniu najmniejszego wychylenia.

Rozwiązanie:

Aby nić uległa zerwaniu, siła na nią działająca musi być równa maksymalnemu dopuszczalnemu naprężeniu:

Aby wyznaczyć maksymalną częstotliwość, z jaką wahadło może wykonywać drgania, musimy znaleźć związek siły odśrodkowejsiła odśrodkowasiły odśrodkowej i częstotliwości. W tym celu wykorzystamy związek pomiędzy prędkością liniową $v$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $r$ oraz jego prędkością kątowąprędkość kątowaprędkością kątową $\omega$:

Z kolei prędkość kątowaprędkość kątowaprędkość kątowa związana jest z częstotliwością $f$ za pomocą następującej relacji:

Siłę odśrodkowąsiła odśrodkowaSiłę odśrodkową możemy zatem wyrazić następująco:

Wstawiając otrzymany wzór do warunku naszego zadania i wyznaczając częstotliwość otrzymujemy:

Odpowiedź:

Maksymalna częstotliwość drgań ciężarka wynosi ok. 1,06 Hz (ciężarek wykonuje 1,06 drgania w ciągu sekundy).

Komentarz:

Zwróć uwagę, że zadanie to, rozpatrywane w układzie inercjalnym (tj. niezwiązanym z wirującą nicią) byłoby o wiele trudniejsze do rozwiązania (Rys. 4.). W układzie inercjalnym na wirujący ciężarek działa siła grawitacji $\overrightarrow{F_g}$ (zawsze skierowana pionowo w dół) oraz siła naciągu nici $\overrightarrow{N}$ (skierowana zawsze do środka okręgu). Wypadkowo, dają one siłę $\overrightarrow{F}$, której składowa $\overrightarrow{F_d}$ jest siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową (wymuszającą ruch ciała po okręgu), a składowa $\overrightarrow{F_h}$ jest składową styczną do okręgu (powoduje ruch wzdłuż okręgu z przyspieszeniem). Analizując siły w układzie inercjalnym moglibyśmy zatem dojść do wniosku, że w najniższym punkcie naciąg nici $\overrightarrow{N}$ będzie najmniejszy, gdyż wtedy siła dośrodkowasiła dośrodkowasiła dośrodkowa skierowana będzie pionowo w górę, czyli przeciwnie do siły grawitacji. Rozumowanie to jest jednak błędne, gdyż w układzie inercjalnym siła dośrodkowa WYNIKA z istnienia sił naciągu nici oraz grawitacji (nie jest niezależną siłą). Z kolei w układzie nieinercjalnym, jest to niezależna siła wynikająca z przyspieszenia układu.

Rmou1QdcuSUuO

Schemat rozkładu sił działających na ciężarek wahadła matematycznego w układzie inercjalnym. Wahadło o długości l wychylono o kąt alfa. Na ciężarek zamocowany na nieważkiej nici działają siły: siła ciężkości wektor F z indeksem dolnym g skierowana pionowo w dół, siła naciągu nici wektor wielkie N, skierowana wzdłuż nici w kierunku punktu zaczepienia oraz siła wypadkowa wektor wielkie F, skierowana w prawo i nieco w górę. Zaznaczono również składowe siły F, siłę wektor F z indeksem dolnym d skierowaną wzdłuż nici oraz wektor F z indeksem h, styczną do okręgu.

Przykład 3. (Zadanie przeznaczone jest dla poziomu rozszerzonego)

Samochód porusza się po zakręcie o promieniu $R$ z prędkością o stałej wartości $v$. Zakręt jest wyprofilowany, tj. skierowany pod kątem $\alpha$ do poziomu. Określ, jaka może być maksymalna prędkość samochodu, by nie wypadł on z zakrętu. Współczynnik tarcia kół o podłoże wynosi $\mu$.

Analiza zadania:

Sytuację rozważaną w zadaniu przedstawiliśmy na Rys. 5., a siły działające – na Rys. 6. W układzie nieinercjalnym występują trzy siły: ciężkości samochodu, odśrodkowa oraz tarcia. Aby sprawdzić, czy samochód utrzyma się na łuku zakrętu, musimy przeanalizować, jakie siły działają na niego wzdłuż jezdni. Na Rys. 6. widzimy, że równoległa do jezdni składowa siły odśrodkowejsiła odśrodkowasiły odśrodkowej $\overrightarrow{F_{o\parallel }}$ próbuje wypchnąć samochód „na zewnątrz” zakrętu. W przeciwną stronę skierowane są z kolei: siła tarcia $\overrightarrow{T}$ oraz równoległa składowa siły ciężkości $\overrightarrow{F_{g\parallel }}$.

R1WuLPrA7aeRH

Widok z góry na zakręt w postaci łuku po którym porusza się pojazd. Pojazd przemieszcza się z prędkością wektor v, styczną do okręgu, skierowaną w górę i w lewo, w odległości wielkie R od środka.

RGNDpPohouKt2

Widok z perspektywy zakrętu oraz rozkład sił działających na pojazd jadący po łuku zakrętu. Pojazd nadal znajduje się w odległości wielkie R od środka, ale w tym widoku jego środek ciężkości znajduje się na równi pochyłej pod kątem alfa do powierzchni. Mamy zaznaczoną siłę tarcia wektor wielkie T. Siłę ciężkości wektor wielkie F z indeksem g o składowych prostopadłej i równoległej do równi pochyłej. Oraz siłę wektor wielkie F z indeksem o, o składowych prostopadłej i równoległej do równi pochyłej.

Siła odśrodkowasiła odśrodkowaSiła odśrodkowa i jej składowe zmieniają się jedynie wraz z prędkością samochodu (promień łuku zakrętu jest stały). Siła ciężkości oraz jej składowe mają stałe wartości. Siła tarcia zależy od wartości siły nacisku $\overrightarrow{F_N}$ kół samochodu na podłoże. Ta (nie zaznaczona na rysunku dla zachowania jego czytelności) jest sumą prostopadłej składowej siły odśrodkowejsiła odśrodkowasiły odśrodkowej $\overrightarrow{F_{o\mathrm{\perp }}}$ oraz składowej prostopadłej siły ciężkości $\overrightarrow{F_{g\mathrm{\perp }}}$.

W przypadku, gdy równoległa składowa siły odśrodkowejsiła odśrodkowasiły odśrodkowej $\overrightarrow{F_{o\parallel }}$ stałaby się większa niż suma: równoległej składowej siły ciężkości $\overrightarrow{F_{g\parallel }}$ oraz tarcia $\overrightarrow{T}$, samochód zostałby wypchnięty na zewnątrz zakrętu. Zauważmy ponadto, że znany wzór opisujący wartość siły tarcia $T=\mu F_N$ opisuje maksymalną możliwą wartość tej siły dla danego nacisku i współczynnika tarcia. Oznacza to, że wraz ze wzrastającą wartością siły odśrodkowejsiła odśrodkowasiły odśrodkowej wzrastać będzie siła tarcia utrzymująca ciało na zakręcie, aż do jej maksymalnej wartości. Dla pewnych, odpowiednio dużych, prędkości samochodu, suma: składowej równoległej siły ciężkości $\overrightarrow{F_{g\parallel }}$ oraz siły tarcia $\overrightarrow{T}$ stanie się niewystarczająca, by zrównoważyć równoległą składową siły odśrodkowejsiła odśrodkowasiły odśrodkowej $\overrightarrow{F_{o\parallel }}$ i samochód wypadnie z zakrętu.

Rozwiązanie:

Maksymalną bezpieczną prędkość samochodu możemy wyznaczyć opierając się na warunku:

Aby wyznaczyć odpowiednie składowe sił, wykorzystamy proste zależności trygonometryczne:

Warunek ruchu po łuku zakrętu przybiera zatem postać:

Wyznaczając z powyższego wyrażenia prędkość, otrzymamy:

Odpowiedź:

Samochód wypadnie z zakrętu, jeśli jego prędkość będzie większa niż

Komentarz:

Widzimy, że maksymalna bezpieczna prędkość samochodu zależy od promienia łuku $R$, kąta wyprofilowania zakrętu $\alpha$ oraz współczynnika tarcia $\mu$. Zależność od promienia łuku jest prosta – im większy będzie promień łuku zakrętu, tym większa jest maksymalna bezpieczna prędkość samochodu. Dlatego też drogi szybkiego ruchu mają zazwyczaj duże promienie skrętów. Przeanalizujmy teraz wyrażenie $\frac{sin\alpha +\mu cos\alpha }{cos\alpha -\mu sin\alpha }$. Wartość tego wyrażenia rośnie wraz z kątem $\alpha$, co oznacza, że profilowanie zakrętu również zwiększa dopuszczalną, bezpieczną wartość prędkości. Aby przekonać się, że wyrażenie to rośnie wraz z kątem, możesz przygotować odpowiedni wykres w dowolnym arkuszu kalkulacyjnym, np. OpenOffice Calc.

Słowniczek