Dla jakiej wartości parametru $p$ rozwiązanie równaniarozwiązanie równaniarozwiązanie równania $xp+6p-2=3x+p^2+7$ jest nie większe od $\frac{3}{4}$?

Najpierw zajmiemy się uporządkowaniem równania.

$xp+6p-2=3x+p^2+7$

$xp-3x=p^2-6p+9$

$x\left(p-3\right)=p^2-6p+9$

Prawą stronę równania, możemy zapisać w postaci wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

$x\left(p-3\right)={\left(p-3\right)}^2$

Aby równanie miało jedno rozwiązanie musi być spełniony warunek: $p\ne 3$.

Wtedy rozwiązanie możemy zapisać w postaci:

$x=\frac{{\left(p-3\right)}^2}{p-3}$

Po skróceniu rozwiązanie równania przyjmuje postać $x=p-3$.

Rozwiązanie równaniarozwiązanie równaniaRozwiązanie równania ma być nie większe od liczby $\frac{3}{4}$.

Warunek zapiszemy w postaci nierówności $p-3\le \frac{3}{4}$.

Czyli $p\le 3\frac{3}{4}$.

Określimy, dla jakich wartości parametru $a$ rozwiązaniem równania $ax=4-x$ jest liczba naturalna.

$ax=4-x$

$ax+x=4$

$x\left(a+1\right)=4$

Aby równanie miało rozwiązanie $a\ne -1$.

Wtedy:

$x=\frac{4}{a+1}$

Aby rozwiązanie $x$ było liczbą naturalną:

$a+1=1$ lub $a+1=2$ lub $a+1=4$

Czyli $a=0$ lub $a=1$ lub $a=3$.

Zatem $a\in \left\{0, 1, 3\right\}$.

Określimy warunek, dla którego rozwiązaniem równania $3x+2·\left|k+4\right|=1$ z niewiadomą $x$ i parametrem $k$ jest liczba $3$.

Podstawimy w miejsce $x$ liczbę $3$.

$9+2·\left|k+4\right|=1$

$2·\left|k+4\right|=-8$

$\left|k+4\right|=-4$

Otrzymane równanie jest sprzeczne dla dowolnego $k$, ponieważ wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Zatem nie ma takiej wartości parametru $k$, dla której rozwiązaniem równania będzie liczba $3$.

liczba, która spełnia dane równanie