Symulacja interaktywna

Analiza ruchu ciał w układach nieinercjalnych

Zakręty na szosach nierzadko bywają „uniesione” po zewnętrznej stronie. Podobnie szyny kolejowe: szyna wewnętrzna w zakręcie jest ułożona nieco niżej niż zewnętrzna. Wykorzystaj symulację do rozpoznania skutków takiego postępowania.

Doświadczenie 1

Rozpoznanie terenu

Zamieszczona symulacja przedstawia ruch samochodu na zakręcie o zadanym promieniu $r$ . Rozważany zakręt jest dodatkowo nachylony pod kątem $\alpha$ do poziomu.

Problem badawczy

Rozpoznanie sposobu wyprofilowania zakrętu na podstawie jego schematu.

Instrukcja

Uruchom symulację i wybierz opcję „Pokaż schemat 3D”. Jest to schemat zakrętu, po którym porusza się samochód. Przeanalizuj ten schemat.

R1OvIvvfMndbs

Żółta bryła na schemacie jest fragmentem wydrążonego walca z ciemnożółtą powierzchnią boczną. Zielona część to fragment powierzchni innej bryły, mającej - podobnie jak walec - symetrię obrotową. Wypełnia ona wydrążenie w walcu. Samochód w symulacji porusza się po nachylonej części powierzchni zielonej.

Polecenie 1

Wyobraź sobie, że obie bryły zostały przecięte pionową płaszczyzną zawierającą oś symetrii walca (Rys. 1). Płaszczyzna ta przecina zieloną powierzchnie wyznaczając otwartą figurę ograniczoną pogrubionymi liniami.

R1UD93BB3zCUU

Rys. 1. Pionowy przekrój przez powierzchnię zakrętu.

Trzy najprostsze warianty wyprofilowana pochylonej części zakrętu przedstawia Rys. 2. Przeanalizuj inne elementy widoczne na ekranie symulacji i rozstrzygnij, który profil został w niej wykorzystany.

R1DpySP9FuoW6

RC7Naea5C5kxS

Podsumowanie

Polecenie 2

Sporządź krótką notatkę, w której wymienisz po jednej wadzie i jednej zalecie stosowania w rzeczywistości profilowania zakrętów innego, niż zastosowanego w symulacji.

Doświadczenie 2

Siły w układzie nieinercjalnym

Ruch samochodu jest opisany przy pomocy sił istniejących w układzie nieinercjalnym, tj. siły ciężkości $\vec{F_g}$ , odśrodkowej $\vec{F_o}$ , sprężystości $\vec{F_r}$ i tarcia $\vec{T_{~}}$ .

W symulacji możesz m.in. zmienić: kąt $\alpha$ nachylenia jezdni, promień łuku $R$ oraz wartość prędkości $v$ , z jaką samochód „wchodzi” w zakręt. Możesz też zmienić współczynnik tarcia statycznego $f$ kół o nawierzchnię drogi. Współczynnik ten odnosi się do kierunku poprzecznego do kierunku ruchu, w którym to kierunku samochód się nie porusza. W zamieszczonej symulacji tarcie kinetyczne całkowicie zaniedbujemy.

Problem badawczy

Analiza działających sił w układzie i zależności prędkości samachodu i parametrów układu.

Hipoteza

W poniższym układzie nieinercjalnym możliwe jest znalezienie wartości prędkości pozwalającej na zmianę trajektorii ruchu.

Instrukcja

Uruchom symulację w trybie pełnoekranowym i możliwa jest modyfikacja parametrów układu oraz prędkości samochodu.

R1OvIvvfMndbs

Polecenie 3

Czy możliwe jest, by samochód utrzymał się na płaskim zakręcie, jeśli nie występowałoby tarcie? Spróbuj rozważyć ten przypadek teoretycznie, a następnie sprawdź wynik używając symulacji.

