Przeczytaj

Aby proste były równoległe, ich współczynniki kierunkowe muszą być równe. Teraz określimy warunek konieczny do tego, aby dwie proste były prostopadłe.

Na początek przypomnijmy znany nam już fakt dotyczący prostych równoległych do osi układu współrzędnych.

prosta prostopadła

Twierdzenie: prosta prostopadła

Prosta prostopadłaprosta prostopadłaProsta prostopadła do prostej $x = a$ i przechodząca przez punkt $(a, b)$ ma równanie $y = b$ .

Przykład 1

Napiszemy równanie prostej przechodzącej przez punkt $P = (1, - 3)$ i prostopadłej do prostej $y = - 3$ .

Rozwiązanie

Szukana prosta musi być pionowa, to znaczy mieć równanie $x = a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Aby punkt $(1, - 3)$ należał do szukanej prostej, $a$ musi być równe $1$ , ponieważ taka jest pierwsza współrzędna punktu $P$ . Równanie prostej ma więc postać: $x = 1$ .

RDx6wWNVGGgYT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono dwie proste. Pierwsza z nich jest pionowa i ma równanie x=1, druga z nich jest pozioma i ma równanie y=-3. Proste przecinają się w punkcie P o współrzędnych nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Pokażemy teraz, jaki jest związek między współczynnikami kierunkowymiwspółczynnik kierunkowywspółczynnikami kierunkowymi zapisanymi w równaniach dwóch prostych prostopadłych, które nie są położone w układzie współrzędnych w tak szczególny sposób, jak omówiony powyżej.

Na początek rozważymy sytuację, gdy punkt przecięcia takich prostych znajduje się w początku układu współrzędnych.

Przykład 2

Znajdziemy prostą prostopadłą do prostej o równaniu $y = \frac{1}{3} x$ .

Rozwiązanie

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o wierzchołkach:
$O = (0, 0)$ , $B = (3, 0)$ oraz $C = (3, 1)$ .
Ponieważ $tg (∠ C O B) = \frac{1}{3}$ , więc jego przeciwprostokątna $O C$ leży na prostej o równaniu $y = \frac{1}{3} x$ .

RLAXxcaHmA6aR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=13x. Prosta przechodzi przez punkt O o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i punkt C o współrzędnych nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Z punktu C poprowadzono odcinek do punktu B o współrzędnych nawias trzy średnik zero zamkniecie nawiasu. Punkty O C oraz B wyznaczają trójkąt.

Obróćmy ten trójkąt o $90 °$ wokół punktu $O$ , w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Otrzymamy trójkąt $O B' C'$ jak na rysunku poniżej.

R1DE9IvuI8IeX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste, pierwsza z nich o równaniu y=13x. Prosta przechodzi przez punkt O o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i punkt C o współrzędnych nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Z punktu C poprowadzono odcinek do punktu B o współrzędnych nawias trzy średnik zero zamkniecie nawiasu. Punkty O C oraz B wyznaczają trójkąt. Druga ma równanie y=-3x i również przechodzi przez punkt O, przechodzi ona również przez punkt C' o współrzędnych nawias minus jeden średnik trzy zamkniecie nawiasu. Z punktu C' poprowadzono odcinek do punktu B' , którego współrzędne to nawias zero średnik trzy zamkniecie nawiasu. Punkty O C' oraz B' również tworzą trójkąt. Od trójkąta O C B do trójkąta O C' B' poprowadzono strzałkę.

Zauważmy, że ponieważ prosta $O C'$ przechodzi przez punkt $O = (0, 0)$ , więc jej równanie można zapisać w postaci $y = a x$ .
Ponadto rozważana prosta przechodzi przez punkt $C' = (- 1, 3)$ , a to oznacza, że $a \cdot (- 1) = 3$ , skąd $a = - 3$ .

Ponieważ proste $O C$ i $O C'$ są prostopadłe, więc prosta prostopadła do prostej $y = \frac{1}{3} x$ i przechodząca przez punkt $(0, 0)$ ma równanie $y = - 3 x$ .

Wynik z powyższego przykładu można uogólnić.

prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkt

(0, 0)

Twierdzenie: prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkt

(0, 0)

Prosta prostopadła do prostej o równaniu $y = a x$ ma równanie:
$y = - \frac{1}{a} x$ .

Dowód

Załóżmy, że proste $y = a_{1} x$ oraz $y = a_{2} x$ są prostopadłe. Przy oznaczeniach z rysunku poniżej mamy równości: $a_{1} = tg α$ oraz $a_{2} = tg β$ .

