Przykład 1

Rozwiążemy równanie x-1-6=2.

Opuszczając wartość bezwzględną, otrzymujemy:

x-1-6=2 lub x-1-6=-2

x-1=8 lub x-1=4

Oba równania posiadają rozwiązania, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Rozwiązują równanie x-1=8 otrzymujemy x=-7 lub x=9.

Rozwiązanie równania x-1=4 to  x=-3 lub x=5.

Zatem rozwiązaniem równania są liczby  x-7, -3, 5, 9.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie 4+x-1=2.

4+x-1=2 lub 4+x-1=-2

x-1=-2 lub |x1|=6

Oba otrzymane równania są sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczba nieujemną.

Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie x-2=x+1.

x-2=x+1 lub x-2=-x-1

Rozwiązując pierwsze równanie, otrzymujemy sprzeczność, ponieważ -21.

Rozwiążemy równanie x-2=-x-1.

2·x=1

x=12

Zatem x=-12 lub x=12.

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru p równanie px+p=1 ma rozwiązania?

px+p=1

Najpierw skorzystamy z własności wartości bezwzględnej px=p·x dla dowolnych px.

p·x+p=1

p·x=1-p

Dla p0 otrzymujemy:

x=1-pp

Aby równanie miało rozwiązania, musi zachodzić warunek:

1-pp0

Ponieważ p>0

1-p0

p1

Zatem p-1, 10.

Przykład 5

Zbadamy, dla jakich wartości parametru m równanie x-5=m ma dwa dodatnie pierwiastki.

x-5=m

Aby równanie miało dwa pierwiastki m>0.

Wtedy

x-5=m lub x-5=-m

x=m+5 lub x=5-m

Aby oba pierwiastki równaniapierwiastki równaniapierwiastki równania były dodatnie:

m+5>05-m>0

m>-5m<5

Czyli m-5, 5

Ale ponieważ założyliśmy, że m jest liczbą dodatnią m0, 5.

Słownik

pierwiastki równania
pierwiastki równania

liczby spełniające równanie