Przeczytaj

funkcja kwadratowa

Definicja: funkcja kwadratowa

Funkcję określoną na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ nazywamy funkcją kwadratową.

Zajmiemy się wykresem oraz własnościami funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej, gdy jest określona za pomocą wzoru $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ .

Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. W paraboliparabolaparaboli możemy wyróżnić wierzchołek oraz ramiona.

Określimy własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ , jeżeli:

$a > 0$ ,
$a < 0$ .

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ , dla $a > 0$

Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

W tym celu, w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych.

RE4KwLpMpwubN

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f, oraz czerwony wykres funkcji g. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie 0;0, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty -2;4 oraz 2;4. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o dwie jednostki w prawo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji g jest punkt 2;0. Funkcja przebiega przez punkty 4;0, oraz 3;0.

Na podstawie wykresów funkcji $f$ i $g$ określimy własności tych funkcji:

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in ⟨0, \infty)$	zbiór wartości: $y \in ⟨0, \infty)$
funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 2⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨2, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = 2$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do góry	ramiona paraboli są skierowane do góry
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = 2$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(2, 0)$

Niezależnie od wyboru wartości współczynnika $a$ , gdy $a > 0$ , dla funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = a x^{2}$ oraz $g (x) = a {(x - p)}^{2}$ zachodzą następujące własności:

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in ⟨0, \infty)$	zbiór wartości: $y \in ⟨0, \infty)$
funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, p⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨p, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = p$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do góry	ramiona paraboli są skierowane do góry
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = p$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(p, 0)$

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ , dla $a < 0$

Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = - x^{2}$ oraz $g (x) = - {(x + 1)}^{2}$

W tym celu, w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

Argumenty i własności funkcji $f$
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$

Argumenty i własności funkcji $g$
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$g (x)$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$

Wykresy tych funkcji przedstawimy w jednym układzie współrzędnych.

R2wKpnSoDODDH

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus pięć do jeden. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f, oraz czerwony wykres funkcji g. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie 0;0, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty -2;-4 oraz 2;-4. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o jedną jednostkę w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji g jest punkt -1;0. Funkcja przebiega przez punkty -2;-1, oraz 1;-1.

Na podstawie wykresów funkcji $f$ i $g$ określimy własności tych funkcji:

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in (- \infty, 0⟩$	zbiór wartości: $y \in (- \infty, 0⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, - 1⟩$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest malejąca w przedziale $⟨- 1, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$ dla $x = - 1$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do dołu	ramiona paraboli są skierowane do dołu
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = - 1$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(- 1, 0)$

Niezależnie od wyboru wartości współczynnika $a$ , gdy $a < 0$ , dla funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = a x^{2}$ oraz $g (x) = a {(x - p)}^{2}$ zachodzą następujące własności:

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in (- \infty, 0⟩$	zbiór wartości: $y \in (- \infty, 0⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, p⟩$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest malejąca w przedziale $⟨p, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$ dla $x = p$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do dołu	ramiona paraboli są skierowane do dołu
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = p$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(p, 0)$

Wniosek:

Jeżeli w wyniku przekształcenia funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ otrzymamy funkcję $g$ określoną wzorem $g (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ , to dla funkcji $g$ otrzymujemy:

inne współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,
inną oś symetrii wykresu funkcji,
inne przedziały monotoniczności funkcji,
inny argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość najmniejszą lub największą.

W celu otrzymania wykresu funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g (x) = a {(x - p)}^{2}$ z wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ wystarczy wykres funkcji $f$ przesunąć o wektor o współrzędnych $[p, 0]$ .

Przykład 1

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = 2 {(x + 4)}^{2}$ . Wyznaczymy:

a) oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ,

b) przedziały monotoniczności funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru funkcji $f$ możemy odczytać, że $p = - 4$ , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x = - 4$ .

b) Ponieważ $a = 2$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ , są skierowane do góry.

Zatem funkcja $f$ jest:

malejąca w przedziale $(- \infty, - 4⟩$ ,
rosnąca w przedziale $⟨- 4, \infty)$ .

Mając dany wykres funkcji kwadratowej, możemy wyznaczyć jej wzór.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1ZncrwWWJREp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie 4;0, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty 3;-3 oraz 5;-3.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że prosta o równaniu $x = 4$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , zatem $p = 4$ .

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f (x) = a {(x - 4)}^{2}$ .

Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że należy do niego punkt o współrzędnych $(3, - 3)$ .

Zatem do wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 3 = a \cdot {(3 - 4)}^{2}$ , więc $a = - 3$ .

Wzór funkcji $f$ przedstawionej na rysunku jest postaci $f (x) = - 3 {(x - 4)}^{2}$ .

Jeżeli mamy dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji kwadratowej oraz przedziały monotoniczności lub równanie osi symetrii jej wykresu, wówczas możemy wyznaczyć wzór tej funkcji.

Przykład 3

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ należy punkt o współrzędnych $(1, - 3)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiemy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨- 2, \infty)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨- 2, \infty)$ , zatem $p = - 2$ .

W związku z tym, wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = a {(x + 2)}^{2}$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(1, - 3)$ należy do wykresu funkcji $f$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 3 = a \cdot {(1 + 2)}^{2}$ .

Zatem $a = - \frac{1}{3}$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = - \frac{1}{3} {(x + 2)}^{2}$ .

Przykład 4

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{9}{2}$ .

Wyznaczymy:

a) równanie osi symetrii wykresu funkcji $f$ ,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,

c) przedziały monotoniczności funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ możemy zapisać w nastepującej postaci:

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{9}{2} = \frac{1}{2} (x^{2} - 6 x + 9) = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2}$ .

a) Ze wzoru funkcji $f$ możemy odczytać, że $p = 3$ , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 3$ .

b) Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ma współrzedne $(3, 0)$ .

c) Ponieważ $a = \frac{1}{2}$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ są skierowane do góry.

Funkcja $f$ jest:

malejąca w przedziale $(- \infty, 3⟩$ ,
rosnąca w przedziale $⟨3, \infty)$ .

Przykład 5

Wiadomo, że wykres funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g (x) = f (x - 1)$ otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej $f$ o wektor $\vec{u} = [m^{2} - m, 0]$ , gdzie $m \in ℝ$ . Wyznaczymy wartość parametru $m$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $g (x) = f (x - 1)$ , zatem wykres funkcji $g$ otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\vec{u} = [1, 0]$ .

Dwa wektory są równe, jeżeli mają ten sam kierunek, zwrot i wartość zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$m^{2} - m = 1$

$m^{2} - m - 1 = 0$

$m_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$m_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Wobec tego $m \in \{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$ .

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$

parabola

wykres funkcji kwadratowej

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ , dla $a > 0$

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ , dla $a < 0$

Słownik

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Przeczytaj

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem fx=ax-p2, gdzie a,p∈ℝ, dla a>0

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem fx=ax-p2, gdzie a,p∈ℝ, dla a<0

Słownik

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ , dla $a > 0$

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2}$ , gdzie $a, p \in ℝ$ , dla $a < 0$