Przeczytaj
Równanie okręgu
Okrąg jest zbiorem punktów leżących w tej samej odległości od danego punktu, zwanego środkiem okręgu.
![Grafika przedstawia pionową oś x oraz poziomą oś y. Na płaszczyźnie, w pierwszej ćwiartce znajduje się okrąg. Środek okręgu zaznaczono punktem C o współrzędnych: początek nawiasu, a, b, zamknięcie nawiasu. Współrzędne zostały zrzutowane na osie za pomocą przerywanych linii. Punkt a na oś x, natomiast punkt b na oś y. Okrąg przechodzi przez punkt P o współrzędnych początek nawiasu, x, y, zamknięcie nawiasu. Współrzędne tego punktu również zostały zrzutowane na osie. Punkt x na oś x, natomiast punkt y na oś y. Punkt C został połączony z punktem P linią ciągłą.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rch5LjXAK5hhN/1617120378/1XJRSEOmFHW3nvHbelMUNtPEZsthu60E.png)
Oznaczając współrzędne środka okręgu przez a promień przez , jego równanie na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy zapisać w postaci kanonicznej:
Równanie to możemy zapisać również w innej postaci:
Podstawiając:
otrzymujemy równanie w postaci ogólnej:
Równanie to jest równaniem okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy:
Współrzędne środka okręgu i długość promienia wyznaczamy ze wzorów:
Jeśli , czyli , to okrąg jest okręgiem zdegenerowanym do punktu .
Sprawdzimy, czy równanie jest równaniem okręgu.
Rozwiązanie
Oznaczmy: , , . Ponieważ , stąd:
,
czyli dane równanie jest równaniem okręgu.
Sprawdzimy, czy punkt jest środkiem okręgu o równaniu oraz czy jego promień ma długość .
Rozwiązanie
Wykorzystując wzory na środek i promień okręgu , , otrzymujemy:
, czyli .
Wyznaczymy teraz długość promienia okręgu:
.
Zatem jest środkiem okręgu o równaniu:
,
a jego promień ma długość .
Prosta styczna do okręgu
Przypomnijmy, że prostą nazywamy styczną do okręgu, jeśli ma z nim dokładnie punkt wspólny. Punkt wspólny nazywamy punktem styczności.
Dany jest punkt oraz okrąg o równaniu:
Ilość stycznych do okręgu przechodzących przez punkt zależy od wzajemnego położenia okręgu i punktu . Może zachodzić jeden z trzech następujących przypadków:
punkt leży na zewnątrz okręgu;
RxO2CCjiEnpfw Przez punkt przechodzą dokładnie proste styczne do tego okręgu.
punkt leży na okręgu;
R3Y8krdd6Xlnn Przez punkt przechodzi dokładnie prosta styczna do tego okręgu. Punkt jest jednocześnie punktem styczności.
punkt leży wewnątrz okręgu;
Rvx9beh94gGDV Przez punkt nie przechodzi żadna prosta styczna do tego okręgu.
Aby, w przypadkach i , wyznaczyć równania stycznych do okręgu, na których leży punkt , postępujemy zgodnie z poniższym algorytmem:
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu i długość promienia okręgu.
Piszemy równanie pęku prostychpęku prostych o środku w postaci ogólnej:
.
Stosujemy wzór na odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym :
.
Obliczoną odległość przyrównujemy do długości promienia.
Podstawiamy obliczone wartości do równania pęku prostych.
Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu przechodzących przez punkt .
Rozwiązanie
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu i długość jego promienia:
, .
Piszemy równanie pęku prostych o środku :
.
Obliczamy odległość prostych od punktu :
.
Przyrównujemy tak obliczoną odległość do długości promienia:
.
Podnosimy obie strony do kwadratu:
, zatem: lub .
Podstawiamy obliczone wartości do równania pęku i otrzymujemy równania stycznych:
,
.
![Grafika przedstawia pionową oś x od minus dwóch do siedmiu i pionową oś y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono okrąg oraz dwie ukośne proste. Środek okręgu znajduje się w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu, punkt ten podpisano literą C. Okrąg ma promień o długości jeden. Na osi x w punkcie początek nawiasu 94, 0, zamknięcie nawiasu został zaznaczony punkt P. Przez ten punkt poprowadzone zostały dwie styczne do okręgu o środku w punkcie C. Jedną styczną podpisano t1 a drugą styczną podpisano t2. Pierwsza styczna ma równanie y=43x−3 i przechodzi przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 3, zamknięcie nawiasu. Druga styczna ma równanie y=−43x+3 i przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1LK2NYwyO3Qa/1617120381/2hLBHEP2tuxTmuIVm3eX1SYvGaXfuMbI.png)
Jeśli punkt jest punktem okręgu, to poza metodami zaprezentowanymi wyżej, możemy zastosować również inną metodę.
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu.
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty i .
Jeśli , to wyznaczamy współczynnik prostej prostopadłej do prostej .
Piszemy równanie stycznej:
.
Ważne!
Jeśli prosta przechodząca przez punkty i jest równoległa do osi , to równanie stycznej do okręgu ma postać: , gdzie - odcięta punktu .
Jeśli prosta przechodząca przez punkty i jest równoległa do osi , to równanie stycznej do okręgu ma postać: , gdzie - rzędna punktu .
Wyznaczymy równanie stycznej do okręgu o równaniu w punkcie
Rozwiązanie
Zauważmy, że punkt należy do tego okręgu.
Środkiem okręgu jest punkt . Wyznaczymy teraz współczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowy prostej oraz współczynnik prostej prostopadłej do prostej :
,
.
Teraz możemy już napisać równanie stycznej:
.
Wyznaczymy równania wspólnych stycznych do okręgów o równaniach i .
Rozwiązanie
Dane okręgi mają środki w punktach i oraz promienie o długościach odpowiednio i .
Jeśli prosta o równaniu jest wspólną styczną do tych okręgów, to jej odległość od środka pierwszego okręgu wynosi , zaś od drugiego wynosi .
Mamy zatem układ:
stąd:
.
Mnożąc obie strony drugiego równania przez i odejmując równanie drugie od równania pierwszego, otrzymujemy:
co daje:
,
czyli
lub .
Stąd lub .
Jeśli , to każde z równań układu redukuje się do równania . Oznacza to, że , czyli prosta styczna ma równanie .
Jeśli , to każde z równań układu redukuje się do postaci . Oznacza to, że lub .
Wówczas dla dowolnego otrzymujemy równania dwóch wspólnych stycznych:
i ,
które przecinają się w punkcie .
![Grafika przedstawia pionową oś x od minus trzech do sześciu i pionową oś y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa okręgi oraz trzy proste. Pierwszy okrąg ma środek C1 w punkcie początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu. Okrąg ten ma promień równy trzy. Drugi okrąg ma środek C2 w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu. Okrąg ten ma promień jeden. Okręgi mają punkt wspólny w początku układu współrzędnych. Przez ten punkt przechodzi pionowa prosta, pokrywająca się z osią y o równaniu x=0. Druga prosta jest styczna do obu okręgów i przechodzi przez trzecią, drugą i pierwszą ćwiartkę. Prosta ta ma równanie x+3y+3=0. Trzecia prosta jest również styczna do obu okręgów i przechodzi przez drugą trzecią i czwartą ćwiartkę. Prosta ta ma równanie x−3y+3=0. Druga i trzecia prosta przecinają się w punkcie A o współrzędnych początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu. Środki okręgów są połączone z punktami, w których przecinają się ze stycznymi.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RMba3zFTGEikr/1617120382/1RBzOyETZASQwfICX4jnRxPD6BzLeAFC.png)
Słownik
długość najkrótszego spośród odcinków łączących punkt z punktami prostej ; odcinek ten jest prostopadły do danej prostej
w równaniu kierunkowym prostej współczynnikiem kierunkowym prostej nazywamy liczbę ; wartość tej liczby możemy wyznaczyć z zależności gdzie jest kątem nachylenia prostej do osi
zbiór wszystkich prostych przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku