Przeczytaj

Co granica ciągu ma wspólnego z otoczeniem punktu?

Zanim podamy formalną definicję granicy ciągu nieskończonego, przyjrzyjmy się następującemu przykładowi. Rozważmy ciąg określony wzorem $a_{n} = \frac{1}{n}, n \in ℕ$ . Podstawiając za $n$ kolejne liczby naturalne, otrzymujemy ciąg $1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ ...
Ciąg ten można przedstawić graficznie następująco

RX2hzKNCTfD27

Rysunek przedstawia poziomą oś X od zera do 1. Na osi zaznaczone i opisane są punkty między nimi: jedna szósta, jedna piąta, jedna czwarta, jedna trzecia, jedna druga. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zwróćmy uwagę, że każdy kolejny wyraz tego ciągu znajduje się coraz bliżej zera. Wynika to z faktu, że wyrazami tego ciągu są ułamki zwykłe, których liczniki są zawsze równe jeden, natomiast mianowniki to kolejne liczby naturalne. Zatem ciąg ten jest malejący i oczywiście wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Gdybyśmy teraz rozważyli dowolne otoczenie zera, czyli przedział $(- ε, ε)$ , to niezależnie od wyboru dodatniej liczby $ε$ (w szczególności biorąc dowolnie małą dodatnią liczbę $ε$ ) zawsze do takiego otoczenia należeć będą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną ilością).

R1KhfPWYRjNaS

Rysunek przedstawia poziomą oś X od ok. minus jednej trzeciej do 1. Na osi zaznaczone i opisane są punkty między zerem a jeden: jedna szósta, jedna piąta, jedna czwarta, jedna trzecia, jedna druga. Na osi zaznaczony jest także innym kolorem przedział od minus epsilon do epsilon. Epsilon umiejscowione jest na osi między jedną piątą a jedną czwartą. Nad przedziałem poziomymi klamrami zaznaczone są odległości przedziału od zera, czyli epsilon. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Patrząc na powyższy rysunek widzimy, że wybierając dodatnią liczbę $ε$ dowolnie blisko zera, zawsze po jej prawej stronie będzie się znajdować skończona ilość wyrazów ciągu. Zatem na lewo znajdować się będą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Powyższa obserwacja pozwala sformułować intuicyjną definicję granicy ciągu. Mianowicie jest to taka liczba rzeczywista $g \in ℝ$ , że w dowolnym jej otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Powyższą definicję można zapisać w sposób formalny następująco.

Granica ciągu

Definicja: Granica ciągu

Niech dany będzie ciąg nieskończony $(a_{n})$ . Powiemy, że liczba $g \in ℝ$ jest granicą tego ciągu, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej $ε > 0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność

| a_{n} - g | < ε .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej ostatnią nierówność można zapisać następująco

- ε < a_{n} - g < ε,

czyli

g - ε < a_{n} < g + ε .

Ostatnia nierówność oznacza właśnie, że prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $a_{n}$ (dokładnie wszystkie począwszy od wyrazu o numerze $N + 1$ ) należą do przedziału $(g-ε,g+ε)$ , czyli do otoczeniaotoczenie punktuotoczenia liczby $g$ o promieniu $ε$ , przy czym liczbę dodatnią $ε$ można wybrać dowolnie małą.

Uwaga!

Nie każdy ciąg nieskończony posiada granicę. Przykłady takich ciągów podane będą w kolejnych tematach.

Jeśli ciąg $(a_{n})$ posiada granicę równą liczbie $g \in ℝ$ , to fakt ten zapisujemy następująco

lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .

Przykład 1

Powróćmy do początkowego przykładu ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}, n \in ℕ$ . Z przeprowadzonych rozważań wynika, że ciąg ten posiada granicę i jest ona równa $0$ . Zatem zgodnie z definicją dla każdej dodatniej liczby $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność $| a_{n} - 0 | < ε$ . Podstawiając wzór ciągu i korzystając z faktu, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie, ostatnia nierówność jest równoważna nierówności $\frac{1}{n} < ε$ . Jest to nierówność prawdziwa, gdyż wybierając dowolną dodatnią liczbę $ε$ (w szczególności dowolnie małą) zawsze znajdziemy na tyle dużą liczbę naturalną $N$ , aby $\frac{1}{N} < ε$ . Wówczas nierówność ta będzie też spełniona dla każdej liczby naturalnej $n > N$ . Zatem istotnie prawdą jest, że

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0 .

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu poza skończoną ich ilością

otoczenie punktu

Otoczeniem punktu $x_{0}$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

U (x_{0}, ε) = {x \in ℝ : | x - x_{0} | < ε}

Wprowadzenie

Infografika

Co granica ciągu ma wspólnego z otoczeniem punktu?

Słownik