Przeczytaj

Symbole nieoznaczone

W tym materiale zajmiemy się ciągami, w przypadku których informacja o granicach tych ciągów nie daje możliwości podania granicy ciągu, który powstaje w wyniku działań na tych ciągach.

Zaczniemy od symbolu, który już się pojawił w toku nauki, choć nie został formalnie zaprezentowany. Chodzi o sytuację, gdy mamy do czynienia z różnicą ciągów rozbieżnych do + $\infty$ ciąg rozbieżny do + $\infty$ ciągów rozbieżnych do + $\infty$ .

Symbol nieoznaczony: $\infty - \infty$

Podamy kilka przykładów, gdy w wyniku różnicy ciągów rozbieżnych do $+ \infty$ otrzymujemy: ciąg rozbieżny do $+ \infty$ , ciąg rozbieżny do $- \infty$ ciąg rozbieżny do - $\infty$ ciąg rozbieżny do $- \infty$ , ciąg rozbieżny oraz ciąg zbieżny.

Przykład 1

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_{n} = n^{2}$ i $y_{n} = n$ .

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+ \infty$ , a granicę ich różnicy obliczamy następująco:

$\lim_{n \to \infty} (n^{2} - n) = \lim_{n \to \infty} n^{2} (1 - \frac{1}{n})$

Ponieważ ciąg $\frac{1}{n}$ jest zbieżny do $0$ , zatem ciąg $1 - \frac{1}{n}$ jest zbieżny do $1$ . Stąd otrzymujemy:

$\lim_{n \to \infty} (n^{2} - n) = + \infty$ .

Przykład 2

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_{n} = n$ i $y_{n} = n^{2}$ .

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+ \infty$ , a granicę ich różnicy obliczamy podobnie jak w poprzednim przykładzie:

$\lim_{n \to \infty} (n - n^{2}) = \lim_{n \to \infty} n^{2} (\frac{1}{n} - 1)$

Ponieważ ciąg $\frac{1}{n} - 1$ jest zbieżny do $(- 1)$ , otrzymujemy:

$\lim_{n \to \infty} (n - n^{2}) = - \infty$ .

Przykład 3

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_{n} = n$ i $y_{n} = n + 2$ .

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+ \infty$ , a granicę ich różnicy obliczamy następująco:

$\lim_{n \to \infty} [n - (n + 2)] = - 2$ .

Przykład 4

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_{n} = n$ i $y_{n} = n - {(- 1)}^{n}$ .

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+ \infty$ , a różnica ciągów

$x_{n} - y_{n} = (n - n + {(- 1)}^{n}) = {(- 1)}^{n}$

jest ciągiem rozbieżnym.

Na podstawie powyższych przykładów możemy wyprowadzić pewne użyteczne twierdzenie.

Niech ciąg $(x_{n})$ będzie ciągiem wielomianowym: $x_{n} = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{1} n + a_{0}$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$ oraz $a_{k} \neq 0$ .

Wówczas $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} (a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{1} n + a_{0}) =$ $= \lim_{n \to \infty} n^{k} (a_{k} + a_{k - 1} \frac{1}{n} + \dots + a_{1} \frac{1}{n^{k - 1}} + a_{0} \frac{1}{n^{k}})$

Ponieważ ciąg $z_{n} = a_{k} + a_{k - 1} \frac{1}{n} + \dots + a_{1} \frac{1}{n^{k - 1}} + a_{0} \frac{1}{n^{k}}$ jest zbieżny do $a_{k}$ , zatem

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = + \infty$ , gdy $a_{k} > 0$ ,

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = - \infty$ , gdy $a_{k} < 0$ .

o granicy ciągu wielomianowego

Twierdzenie: o granicy ciągu wielomianowego

Niech ciąg $(x_{n})$ będzie ciągiem wielomianowym:

$x_{n} = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{1} n + a_{0}$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$ oraz $a_{k} \neq 0$ .

Wówczas

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = + \infty$ , gdy $a_{k} > 0$ ,

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = - \infty$ , gdy $a_{k} < 0$ .

Symbol nieoznaczony: $\frac{\infty}{\infty}$

Podamy kilka przykładów, gdy z ilorazu ciągów rozbieżnych do $+ \infty$ otrzymujemy: ciąg zbieżny, ciąg rozbieżny do $+ \infty$ , ciąg rozbieżny do $- \infty$ , ciąg rozbieżny oraz ciąg zbieżny.

Przykład 5

Zbadamy zbieżność ciągu: $x_{n} = \frac{n^{2} + 5 n - 6}{n^{2} + n + 9}$ .

Rozwiązanie

Na podstawie twierdzeń o granicach wiemy, że $\lim_{n \to \infty} (n^{2} + 5 n - 6) = + \infty$ oraz $\lim_{n \to \infty} (n^{2} + n + 9) = + \infty$ . Zatem mamy iloraz ciągów rozbieżnych do nieskończoności.

Podzielmy licznik i mianownik ułamka przez $n^{2}$ :

$\frac{1 + \frac{5}{n} - \frac{6}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{9}{n^{2}}}$ .

Zauważmy, że ciągi $\frac{5}{n}, \frac{6}{n^{2}}, \frac{1}{n}, \frac{9}{n^{2}}$ są zbieżne do $0$ , a zatem granicą ciągu $(x_{n})$ jest liczba $1$ .

Przykład 6

Zbadamy zbieżność ciągu $x_{n} = \frac{n^{2} - 5 n - 6}{n + 9}$ .

Rozwiązanie

Na podstawie twierdzeń o granicach wiemy, że $\lim_{n \to \infty} (n^{2} - 5 n - 6) = + \infty$ oraz $\lim_{n \to \infty} (n + 9) = + \infty$ . Zatem mamy iloraz ciągów rozbieżnych do nieskończoności.

Podzielmy licznik i mianownik ułamka przez $n$ : $\frac{n - 5 - \frac{6}{n}}{1 + \frac{9}{n}}$ . Zauważmy, że ciągi $\frac{6}{n}, \frac{9}{n}$ są zbieżne do $0$ , a zatem granicą ciągu z mianownika jest liczba $1$ , natomiast ciąg z licznika jest rozbieżny do $+ \infty$ . Stąd otrzymujemy $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 5 n - 6}{n + 9} = + \infty$ .

Na podstawie powyższych przykładów możemy sformułować ogólne twierdzenie o granicy ilorazu ciągów, z których każdy ma postać wielomianu.

o granicy ilorazu ciągów wielomianowych

Twierdzenie: o granicy ilorazu ciągów wielomianowych

Niech

$x_{n} = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{1} n + a_{0}$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$ oraz $a_{k} \neq 0$ ,

$y_{n} = b_{m} n^{m} + b_{m - 1} n^{m - 1} + \dots + b_{1} n + b_{0}$ , gdzie $m \in ℕ_{+}$ oraz $b_{m} \neq 0$ .

Wówczas

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{a_{k}}{b_{m}}$ , gdy $k = m$ ,

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = 0$ , gdy $k < m$ ,

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = + \infty$ , gdy $k > m$ i $a_{k} > 0$ ,

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = - \infty$ , gdy $k > m$ i $a_{k} < 0$ .

Ilorazem dwóch ciągów rozbieżnych do nieskończoności może być ciąg rozbieżny. Poniżej pokażemy przykład takich ciągów.

Przykład 7

Weźmy dwa ciągi $(x_{n}), (y_{n})$ zdefiniowane dla $n > 1$ w sposób następujący:

$x_{n} = {\begin{cases} \frac{n + 2}{2}, & d l a n p a r z y s t e g o \\ n + 1, & d l a n n i e p a r z y s t e g o \end{cases}$

$y_{n} = {\begin{cases} n + 2, & dla n parzystego \\ \frac{n + 1}{2}, & dla n nieparzystego \end{cases}$

Wówczas ciąg $(\frac{x_{n}}{y_{n}})$ ma następujące wyrazy: $\frac{1}{2}, 2, \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{2}, 2, \dots$ .

Zatem ciąg $(\frac{x_{n}}{y_{n}})$ jest ciągiem rozbieżnym.

Symbol nieoznaczony: $0 \cdot \infty$

Przykład 8

Sprawdzimy, do jakiej granicy zmierza iloczyn ciągów: $x_{n} = \frac{1}{n}$ i $y_{n} = n$ .

Rozwiązanie

Ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do $0$ , ciąg $(y_{n})$ jest rozbieżny do $+ \infty$ , a granicą ich iloczynu jest:

$lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) = lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} \cdot n) = 1$ .

Przykład 9

Sprawdzimy, do jakiej granicy zmierza iloczyn ciągów: $x_{n} = \frac{1}{n}$ i $y_{n} = n^{2}$ .

Rozwiązanie

Ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do $0$ , ciąg $(y_{n})$ jest rozbieżny do $+ \infty$ , a granicą ich iloczynu jest:

$lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) = lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} \cdot n^{2}) = lim_{n \to \infty} n = + \infty$ .

Zatem ciąg $(x_{n} \cdot y_{n})$ jest rozbieżny do $+ \infty$ .

Przykład 10

Sprawdzimy, do jakiej granicy zmierza iloczyn ciągów: $x_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ i $y_{n} = n^{2}$ .

Rozwiązanie

Ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do $0$ , ciąg $(y_{n})$ jest rozbieżny do $+ \infty$ , a ich iloczyn

$x_{n} \cdot y_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n} \cdot n$

jest ciągiem rozbieżnym.

Słownik

ciąg rozbieżny do +

\infty

ciąg rozbieżny do +

\infty

ciąg, którego granicą jest $+ \infty$

ciąg rozbieżny do -

\infty

ciąg rozbieżny do -

\infty

ciąg, którego granicą jest $- \infty$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Symbole nieoznaczone

Symbol nieoznaczony: $\infty - \infty$

Symbol nieoznaczony: $\frac{\infty}{\infty}$

Symbol nieoznaczony: $0 \cdot \infty$

Słownik

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Przeczytaj

Symbole nieoznaczone

Symbol nieoznaczony: ∞-∞

Symbol nieoznaczony: ∞∞

Symbol nieoznaczony: 0·∞

Słownik

Symbol nieoznaczony: $\infty - \infty$

Symbol nieoznaczony: $\frac{\infty}{\infty}$

Symbol nieoznaczony: $0 \cdot \infty$