Rozwiążemy równanie $\left|\left|x-1\right|-6\right|=2$.

Opuszczając wartość bezwzględną, otrzymujemy:

$\left|x-1\right|-6=2$ lub $\left|x-1\right|-6=-2$

$\left|x-1\right|=8$ lub $\left|x-1\right|=4$

Oba równania posiadają rozwiązania, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Rozwiązują równanie $\left|x-1\right|=8$ otrzymujemy $x=-7$ lub $x=9$.

Rozwiązanie równania $\left|x-1\right|=4$ to  $x=-3$ lub $x=5$.

Zatem rozwiązaniem równania są liczby  $x\in \left\{-7, -3, 5, 9\right\}$.

Rozwiążemy równanie $\left|4+\left|x-1\right|\right|=2$.

$4+\left|x-1\right|=2$ lub $4+\left|x-1\right|=-2$

$\left|x-1\right|=-2$ lub $|x-1|=-6$

Oba otrzymane równania są sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczba nieujemną.

Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $\left|\left|x\right|-2\right|=\left|x\right|+1$.

$\left|x\right|-2=\left|x\right|+1$ lub $\left|x\right|-2=-\left|x\right|-1$

Rozwiązując pierwsze równanie, otrzymujemy sprzeczność, ponieważ $-2\ne 1$.

Rozwiążemy równanie $\left|x\right|-2=-\left|x\right|-1$.

$2·\left|x\right|=1$

$\left|x\right|=\frac{1}{2}$

Zatem $x=-\frac{1}{2}$ lub $x=\frac{1}{2}$.

Dla jakich wartości parametru $p$ równanie $\left|px\right|+\left|p\right|=1$ ma rozwiązania?

$\left|px\right|+\left|p\right|=1$

Najpierw skorzystamy z własności wartości bezwzględnej $\left|px\right|=\left|p\right|·\left|x\right|$ dla dowolnych $p$ i $x$.

$\left|p\right|·\left|x\right|+\left|p\right|=1$

$\left|p\right|·\left|x\right|=1-\left|p\right|$

Dla $p\ne 0$ otrzymujemy:

$\left|x\right|=\frac{1-\left|p\right|}{\left|p\right|}$

Aby równanie miało rozwiązania, musi zachodzić warunek:

$\frac{1-\left|p\right|}{\left|p\right|}\ge 0$

Ponieważ $\left|p\right|>0$

$1-\left|p\right|\ge 0$

$\left|p\right|\le 1$

Zatem $p\in ⟨-1, 1⟩\setminus \left\{0\right\}$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\left|x-5\right|=m$ ma dwa dodatnie pierwiastki.

$\left|x-5\right|=m$

Aby równanie miało dwa pierwiastki $m>0$.

Wtedy

$x-5=m$ lub $x-5=-m$

$x=m+5$ lub $x=5-m$

Aby oba pierwiastki równaniapierwiastki równaniapierwiastki równania były dodatnie:

$\left\{\begin{array}{l}m+5>0\\ 5-m>0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}m>-5\\ m<5\end{array}\right.$

Czyli $m\in \left(-5, 5\right)$

Ale ponieważ założyliśmy, że $m$ jest liczbą dodatnią $m\in \left(0, 5\right)$.

liczby spełniające równanie