Przeczytaj
Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń
Przekształcając wzór na prawdopodobieństwo warunkowe dwóch zdarzeń , takich, że otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń .
Jeśli to możemy również zapisać .
Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń
Niech , . Wtedy:
, jeśli
, jeśli
Z talii kart wyciągamy kolejno dwie karty bez zwracania. Obliczymy prawdopodobieństwo, że obie wylosowane karty będą asami.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że pierwsza wylosowana karta będzie asem,
– zdarzenie polegające na tym, że druga wylosowana karta będzie asem.
Wtedy to zdarzenie polegające na tym, że pierwsza i druga wylosowana karta będą asami.
W talii złożonej z kart są cztery asy, zatem:
Po wylosowaniu asa, w talii zostało tylko kart, w tym trzy asy, stąd:
Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń i jest równe:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów w kolejnych losowaniach jest równe .
Łucznik trafia w tarczę z prawdopodobieństwem , przy czym jest szansy na to, że jeśli trafi w tarczę, to trafi w środek tarczy. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w środek tarczy.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że strzelec trafi w środek tarczy,
– zdarzenie polegające na tym, że strzelec trafi w tarczę.
Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że strzelec trafi w środek tarczy jest równe .
Zdarzenia niezależne
Zawodnicy i rzucają piłkami do kosza. Wynik rzutu zawodnika nie zależy od wyniku rzutu zawodnika i odwrotnie. Rezultaty rzutów są od siebie niezależne.
Jeżeli , i zajście zdarzenia nie zależy od zajścia zdarzenia , to o takich zdarzeniach mówimy, że są niezależne.
Wówczas , czyli .
Zdarzenia , nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
Z powyższej definicji wynika, że aby sprawdzić, czy dane zdarzenia i są niezależne, wystarczy sprawdzić, czy zachodzi równość .
Spośród liczb naturalnych od do losujemy jedną liczbę.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez ,
– zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez .
Zauważmy, że liczba jest podzielna zarówno przez , jak i przez , więc przypuszczamy, że zdarzenia i nie są niezależne.
Sprawdzimy nasze przypuszczenia, obliczając prawdopodobieństwa odpowiednich iloczynów.
Zdarzeniu sprzyjają liczby:
, , , , , .
Zatem: .
Zdarzeniu sprzyjają liczby:
, , , , .
Zatem: .
Zdarzeniu sprzyja liczba .
Zatem: .
Wtedy:
Czyli:
Zdarzenia i nie są niezależne. O takich zdarzeniach mówimy, że są zależne.
W koszyku jest grzybów, w tym dobrych i robaczywe. Z koszyka wypadły dwa grzyby. Sprawdzimy, czy niezależne są zdarzenia:
– wypadł co najwyżej jeden grzyb dobry,
– wypadł co najwyżej jeden grzyb robaczywy.
Z koszyka wypadły dwa grzyby spośród dziesięciu, które znajdowały się w koszyku.
Zdarzeniu sprzyja wypadnięcie dwóch grzybów robaczywych lub jednego dobrego i jednego robaczywego.
Zdarzeniu sprzyja wypadnięcie dwóch dobrych grzybów lub wypadnięcie jednego grzyba dobrego i jednego robaczywego.
Zdarzeniu sprzyja wypadnięcie jednego grzyba dobrego i jednego robaczywego.
Wynika z tego, że i .
Czyli: .
Zdarzenia i są zależne.
Korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego, definicję zdarzeń niezależnych można określić nieco inaczej.
Niech , i . Zdarzenia i nazywamy niezależnymi, gdy .
Niech , i . Zdarzenia i nazywamy niezależnymi, gdy .
Na przystanku Zakładowa – Fabryczna stają dwa miejskie autobusy – autobus linii i autobus linii . Autobusy te jeżdżą niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie autobus linii jest równe . Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie autobus linii jest równe . Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie co najmniej jeden z tych autobusów.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że nadjedzie co najmniej jeden autobus,
– zdarzenie polegające na tym, że nie nadjedzie żaden autobus.
Najpierw obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia .
Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nie nadjedzie autobus linii jest równe .
Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nie nadjedzie autobus linii jest równe .
Zatem: .
Zauważmy, że zdarzenia i są zdarzeniami przeciwnymi.
Czyli:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie co najmniej jeden z autobusów jest równe .
Zdarzenia , są niezależne i i . Obliczymy .
Przekształcamy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń, uwzględniając równość
Podamy teraz ważne twierdzenie, określające niektóre własności zdarzeń niezależnych. Udowodnimy jedną z podanych równości. Pozostałe równości pozostawiamy Tobie do udowodnienia.
Jeżeli zdarzenia i są niezależne, to również niezależne są zdarzenia:
i
i
i
Udowodnimy ostatni z tych związków. Mamy wykazać, że:
Skorzystamy ze wzorów de Morgana i ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Dwaj strzelcy strzelają do tej samej tarczy. Prawdopodobieństwo, że pierwszy trafi w tarczę jest równe , a prawdopodobieństwo, że drugi trafi w tarczę jest równe . Prawdopodobieństwa trafienia w tarczę przez każdego ze strzelców są zdarzeniami niezależnymizdarzeniami niezależnymi.
Obliczymy prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie raz trafiona.
Oznaczmy:
– pierwszy strzelec trafi w tarczę,
– drugi strzelec trafi w tarczę,
– tarcza zostanie trafiona dokładnie raz.
Zdarzenie zajdzie, gdy pierwszy strzelec trafi, a drugi nie trafi lub odwrotnie – pierwszy strzelec spudłuje, a drugi trafi.
Na podstawie powyższego twierdzenia wnioskujemy, że zdarzenia i oraz i są niezależne.
Zatem:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie trafiona dokładnie raz jest równe .
Pojęcie niezależności dwóch zdarzeń losowych można uogólnić na dowolną skończoną ich liczbę. My ograniczymy się tylko do trójki zdarzeń losowych.
Dane są zdarzenia , , . Zdarzenia , i nazywamy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli zdarzenia i , i , i są niezależne i .
Zatem trzy zdarzenia są niezależne (lub stanowią niezależny układ zdarzeń), jeśli:
i
i
i
.
Rzucamy jednocześnie trzema monetami. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że na każdej monecie wypadnie orzeł.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że na pierwszej monecie wypadł orzeł,
– zdarzenie polegające na tym, że na drugiej monecie wypadł orzeł,
– zdarzenie polegające na tym, że na trzeciej monecie wypadł orzeł.
Wtedy:
– zdarzenie polegające na tym, że na każdej monecie wypadł orzeł.
Zdarzenia , , są wzajemnie niezależne i .
Zatem:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że na każdej monecie wypadnie orzeł jest równe .
Słownik
zdarzenia , nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy