Przeczytaj
Funkcję określoną na zbiorze wzorem , gdzie oraz nazywamy funkcją kwadratową.
Zajmiemy się wykresem oraz własnościami funkcji kwadratowejfunkcji kwadratowej, gdy jest określona za pomocą wzoru , gdzie oraz .
Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. W paraboliparaboli możemy wyróżnić wierzchołek oraz ramiona.
Określimy własności funkcji kwadratowej określonej wzorem , gdzie oraz , jeżeli:
,
.
Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem , gdzie , dla
Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami oraz .
W tym celu, w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.
Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych.
Na podstawie wykresów funkcji i określimy własności tych funkcji:
Własności funkcji | Własności funkcji |
---|---|
dziedzina: | dziedzina: |
zbiór wartości: | zbiór wartości: |
funkcja jest malejąca w przedziale | funkcja jest malejąca w przedziale |
funkcja jest rosnąca w przedziale | funkcja jest rosnąca w przedziale |
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą dla | funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą dla |
Własności wykresu funkcji | Własności wykresu funkcji |
---|---|
ramiona paraboli są skierowane do góry | ramiona paraboli są skierowane do góry |
oś symetrii: | oś symetrii: |
wierzchołek: | wierzchołek: |
Niezależnie od wyboru wartości współczynnika , gdy , dla funkcji kwadratowych określonych wzorami oraz zachodzą następujące własności:
Własności funkcji | Własności funkcji |
---|---|
dziedzina: | dziedzina: |
zbiór wartości: | zbiór wartości: |
funkcja jest malejąca w przedziale | funkcja jest malejąca w przedziale |
funkcja jest rosnąca w przedziale | funkcja jest rosnąca w przedziale |
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą dla | funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą dla |
Własności wykresu funkcji | Własności wykresu funkcji |
---|---|
ramiona paraboli są skierowane do góry | ramiona paraboli są skierowane do góry |
oś symetrii: | oś symetrii: |
wierzchołek: | wierzchołek: |
Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem , gdzie , dla
Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami oraz
W tym celu, w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.
Argumenty i własności funkcji | |||||
---|---|---|---|---|---|
Argumenty i własności funkcji | |||||
---|---|---|---|---|---|
Wykresy tych funkcji przedstawimy w jednym układzie współrzędnych.
Na podstawie wykresów funkcji i określimy własności tych funkcji:
Własności funkcji | Własności funkcji |
---|---|
dziedzina: | dziedzina: |
zbiór wartości: | zbiór wartości: |
funkcja jest rosnąca w przedziale | funkcja jest rosnąca w przedziale |
funkcja jest malejąca w przedziale | funkcja jest malejąca w przedziale |
funkcja przyjmuje wartość największą równą dla | funkcja przyjmuje wartość największą równą dla |
Własności wykresu funkcji | Własności wykresu funkcji |
---|---|
ramiona paraboli są skierowane do dołu | ramiona paraboli są skierowane do dołu |
oś symetrii: | oś symetrii: |
wierzchołek: | wierzchołek: |
Niezależnie od wyboru wartości współczynnika , gdy , dla funkcji kwadratowych określonych wzorami oraz zachodzą następujące własności:
Własności funkcji | Własności funkcji |
---|---|
dziedzina: | dziedzina: |
zbiór wartości: | zbiór wartości: |
funkcja jest rosnąca w przedziale | funkcja jest rosnąca w przedziale |
funkcja jest malejąca w przedziale | funkcja jest malejąca w przedziale |
funkcja przyjmuje wartość największą równą dla | funkcja przyjmuje wartość największą równą dla |
Własności wykresu funkcji | Własności wykresu funkcji |
---|---|
ramiona paraboli są skierowane do dołu | ramiona paraboli są skierowane do dołu |
oś symetrii: | oś symetrii: |
wierzchołek: | wierzchołek: |
Wniosek:
Jeżeli w wyniku przekształcenia funkcji określonej wzorem otrzymamy funkcję określoną wzorem , gdzie oraz , to dla funkcji otrzymujemy:
inne współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,
inną oś symetrii wykresu funkcji,
inne przedziały monotoniczności funkcji,
inny argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość najmniejszą lub największą.
W celu otrzymania wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem z wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem wystarczy wykres funkcji przesunąć o wektor o współrzędnych .
Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem . Wyznaczymy:
a) oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji ,
b) przedziały monotoniczności funkcji .
Rozwiązanie:
a) Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu .
b) Ponieważ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji , są skierowane do góry.
Zatem funkcja jest:
malejąca w przedziale ,
rosnąca w przedziale .
Mając dany wykres funkcji kwadratowej, możemy wyznaczyć jej wzór.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem . Wyznaczymy wzór tej funkcji.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że prosta o równaniu jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji , zatem .
Wzór funkcji możemy zapisać w postaci .
Z wykresu funkcji odczytujemy, że należy do niego punkt o współrzędnych .
Zatem do wyznaczenia wartości współczynnika rozwiązujemy równanie:
, więc .
Wzór funkcji przedstawionej na rysunku jest postaci .
Jeżeli mamy dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji kwadratowej oraz przedziały monotoniczności lub równanie osi symetrii jej wykresu, wówczas możemy wyznaczyć wzór tej funkcji.
Do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem należy punkt o współrzędnych . Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiemy, że funkcja jest malejąca w przedziale .
Rozwiązanie:
Ponieważ funkcja jest malejąca w przedziale , zatem .
W związku z tym, wzór funkcji zapisujemy w postaci .
Ponieważ punkt o współrzędnych należy do wykresu funkcji , zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
.
Zatem .
Wzór funkcji zapisujemy w postaci .
Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem .
Wyznaczymy:
a) równanie osi symetrii wykresu funkcji ,
b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,
c) przedziały monotoniczności funkcji .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że wzór funkcji możemy zapisać w nastepującej postaci:
.
a) Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu .
b) Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji ma współrzedne .
c) Ponieważ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji są skierowane do góry.
Funkcja jest:
malejąca w przedziale ,
rosnąca w przedziale .
Wiadomo, że wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej o wektor , gdzie . Wyznaczymy wartość parametru .
Rozwiązanie:
Ponieważ , zatem wykres funkcji otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji o wektor .
Dwa wektory są równe, jeżeli mają ten sam kierunek, zwrot i wartość zatem do wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:
Wobec tego .
Słownik
funkcja określona na zbiorze wzorem , gdzie ,
wykres funkcji kwadratowej