Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_n=n^2$ i  $y_n=n$.

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+\infty$, a granicę ich różnicy obliczamy następująco:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2-n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(1-\frac{1}{n}\right)$

Ponieważ ciąg $\frac{1}{n}$ jest zbieżny do $0$, zatem ciąg $1-\frac{1}{n}$ jest zbieżny do $1$. Stąd otrzymujemy:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2-n\right)=+\infty$.

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_n=n$ i  $y_n=n^2$.

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+\infty$, a granicę ich różnicy obliczamy podobnie jak w poprzednim przykładzie:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n-n^2\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(\frac{1}{n}-1\right)$

Ponieważ ciąg $\frac{1}{n}-1$ jest zbieżny do $\left(-1\right)$, otrzymujemy:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n-n^2\right)=-\infty$.

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_n=n$ i  $y_n=n+2$.

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+\infty$, a granicę ich różnicy obliczamy następująco:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[n-\left(n+2\right)\right]=-2$.

Obliczymy granicę różnicy ciągów: $x_n=n$ i  $y_n=n-{(-1)}^n$.

Rozwiązanie

Oba ciągi są rozbieżne do $+\infty$, a różnica ciągów

$x_n-y_n=(n-n+{(-1)}^n)={(-1)}^n$

jest ciągiem rozbieżnym.

Niech ciąg $\left(x_n\right)$ będzie ciągiem wielomianowym:

$x_n=a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +a_{1}n+a_0$, gdzie $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oraz $a_k\ne 0$.

Wówczas

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty$, gdy $a_k>0$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=-\infty$, gdy $a_k<0$.

Zbadamy zbieżność ciągu: $x_n=\frac{n^2+5n-6}{n^2+n+9}$.

Rozwiązanie

Na podstawie twierdzeń o granicach wiemy, że $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2+5n-6\right)=+\infty$ oraz $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2+n+9\right)=+\infty$. Zatem mamy iloraz ciągów rozbieżnych do nieskończoności.

Podzielmy licznik i mianownik ułamka przez $n^2$:

$\frac{1+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{9}{n^2}}$.

Zauważmy, że ciągi $\frac{5}{n},\frac{6}{n^2},\frac{1}{n},\frac{9}{n^2}$ są zbieżne do $0$, a zatem granicą ciągu $\left(x_n\right)$ jest liczba $1$.

Zbadamy zbieżność ciągu $x_n=\frac{n^2-5n-6}{n+9}$.

Rozwiązanie

Na podstawie twierdzeń o granicach wiemy, że $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2-5n-6\right)=+\infty$ oraz $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n+9\right)=+\infty$. Zatem mamy iloraz ciągów rozbieżnych do nieskończoności.

Podzielmy licznik i mianownik ułamka przez $n$: $\frac{n-5-\frac{6}{n}}{1+\frac{9}{n}}$. Zauważmy, że ciągi $\frac{6}{n},\frac{9}{n}$ są zbieżne do $0$, a zatem granicą ciągu z mianownika jest liczba $1$, natomiast ciąg z licznika jest rozbieżny do $+\infty$. Stąd otrzymujemy $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+5n-6}{n+9}=+\infty$.

Niech

$x_n=a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +a_{1}n+a_0$, gdzie $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oraz $a_k\ne 0$,

$y_n=b_m{n}^m+b_{m-1}{n}^{m-1}+\cdots +b_{1}n+b_0$, gdzie $m\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oraz $b_m\ne 0$.

Wówczas

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a_k}{b_m}$, gdy $k=m$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=0$, gdy $k<m$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=+\infty$, gdy $k>m$ i $a_k>0$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=-\infty$, gdy $k>m$ i $a_k<0$.

Weźmy dwa ciągi $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ zdefiniowane dla $n>1$ w sposób następujący:

$x_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n+2}{2},& \mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}n\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}\\ n+1,& \mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}n\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}\end{array}$

$y_n=\{\begin{array}{ll}n+2,& \text{dla}n\text{parzystego}\\ \frac{n+1}{2},& \text{dla}n\text{nieparzystego}\end{array}$

Wówczas ciąg $\left(\frac{x_n}{y_n}\right)$ ma następujące wyrazy: $\frac{1}{2},2,\frac{1}{2},2,\frac{1}{2},2,\cdots$.

Zatem ciąg $\left(\frac{x_n}{y_n}\right)$ jest ciągiem rozbieżnym.

Sprawdzimy, do jakiej granicy zmierza iloczyn ciągów: $x_n=\frac{1}{n}$ i  $y_n=n$.

Rozwiązanie

Ciąg $\left(x_n\right)$ jest zbieżny do $0$, ciąg $\left(y_n\right)$ jest rozbieżny do $+\infty$, a granicą ich iloczynu jest:

$\underset{n\to \infty }{lim}(x_n\cdot y_n)=\underset{n\to \infty }{lim}(\frac{1}{n}\cdot n)=1$.

Sprawdzimy, do jakiej granicy zmierza iloczyn ciągów: $x_n=\frac{1}{n}$ i $y_n=n^2$.

Rozwiązanie

Ciąg $\left(x_n\right)$ jest zbieżny do $0$, ciąg $\left(y_n\right)$ jest rozbieżny do $+\infty$, a granicą ich iloczynu jest:

$\underset{n\to \infty }{lim}(x_n\cdot y_n)=\underset{n\to \infty }{lim}(\frac{1}{n}\cdot n^2)=\underset{n\to \infty }{lim}n=+\infty$.

Zatem ciąg $\left(x_n·y_n\right)$ jest rozbieżny do $+\infty$.

Sprawdzimy, do jakiej granicy zmierza iloczyn ciągów: $x_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$ i $y_n=n^2$.

Rozwiązanie

Ciąg $\left(x_n\right)$ jest zbieżny do $0$, ciąg $\left(y_n\right)$ jest rozbieżny do $+\infty$, a ich iloczyn

$x_n·y_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}·n^2={\left(-1\right)}^n·n$

jest ciągiem rozbieżnym.

ciąg, którego granicą jest $+\infty$

ciąg, którego granicą jest $-\infty$