Polecenie 4

Na podstawie wyników symulacji oraz własnych analiz wyjaśnij, dlaczego drogi szybkiego ruchu, tj. autostrady i drogi ekspresowe, posiadają duże promienie skrętów.

Polecenie 5

Na podstawie wyników symulacji oraz własnych obliczeń wyjaśnij, dlaczego na drogach szybkiego ruchu zakręty są „wyprofilowane” pod pewnym kątem do poziomu, w taki sposób, że po jednej stronie nawierzchnia drogi jest wyżej niż po drugiej stronie.

Oszacuj, ile powinien wynosić kąt nachylenia nawierzchni drogi na zakręcie o promieniu R=250 m, przy założeniu, że średnia prędkość samochodów na tym zakręcie wynosi 90 km/h. Załóż, że zakręt powinien być bezpieczny nawet w warunkach mokrej nawierzchni, gdy przyczepność kół jest bliska zeru.

ROyzRjWJLk0jY

Widok na tor wyścigowy wraz z rozkładem sił działających na samochody rajdowe poruszające się po łuku toru. — Siły działające na pojazd na wyprofilowanym zakręcie.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Wyprofilowanie drogi pomaga utrzymać pojazd w łuku zakrętu. Siła odśrodkowa $\vec{F_o}$ działająca na pojazd podczas ruchu po zakręcie jest skierowana poziomo. Gdy zakręt jest wyprofilowany, prostopadła do toru składowa tej siły powoduje dodatkowy nacisk kół pojazdu na podłoże. Większy nacisk sprawia, że wzrasta wartość maksymalnej siły tarcia $T_{\max}=f\cdot(F_{o_{\perp}}+F_{g_{\perp}})$ utrzymującej pojazd na torze. Dodatkowo, na wyprofilowanym zakręcie na pojazd działa równoległa do podłoża składowa siły ciężkości $\vec{F_g}$ , która skierowana jest „do środka” łuku, czyli również pomaga utrzymać pojazd na torze.

W razie konieczności, wróć do Przykładu 3. w części „Warto przeczytać”. Podobne sytuacje są również analizowane w zadaniach 7 i 8 w części „Sprawdź się”.

Monety na platformie obrotowej

Dysponujesz, w pracowni fizycznej lub w domu, dobrze wygładzoną i polakierowaną deską o rozmiarze rzędu jednego metra. Możesz ją położyć poziomo na stołku obrotowym, na kole garncarskim lub na podobnym urządzeniu. Ma ono Ci umożliwić stopniowe rozkręcanie deski do coraz większej prędkości kątowej. Podczas wstępnych prób z rozkręcaniem ułóż deskę w miarę centralnie na stołku – chodzi o to, by nie spadła ani nie zsunęła się ona ze stołka. Rozważ choćby prowizoryczne przymocowanie deski do stołka.

Na desce kładziesz jednakowe monety, po czym obracasz deskę coraz szybciej, aż monety się z niej zsuną. Twoim celem jest zbadanie, od jakich czynników zależy kolejność zsuwania się monet. A może monety zawsze zaczynają się zsuwać w tym samym momencie, przy osiągnięciu tej samej prędkości kątowej deski?

Ćwiczenie 1

Zaczynasz swoje doświadczenie od pojedynczej monety. Kładziesz ją mniej więcej w połowie odległości pomiędzy środkiem a brzegiem deski – to położenie dalej nazwiemy wzorcowym. Obracasz deską coraz szybciej. Zgodnie z przewidywaniami, po osiągnięciu określonej prędkości kątowej deski, moneta traci przyczepność, zaczyna się ślizgać się po desce w kierunku jej brzegu i wreszcie spada z niej.

R1L62CbwWsGvO

Uzupełnij opis ruchu monety w układzie odniesienia związanym z deską. Nim moneta straci przyczepność, działają na nią cztery siły.
W kierunku pionowym: siła 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski (w dół) i siła 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski (w górę). Wartości obu tych sił 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski i równoważą się one 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski wartości prędkości kątowej deski.
W poziomie: siła 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski, w kierunku środka deski oraz siła 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski, w kierunku 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski deski. Wartości obu tych sił 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski w miarę rozkręcania deski, a ich wypadkowa 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski.
Tak więc przed utratą przyczepności moneta 1. rosną, 2. porusza się jednostajnie po okręgu, 3. jest zawsze zwrócona ku brzegowi deski, 4. odśrodkowa, 5. spoczywa, 6. jest zawsze zwrócona ku środkowi deski, 7. porusza się niejednostajnie po okręgu, 8. grawitacji, 9. tarcia dynamicznego, 10. niezależnie od, 11. są stałe, 12. tarcia statycznego, 13. maleją, 14. ma zawsze wartość zero, 15. może być zwrócona ku środkowi deski lub jej brzegowi, 16. dośrodkowa, 17. brzegu, 18. przy jednej, ustalonej, 19. reakcji deski.

Ćwiczenie 2

R13ArnShWAwXR

Moneta zsuwa się w kierunku poziomym, ku brzegowi deski. Oznacza to, że równowaga pomiędzy siłami odśrodkową i tarcia statycznego została naruszona. Wartość siły odśrodkowej rośnie, przy ustalonej odległości $r$ od osi obrotu, wraz ze wzrostem prędkości kątowej $ω$ , zgodnie z wyrażeniem:

F_{o} = m \cdot ω^{2} \cdot r

Wartość siły tarcia statycznego wzrasta wraz ze wzrostem wartości siły dążącej do wyprowadzenia monety ze stanu spoczynku (tutaj jest to właśnie siła odśrodkowa). Siła tarcia nie może jednak rosnąć nieograniczenie. Maksymalna jej wartość dana jest wyrażeniem:

F_{t} = f \cdot m g

gdzie $f$ jest współczynnikiem tarcia statycznego, zaś $m$ masą monety. Porównując te dwa wyrażenia i uwzględniając progowy charakter przekroczenia maksymalnej wartości siły tarcia, uzyskujemy warunek na wprawienie monety w poślizg po desce:

ω^{2} \cdot r > f \cdot g

Warunek ten wiąże trzy parametry, które możesz zmieniać w tym eksperymencie. Wartość $g$ jest w warunkach laboratorium praktycznie niezmienna.

Ćwiczenie 3

RNfutZ3sNY7xF

Warunek wyprowadzony w poleceniu 2. wiąże trzy parametry specyficzne dla każdej z monet. Jeden z nich, współczynnik tarcia, jest w tym doświadczeniu jednakowy. Jeden z nich został celowo zróżnicowany – to odległość $r$ od osi obrotu. Można więc zapisać warunek ześlizgu, dla każdej monety oddzielnie, jako warunek na jej prędkość kątową:

ω_{1}^{2} > \frac{f \cdot g}{r_{1}} oraz ω_{2}^{2} > \frac{f \cdot g}{r_{2}}

Ponieważ $r_{1}$ jest mniejsze od $r_{2}$ , to dla uzyskania ześlizgu potrzebna jest prędkość kątowa $ω_{1}$ większa niż $ω_{2}$ .

Ćwiczenie 4

Oklejasz połowę deski kawałkiem tektury starając się, by granica pomiędzy deską a tekturą przebiegała możliwie blisko osi obrotu deski. Pierwszą monetę ustawiasz na desce, w położeniu wzorcowym (polecenie 1.), drugą zaś w dowolnym miejscu na tekturze.

RVhyDqVpbPeto

Ćwiczenie 5

By porównać współczynniki tarcia monet o tekturę i o deskę ustawiasz pierwszą monetę w położeniu wzorcowym, drugą zaś w tej samej odległości od osi obrotu, ale na tekturze.

RkyGfwKwjNRTh

Przeczytaj

Sprawdź się

Analiza ruchu ciał w układach nieinercjalnych

Monety na platformie obrotowej