Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń

Przekształcając wzór PA/B=PABPB na prawdopodobieństwo warunkowe dwóch zdarzeń A, B takich, że PB>0 otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń PAB=PB·PA/B.

Jeśli PA>0 to możemy również zapisać PAB=PA·PB/A.

Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń

Niech AΩ, BΩ. Wtedy:

PAB=PB·PA/B, jeśli PB>0

PAB=PA·PB/A, jeśli PA>0

Przykład 1

Z talii 52 kart wyciągamy kolejno dwie karty bez zwracania. Obliczymy prawdopodobieństwo, że obie wylosowane karty będą asami.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że pierwsza wylosowana karta będzie asem,
B – zdarzenie polegające na tym, że druga wylosowana karta będzie asem.

Wtedy AB to zdarzenie polegające na tym, że pierwsza i druga wylosowana karta będą asami.

W talii złożonej z 52 kart są cztery asy, zatem:

PA=452

Po wylosowaniu asa, w talii zostało tylko 51 kart, w tym trzy asy, stąd:

PB/A=351

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B jest równe:

PAB=452·351=1221

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów w kolejnych losowaniach jest równe 1221.

Przykład 2

Łucznik trafia w tarczę z prawdopodobieństwem 0,4, przy czym jest 60% szansy na to, że jeśli trafi w tarczę, to trafi w środek tarczy. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w środek tarczy.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że strzelec trafi w środek tarczy,
B – zdarzenie polegające na tym, że strzelec trafi w tarczę.

PB=0,4

PA/B=0,6

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy:

PAB=0,4·0,6=0,24

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że strzelec trafi w środek tarczy jest równe 0,24.

Zdarzenia niezależne

Zawodnicy A i B rzucają piłkami do kosza. Wynik rzutu zawodnika A nie zależy od wyniku rzutu zawodnika B i odwrotnie. Rezultaty rzutów są od siebie niezależne.

Jeżeli AΩ, BΩ i zajście zdarzenia A nie zależy od zajścia zdarzenia B, to o takich zdarzeniach mówimy, że są niezależne.

Wówczas PA=PA/B=PABPB, czyli PAB=PA·PB.

Zdarzenia losowe niezależne
Definicja: Zdarzenia losowe niezależne

Zdarzenia AΩ, BΩ nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

PAB=PA·PB

Z powyższej definicji wynika, że aby sprawdzić, czy dane zdarzenia AB są niezależne, wystarczy sprawdzić, czy zachodzi równość PAB=PA·PB.

Przykład 3

Spośród liczb naturalnych od 1 do 50 losujemy jedną liczbę.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 8,
B – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 10.

Zauważmy, że liczba 40 jest podzielna zarówno przez 8, jak i przez 10, więc przypuszczamy, że zdarzenia A i B nie są niezależne.

Sprawdzimy nasze przypuszczenia, obliczając prawdopodobieństwa odpowiednich iloczynów.

Zdarzeniu A sprzyjają liczby:

8, 16, 24, 32, 40, 48.

Zatem: PA=650.

Zdarzeniu B sprzyjają liczby:

10, 20, 30, 40, 50.

Zatem: PB=550.

Zdarzeniu AB sprzyja liczba 40.

Zatem: PAB=150.

Wtedy:

PA·PB=650·550=302500150

Czyli: PA·PBPAB

Zdarzenia A i B nie są niezależne. O takich zdarzeniach mówimy, że są zależne.

Przykład 4

W koszyku jest 10 grzybów, w tym 6 dobrych i 4 robaczywe. Z koszyka wypadły dwa grzyby. Sprawdzimy, czy niezależne są zdarzenia:

A – wypadł co najwyżej jeden grzyb dobry,
B – wypadł co najwyżej jeden grzyb robaczywy.

Z koszyka wypadły dwa grzyby spośród dziesięciu, które znajdowały się w koszyku.

Ω=102=45

Zdarzeniu A sprzyja wypadnięcie dwóch grzybów robaczywych lub jednego dobrego i jednego robaczywego.

A=42+61·41=6+24=30

Zdarzeniu B sprzyja wypadnięcie dwóch dobrych grzybów lub wypadnięcie jednego grzyba dobrego i jednego robaczywego.

B=62+61·41=15+24=39

Zdarzeniu AB sprzyja wypadnięcie jednego grzyba dobrego i jednego robaczywego.

AB=61·41=24

Wynika z tego, że PA·PB=3045·3945PAB=2445.

Czyli: PA·PBPAB.

Zdarzenia A i B są zależne.

Korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego, definicję zdarzeń niezależnych można określić nieco inaczej.

Dwa zdarzenia losowe niezależne
Definicja: Dwa zdarzenia losowe niezależne
  • Niech AΩ, BΩPB>0. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, gdy PA/B=PA.

  • Niech AΩ, BΩPA>0. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, gdy PB/A=PB.

Przykład 5

Na przystanku Zakładowa – Fabryczna stają dwa miejskie autobusy – autobus linii 64 i autobus linii 75. Autobusy te jeżdżą niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie autobus linii 64 jest równe 0,6. Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie autobus linii 75 jest równe 0,3. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie co najmniej jeden z tych autobusów.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że nadjedzie co najmniej jeden autobus,
B – zdarzenie polegające na tym, że nie nadjedzie żaden autobus.

Najpierw obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B.

Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nie nadjedzie autobus linii 64 jest równe 1-0,6=0,4.

Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nie nadjedzie autobus linii 75 jest równe 1-0,3=0,7.

Zatem: PB=0,4·0,7=0,28.

Zauważmy, że zdarzenia A i B są zdarzeniami przeciwnymi.

Czyli:

PA=1-PB

PA=1-0,28=0,72

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie co najmniej jeden z autobusów jest równe 0,72.

Przykład 6

Zdarzenia AΩ, BΩ są niezależne i PA=13PB=35. Obliczymy PAB.

Przekształcamy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń, uwzględniając równość

PAB=PA·PB

PAB=PA+PB-PAB=PA+PB-PA·PB

PAB=13+35-13·35=1115

Podamy teraz ważne twierdzenie, określające niektóre własności zdarzeń niezależnych. Udowodnimy jedną z podanych równości. Pozostałe równości pozostawiamy Tobie do udowodnienia.

Zdarzenia A i B są niezależne
Twierdzenie: Zdarzenia A i B są niezależne

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to również niezależne są zdarzenia:

A i B'

A'B

A'B'

Dowód

Udowodnimy ostatni z tych związków. Mamy wykazać, że:

P(AB)=P(A)P(B)

Skorzystamy ze wzorów de Morgana i ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

P(AB)=P[(AB)]=1[P(A)+P(B)P(AB)]
PA'B'=1-PA-PB+PAB
PA'B'=1-PA-PB+PA·PB
PA'B'=1-PA·1-PB=PA'·PB'
Przykład 7

Dwaj strzelcy strzelają do tej samej tarczy. Prawdopodobieństwo, że pierwszy trafi w tarczę jest równe 0,7, a prawdopodobieństwo, że drugi trafi w tarczę jest równe 0,6. Prawdopodobieństwa trafienia w tarczę przez każdego ze strzelców są zdarzeniami niezależnymizdarzenia losowe niezależnezdarzeniami niezależnymi.

Obliczymy prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie raz trafiona.

Oznaczmy:
A – pierwszy strzelec trafi w tarczę,
B – drugi strzelec trafi w tarczę,
C – tarcza zostanie trafiona dokładnie raz.

Zdarzenie C zajdzie, gdy pierwszy strzelec trafi, a drugi nie trafi lub odwrotnie – pierwszy strzelec spudłuje, a drugi trafi.

Na podstawie powyższego twierdzenia wnioskujemy, że zdarzenia A i B' oraz A'B są niezależne.

Zatem:

PC=0,7·1-0,6+1-0,7·0,6=0,46

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie trafiona dokładnie raz jest równe 0,46.

Pojęcie niezależności dwóch zdarzeń losowych można uogólnić na dowolną skończoną ich liczbę. My ograniczymy się tylko do trójki zdarzeń losowych.

Trzy zdarzenia losowe niezależne
Definicja: Trzy zdarzenia losowe niezależne

Dane są zdarzenia AΩ, BΩ, CΩ. Zdarzenia A, BC nazywamy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli zdarzenia A i B, A i C, B i C są niezależne i PABC=PA·PB·PC.

Zatem trzy zdarzenia są niezależne (lub stanowią niezależny układ zdarzeń), jeśli:

PAB=PA·PB i
PBC=PB·PC i
PAC=PA·PC i
PABC=PA·PB·PC.

Przykład 8

Rzucamy jednocześnie trzema monetami. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że na każdej monecie wypadnie orzeł.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że na pierwszej monecie wypadł orzeł,
B – zdarzenie polegające na tym, że na drugiej monecie wypadł orzeł,
C – zdarzenie polegające na tym, że na trzeciej monecie wypadł orzeł.

Wtedy:

ABC – zdarzenie polegające na tym, że na każdej monecie wypadł orzeł.

Zdarzenia A, B, C są wzajemnie niezależne i PA=PB=PC=0,5.

Zatem:

PABC=PA·PB·PC

PABC=0,5·0,5·0,5=0,125

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że na każdej monecie wypadnie orzeł jest równe 0,125.

Słownik

zdarzenia losowe niezależne
zdarzenia losowe niezależne

zdarzenia AΩ, BΩ nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

PAB=PA·PB