Rozważmy graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość $a$. Obliczymy powierzchnię całkowitą i objętość walca opisanego na tym graniastosłupie.

Rozwiązanie:

Ponieważ wszystkie krawędzie graniastosłupa są tej samej długości, to oznacza, że promień podstawy walca i jego wysokość również są równe $a$.

A zatem $V=\pi ·a^2·a=\pi a^3$ oraz $P_c=2\pi a^2+2\pi a·a=4\pi a^2$.

Objętość walca jest równa $24\pi$. Wysokość walca jest $3$ razy większa od promienia jego podstawy. Obliczymy objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w ten walec.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $R$ promień podstawy walca. Stąd $H=3R$. Korzystając z informacji o objętości walca otrzymujemy równanie:

$\pi R^2·3R=24\pi$

$R^3=8$

$R=2$

Stąd $H=6$.

Z zależności między bokiem trójkąta równobocznego, a promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, otrzymujemy równanie

$\frac{a\sqrt{3}}{3}=2$,

$a=2\sqrt{3}$.

Stąd $V=\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}·6=18\sqrt{3}$.

Przekątna przekroju osiowego walca, równa $20$, nachylona jest do płaszczyzny podstawy walca pod kątem $60°$. Obliczymy objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wpisanego w ten walec.

Rozwiązanie:

W rozwiązaniu posłużymy się przekrojem osiowym walca, który jest prostokątem o bokach $H$ i $2R$.

RUWpTqnMCRqKl

Na ilustracji przedstawiono pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano prostokąt, którego dłuższy bok oznaczono wielką literą H, natomiast krótszy oznaczono $2R$. Zaznaczono przekątną o długości 20, która jest nachylona do krótszego boku pod kątem 60 stopni oraz do dłuższego boku pod kątem 30 stopni.

Z własności trójkąta o kątach $30°$, , mamy $2R=10$, czyli $R=5$ oraz $H=10\sqrt{3}$.

Średnica podstawy walca jest przekątną podstawy graniastosłupa, czyli kwadratu, czyli $d=10$.

Otrzymujemy $V=\frac{d^2}{2}·H=50·10\sqrt{3}=500\sqrt{3}$.

Podstawą graniastosłupa prostegograniastosłup prostygraniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o bokach $13$, $13$ i $10$. Wysokość tego graniastosłupa jest równa $8$. Obliczymy długość promienia walca opisanego na tym graniastosłupie.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy, że podstawą tego graniastosłupa jest trójkąt $ABC$, jak na rysunku.

RTqQCXSvq4g2M

Na ilustracji przedstawiono pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt równoramienny A B C, o ramionach długości równej 13 oraz podstawie równej dziesięć. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do podstawy, której spodek leży w punkcie D w połowie długości podstawy.

Obliczymy promień okręgu opisanego na tym trójkącie korzystając ze wzoru $R=\frac{\left|AB\right|·\left|BC\right|·\left|AC\right|}{4P_{ABC}}$.

A zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BDC$ mamy:

${\left|CD\right|}^2+{\left|BD\right|}^2={\left|BC\right|}^2$

${\left|CD\right|}^2+5^2={13}^2$

${\left|CD\right|}^2=144$

$\left|CD\right|=12$

Stąd $P_{ABC}=\frac{1}{2}·10·12=60$.

Otrzymujemy $R=\frac{\left|AB\right|·\left|BC\right|·\left|AC\right|}{4P_{ABC}}=\frac{13·13·10}{4·60}=\frac{169}{24}$.

Z walca o wysokości $12$ i promieniu podstawy $5$ wycięto prostopadłościan, którego krawędzie podstawy różnią się o $2$. Obliczymy objętość prostopadłościanu.

Rozwiązanie:

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

RKIF5rHWpNIZt

Na ilustracji przedstawiono pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, w który wpisano prostokąt A B C D o bokach długości x oraz $x+2$. Zaznaczono przekątną A C o długości dziesięć.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:

$x^2+{\left(x+2\right)}^2={10}^2$

$2x^2+4x-96=0$

Dodatnim rozwiązaniem tego równania jest $x=6$. Stąd $x+2=8$.

Zauważmy, że wysokość prostopadłościanu jest taka sama jak wysokość walca. Zatem objętość prostopadłościanu jest równa:

$V=x·\left(x+2\right)·12=6·8·12=576$.

graniastosłup prosty, którego postawami są wielokąty foremne

graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami