Przeczytaj
Wzory redukcyjne dla kątów ,
Zbierzemy teraz informacje dotyczące wzorów redukcyjnych dla kątów , .
Przypomnijmy znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach (siatka znakówsiatka znaków).
Kąt | ||||
---|---|---|---|---|
Zauważ, że powyższe wzory redukcyjnewzory redukcyjne możesz łatwo zapamiętać, znając znaki funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki i stosując zasadę, że we wzorach na , funkcje przechodzą na kofunkcje (sinus na cosinus, cosinus na sinus, tangens na funkcję ).
W zapamiętaniu znaków funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki pomóc może rysunek:
Ilustracja przedstawi układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Każda z ćwiartek jest podpisana swoim numerem.
W ćwiartce pierwszej zapisano .
W drugiej ćwiartce zapisano .
W trzeciej ćwiartce zapisano .
W czwartej ćwiartce zapisano .
Wykażemy, że:
,
,
.
Rozwiązanie
Wykazując powyższe zależności, wykorzystamy wzory redukcyjnewzory redukcyjne dla kątów .
Wiedząc, że i , obliczymy .
Rozwiązanie
Ponieważ:
,
,
,
,
to:
.
Ze wzoru wyznaczamy .
Po podstawieniu otrzymujemy .
Istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy . To i .
Ponieważ , to rozwiązaniem jest .
Możemy również wyznaczyć , wykorzystując trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej przy kącie długości i przeciwprostokątnej długości równej . Oznaczając oraz , otrzymamy następującą równość:
Długość drugiej przyprostokątnej wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa: .
Wyznaczamy .
Istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy . To i .
Długości boków są zawsze dodatnie, więc .
Wyliczoną wartość podstawiamy do poniższego wyrażenia.
Pozbyliśmy się niewymierności w mianowniku, rozszerzając ułamek (poprzez mnożenie licznika i mianownika przez ).
Odp.: .
Obliczymy wartość wyrażenia: .
Rozwiązanie
sposób:
Zastosujemy wzory redukcyjne dla kątów .
Ponieważ
,
,
to podstawiając wyliczone wartości, mamy:
.
sposób:
Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych dla kątów , .
Ponieważ
,
,
to podstawiając wyliczone wartości mamy:
.
Uprościmy wyrażenie: .
Rozwiązanie
Ponieważ:
,
,
,
to:
.
Po wyłączeniu przed nawias i podstawieniu mamy:
.
Udowodnimy, że równość jest tożsamością dla .
Rozwiązanie
Przekształcimy najpierw prawą stronę równości:
.
Przekształcimy teraz lewą stronę równości:
Ponieważ lewa strona równości jest równa stronie prawej, zatem dla równość jest tożsamością.
Słownik
wzory pozwalające wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta za pomocą wartości funkcji kąta ostrego
nazwa tabeli, w której zestawiono znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach