Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozwiązywanie równań: sinx=1,sinx=-1

Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązanie równania z jedną niewiadomąrozwiązywanie równań postaci sinx=a od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji y=sinx jest przedział -1,1, zatem dla liczb a-1,1 równanie sinx=a nie ma rozwiązańzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na początek rozwiążemy równanie sinx=1.

R1daNZ9LoEIE0

Zauważmy, że w przedziale 0,2π) funkcja y=sinx przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu x=π2. Funkcja y=sinx jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=2π, zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: x=π2+2kπ, gdzie k.

Postępując analogicznie rozwiązujemy równanierozwiązanie równania z jedną niewiadomąrównanie sinx=-1.

RTBb1QkMAQ14K

Rozwiązaniemzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąRozwiązaniem równania sinx=-1 jest każda liczba postaci x=-π2+2kπ, gdzie k.

Rozwiązywanie równań: sinx=a.

Aby rozwiązać równanie sinx=a wykorzystamy wykresy funkcji y=sinxy=a. Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta y=a przecina wykres w dwóch typach punktów; jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w stałych odległościach równych 2π. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.

R45Jga3thKwUm

Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.

Wykorzystajmy poniższy aplet.

R1J2VanPVRMZD

Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu x=π2. Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów, co oznacza, że spełniają zależność: x1+x22=π2. Stąd dostajemy, że x1=π-x2.

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego

Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania sinx=a.

  • Znajdujemy jedno rozwiązanie x0 takie, że sinx0=a.

  • Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: x0+2kπ, gdzie k.

  • Znajdujemy drugie rozwiązanie π-x0.

  • Zapisujemy drugą serię rozwiązań: π-x0+2kπ, gdzie k.

Uwaga:

W przypadku równań sinx=1,sinx=-1 jest tylko jedna seria rozwiązań.

Przykład 1

Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: sinx=-12.

Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania sinx=-12. Ponieważ sinπ6=12, korzystając z nieprzystości funkcji sinus otrzymujemy: sin-π6=-12. Zatem poszukiwanym x0 jest liczba -π6. Wobec tego rozwiązaniami równania sinx=-12 są: x=-π6+2kπ lub x=π--π6+2kπ, gdzie k.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: sinx=-12 w przedziale -π,3π.

Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale -π,3π. Są to: -5π6,-π6,7π6,11π6.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie 2sin3x=3 w przedziale (-π,π). Przekształcamy równanie do postaci: sin3x=32. Podstawiamy z=3x, czyli otrzymujemy równanie sinz=32. Znajdujemy jedno rozwiązanie: z0=π3. Zatem rozwiązaniami równania sinz=32 są: z=π3+2kπ lub z=π-π3+2kπ, gdzie k. Ponieważ z=3x, wówczas rozwiązaniami równania 2sin3x=3x=π9+2kπ3 lub x=2π9+2kπ3, gdzie k. Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału (-π,π): 5π9,4π9,π9,2π9,7π9,8π9.

A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru a równanie sin(2x-1)=|a-1|-3 ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Ponieważ zbiorem wartości funkcji y=sin(2x-1) jest przedział -1,1, zatem muszą być spełnione dwie nierówności: -1|a-1|-3|a-1|-31. Wówczas 2|a-1||a-1|4. Wobec tego otrzymujemy a(-,-13,+)a-3,5, skąd otrzymujemy odpowiedź: a-3,-13,5.

Słownik

rozwiązanie równania z jedną niewiadomą
rozwiązanie równania z jedną niewiadomą

liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu  za zmienną daje równość liczby po prawej i lewej stronie równania.

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą
zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór liczb spełniających równanie.