RAwfcYeJizm7p

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste, pierwsza z nich o równaniu y=a1x, kąt ostry pomiędzy tą prostą a osią x podpisano literą alfa, prosta ta przechodzi przez punkty nawias zero średnik zero zamkniecie nawiasu i nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Druga ukośna prosta ma równanie y=a2x, kąt ostry pomiędzy osią x a tą prostą podpisano 90°-α, prosta ta przechodzi przez punkty nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kąt rozwarty pomiędzy osią x a tą prostą podpisano literą beta.

Zatem, korzystając z zależności trygonometrycznych, otrzymujemy: $tg β = tg (180 ° - (90 ° - α)) = tg (180 ° - 90 ° + α) = - tg (90 ° - α) =$ $= - \frac{1}{tg α} = - \frac{1}{a_{1}}$ .

Przykład 3

Napiszemy równanie prostej przechodzącej przez punkt $O = (0, 0)$ i prostopadłej do prostej o równaniu $y = \frac{2}{5} x$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczbą przeciwną do odwrotności liczby $\frac{2}{5}$ jest liczba $- \frac{5}{2}$ , więc z powyższego twierdzenia wynika, że szukana prosta ma równanie $y = - \frac{5}{2} x$ .

Podamy teraz warunek, jaki muszą spełniać współczynniki kierunkowe dwóch prostych prostopadłych.

proste prostopadłe

Twierdzenie: proste prostopadłe

Proste $y = a x + b$ oraz $y = c x + d$ , gdzie $a \neq 0$ i $c \neq 0$ , są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
$a \cdot c = - 1$ .

Dowód

Na podstawie udowodnionego powyżej twierdzenia wiemy, że proste o równaniach $y = a x$ oraz $y = c x$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $c = - \frac{1}{a}$ .

Ponieważ:

dla dowolnej liczby rzeczywistej $b$ prosta o równaniu $y = a x$ jest równoległa do prostej o równaniu $y = a x + b$ ,
dla dowolnej liczby rzeczywistej $d$ prosta o równaniu $y = c x$ jest równoległa do prostej o równaniu $y = c x + d$ ,

więc proste o równaniach $y = a x + b$ oraz $y = c x + d$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $c = - \frac{1}{a}$ .
Wynika stąd, że $a \cdot c = - 1$ .
Koniec dowodu.

Przykład 4

Z powyższego twierdzenia wynika, że:

proste o równaniach $y = \frac{1}{5} x + 11$ oraz $y = - 5 x + 2$ są prostopadłe;
w tym celu wystarczy sprawdzić, że $\frac{1}{5} \cdot (- 5) = \frac{- 5}{5} = - 1$ ,
proste o równaniach $y = 2, 5 x - 3, 8$ oraz $y = - \frac{3}{7} x + \frac{8}{3}$ nie są prostopadłe;
w tym celu wystarczy sprawdzić, że $- \frac{3}{7} \cdot 2, 5 = - \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{2} = - \frac{15}{14} \neq - 1$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wartości współczynnika $m$ , dla których proste o równaniach
$y = \frac{3 - m}{8} x + (5 m - 11)$ oraz $y = \frac{m + 3}{2} x + 1$
są prostopadłe.

Z twierdzenia o prostych prostopadłych wynika, że iloczyn współczynników kierunkowych danych prostych musi być równy $- 1$ . Odczytujemy więc współczynniki kierunkowe podanych prostych i zapisujemy równanie
$\frac{3 - m}{8} \cdot \frac{m + 3}{2} = - 1$ ,
które po przekształceniach równoważnych zapisujemy kolejno:
$- (m - 3) \cdot (m + 3) = - 1 \cdot 2 \cdot 8$
$(m - 3) \cdot (m + 3) = 16$
$m^{2} - 9 = 16$
$m^{2} - 25 = 0$
$(m - 5) \cdot (m + 5) = 0$ .

Stąd:

$m = 5$ (wtedy dane proste mają równania $y = - \frac{1}{4} x + 14$ oraz $y = 4 x + 1$ ),
$m = - 5$ (wtedy dane proste mają równania $y = x - 36$ oraz $y = - x + 1$ ).

Słownik

prosta prostopadła

prostą $a$ nazywamy prostopadłą do prostej $b$ , jeżeli prosta $b$ jest osią symetrii prostej $a$ i jest od niej różna

współczynnik kierunkowy

współczynnik kierunkowy funkcji liniowej, to tangens kąta nachylenia prostej będącej wykresem tej funkcji do osi $X$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik