Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.
rozwiązanie układu równań
Definicja: rozwiązanie układu równań
Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb, która spełnia jednocześnie każde równanie danego układu równań.
Przy czym taki układ równań może mieć skończoną liczbę rozwiązań, może istnieć nieskończenie wiele par liczb, spełniających jednocześnie wszystkie równania układu. Lub układ nie ma rozwiązania.
wykres funkcji liniowej
Definicja: wykres funkcji liniowej
Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu , gdzie .
wykres funkcji kwadratowej
Definicja: wykres funkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa o równaniu , gdzie . Krzywą tę nazywamy parabolą.
Zauważ, że współczynnik a jest w tym przypadku różny od zera.
Przykład 1
Rozwiążemy graficznie układ równań .
Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz .
R165lEy0CgT3z
Prosta i parabolaparabolaparabola przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych oraz .
A zatem rozwiązaniem układu równań
są dwie pary liczb .
Przykład 2
Rozwiążemy graficznie układ równańukład równańukład równań .
Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz .
RUgQAuROqQ45h
Wykresy nie posiadają punktów wspólnych, a zatem układ równań
jest sprzeczny.
Przykład 3
Przedstawimy interpretację graficzną układu równań .
Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz .
ROHOmWFvTtLF8
Wykresy mają jeden punkt wspólny o współrzędnych , a zatem układ równań
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to para liczb .
Możemy zatem zauważyć, że prosta i parabola mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie mieć punktów wspólnych.
Prostą, która przecina parabolę w dwóch punktach, nazywamy sieczną paraboli.
RFchvfaMgS2h1
Prostą, która ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny i nie jest równoległa do osi , nazywamy styczną do paraboli.
Przykład 4
Określimy liczbę rozwiązań układu równań .
Wiemy, że punkt wspólny wykresów należy jednocześnie do paraboli i prostej. Spełniony jest zatem warunek
.
Znajdziemy , dla którego istnieje dokładnie jeden taki punkt. Taka sytuacja ma miejsce wtedy, gdy wyróżnik trójmianu jest równy zero.
A zatem prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą .
Naszkicujemy te wykresy.
RK6EhY1FfDGw8
Proste są równoległe do narysowanej prostej, a w zależności od wartości parametru „przesuwają się” wzdłuż osi . Z własności funkcji liniowej wiemy, że takie proste będą przecinać oś w punkcie .
Zatem dla prosta nie będzie miała punktu wspólnego z parabolą , a dla prosta ma dwa punkty wspólne z parabolą.
Przykład 5
Przedstawimy interpretację graficzną układu równań .
Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji .
R1FO9nKzUWUPP
Wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych odpowiednio oraz , a zatem układ równańukład równańukład równań