Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi jest każda para    liczb, która spełnia jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć skończoną liczbę rozwiązań, może istnieć nieskończenie wiele par liczb, spełniających jednocześnie wszystkie równania układu. Lub układ nie ma rozwiązania.

Wykresem funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b$ jest prosta o równaniu $y=ax+b$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2$ jest krzywa o równaniu $y=a{x}^2$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$. Krzywą tę nazywamy parabolą.

Zauważ, że współczynnik a jest w tym przypadku  różny od zera.

Rozwiążemy graficznie układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x+2\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=x^2$ oraz $y=x+2$.

R165lEy0CgT3z

Ilustracja przedstawia układ równań z osią pionową od minus dwóch do pięciu oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na niej parabolę z ramionami skierowanymi w górę, wierzchołek znajduję się w początku układu współrzędnych. Parabolę przecina prosta w dwóch punktach. Pierwszym $\left(-1;1\right)$ oraz drugim $\left(2;4\right)$.

Prosta i parabolaparabolaparabola przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych $\left(-1,1\right)$ oraz $\left(2,4\right)$.

A zatem rozwiązaniem układu równań
$\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x+2\end{array}\right.$
są dwie pary liczb
$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$.

Rozwiążemy graficznie układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}y=-2x^2\\ y=3x+6\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=-2x^2$ oraz $y=3x+6$.

RUgQAuROqQ45h

Ilustracja przedstawia układ równań z osią pionową od minus 3 do 3 oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na niej parabolę z ramionami skierowanymi w dół, wierzchołek znajduję się w  początku układu współrzędnych. Charakterystyczne punkty paraboli to $\left(-1;-2\right)$ oraz $\left(1;-2\right)$. Na układzie zaznaczono również prostą nie stykającą się z parabolą, prosta przecina oś X w punkcie minus dwa.

Wykresy nie posiadają punktów wspólnych, a zatem układ równań
$\left\{\begin{array}{l}y=-2x^2\\ y=3x+6\end{array}\right.$
jest sprzeczny.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x-1\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=x^2$ oraz $y=2x-1$.

ROHOmWFvTtLF8

Ilustracja przedstawia układ równań z osią pionową od minus dwóch do pięciu oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na niej parabolę z ramionami skierowanymi w górę, wierzchołek znajduję się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono prostą styczną do paraboli w punkcie $\left(1;1\right)$

Wykresy mają jeden punkt wspólny o współrzędnych $\left(1,1\right)$, a zatem układ równań
$\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x-1\end{array}\right.$
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to para liczb
$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$.

Określimy liczbę rozwiązań układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4}{x}^2\\ y=2x+m\end{array}\right.$.

Wiemy, że punkt wspólny wykresów należy jednocześnie do paraboli i prostej. Spełniony jest zatem warunek

$\frac{1}{4}{x}^2=2x+m$.

Znajdziemy $m$, dla którego istnieje dokładnie jeden taki punkt. Taka sytuacja ma miejsce wtedy, gdy wyróżnik trójmianu $\frac{1}{4}{x}^2-2x-m=0$ jest równy zero.

$\mathrm{\Delta }=4-4·\frac{1}{4}·\left(-m\right)$

$4+m=0$

$m=\left(-4\right)$

A zatem prosta $y=2x-4$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą $y=\frac{1}{4}{x}^2$.

Naszkicujemy te wykresy.

RK6EhY1FfDGw8

Ilustracja przedstawia układ równań z osią pionową od minus dwóch do pięciu oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę z wierzchołkiem w początku układu współrzędnych oraz ramionami skierowanymi w górę. Charakterystycznymi punktami paraboli są $\left(-2;1\right)$ oraz $\left(2;1\right)$. Zaznaczono również prostą styczną do paraboli w punkcie $\left(4;4\right)$. Prosta posiada miejsce zerowe w punkcie dwa.

Proste $y=2x+m$ są równoległe do narysowanej prostej, a w zależności od wartości parametru $m$ „przesuwają się” wzdłuż osi $Y$. Z własności funkcji liniowej wiemy, że takie proste będą przecinać oś $Y$ w punkcie $\left(0,m\right)$.

Zatem dla $m<\left(-4\right)$ prosta $y=2x-4$ nie będzie miała punktu wspólnego z parabolą $y=\frac{1}{4}{x}^2$, a dla $m>\left(-4\right)$ prosta ma dwa punkty wspólne z parabolą.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2\\ y=\left|x\right|-4\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=-\frac{1}{2}{x}^2$.

R1FO9nKzUWUPP

Ilustracja przedstawia układ równań z osią pionową od minus pięciu do dwóch oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę mającą wierzchołek w początku układu współrzędnych i  ramionami skierowanymi w dół. Przez parabolę przechodzi prosta przecinająca parabolę w dwóch miejscach. Prosta maleje od nieskończoności przechodząc przez punkt $\left(-4;0\right)$ malejąca do punktu $\left(0;-4\right)$ wykres następnie zamienia się w prostą rosnącą mającą miejsce zerowe w punkcie cztery. Prosta przecina parabolę w punktach $\left(-2;-2\right)$ oraz $\left(2;-2\right)$

Wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych odpowiednio  $\left(-2,-2\right)$ oraz $\left(2,-2\right)$, a  zatem układ równańukład równańukład równań
$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2\\ y=\left|x\right|-4\end{array}\right.$
ma dwa rozwiązania postaci
$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-2\end{array}\right.$
oraz
$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\end{array}\right.$.

koniunkcja co najmniej dwóch równań

wykres funkcji kwadratowej