Przeczytaj

Warto przeczytać

Podczas ruchu ciała, zazwyczaj dochodzi do przemian energii, jakie to ciało posiada. Najprostszym przykładem jest spadek swobodnySpadek swobodnyspadek swobodny, podczas którego energia potencjalna grawitacji ciała przekształca się w energię kinetyczną. Energia potencjalna grawitacji związana jest z wysokością ciała nad Ziemią, a energia kinetyczna – z jego bieżącą prędkością. W tym e‑materiale skupimy się na badaniu przemian energii podczas ruchu ciał. Analizować będziemy przemiany energii kinetycznej, potencjalnej grawitacji oraz potencjalnej sprężystości.

Energia kinetyczna $E_{k}$ ciała o masie $m$ poruszającego się w danym układzie odniesienia z prędkością $v$ dana jest wzorem:

$\large E_k=\frac{mv^2}{2}.$

Wartość tej energii ulega zmianie razem z prędkością ciała. Więcej informacji na ten temat znajdziesz w e‑materiale „Energia kinetyczna”.

Energia potencjalna grawitacji $E_{p g}$ ciała o masie $m$ znajdującego się w pobliżu powierzchni planety (lub księżyca, gwiazdy czy innego ciała niebieskiego), gdzie występuje przyspieszenie grawitacyjne o wartości $g$ dana jest wzorem:

E_{p g} = m g h .

Wielkość $h$ oznacza odległość ciała od punktu, w którym przyjmujemy, że energia potencjalna jest równa zeru (np. powierzchnia planety). Energia ta ulega zatem zmianie, gdy zmienia się położenie ciała. Więcej informacji na ten temat znajdziesz m.in. w e‑materiale „Energia potencjalna grawitacyjna”.

Dla ciał sprężystych, takich jak guma lub sprężyna, można wprowadzić energię potencjalną sprężystości $E_{p s}$ . Jest to energia, którą posiada np. sprężyna, która została rozciągnięta lub skurczona względem swojego początkowego wymiaru. Można ją wyznaczyć jako:

E_{p s} = \frac{k (Δ x)^{2}}{2},

gdzie $k$ jest współczynnikiem sprężystości danego ciała, a $Δ x$ – zmianą długości tego ciała względem jego długości swobodnej. Więcej informacji o tej postaci energii uzyskasz w e‑materiałach „Energia potencjalna sprężystości” oraz „Jak obliczyć energię potencjalną sprężystości?”.

Suma energii kinetycznej oraz energii potencjalnej ciała nazywana jest energią mechaniczną. Podczas dowolnego ruchu spełniona musi być zasada zachowania energii mechanicznej. W najbardziej ogólnym przypadku mówi ona, że suma energii mechanicznej ciała oraz pracy mechanicznej wykonanej przez siły zewnętrzne jest wartością stałą. Więcej informacji na ten temat znajdziesz w e‑materiale „O czym mówi zasada zachowania energii mechanicznej?”.

R1LqCPXx5xH9o

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia kolorowy dziecięcy bujak sprężynowy w postaci sylwetki różowego konika. Trzon zabawki stanowi gruba jasnozielona sprężyna zamocowana do betonowego podłoża, która porusza się w różnych kierunkach kiedy na bujaku siedzi dziecko. — Rys. 1. W trakcie huśtania się na huśtawce ze sprężyną, zmianie ulegają wszystkie trzy składowe energii mechanicznej: kinetyczna, potencjalna grawitacji i potencjalna sprężystości
Źródło: dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Szk_RM(48).jpg [dostęp 24.04.2022], domena publiczna.

Przeanalizujmy teraz kilka przykładów, w których dochodzi do zmiany rodzaju energii ciała.

Przykład 1. – ruch klocka na sprężynie w płaszczyźnie poziomej

Klocek o masie $m$ przyczepiono do sprężyny o współczynniku sprężystości $k$ . Klocek ma możliwość ruchu wzdłuż poziomej linii prostej. W chwili początkowej, sprężynę rozciągnięto o $x_{0}$ i swobodnie puszczono. Klocek porusza się bez tarcia. Określ zależność energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości od czasu. Czy energia mechaniczna przyjmuje stałą wartość?

Zależności wychylenia i prędkości klocka od czasu można opisać za pomocą zależności $x (t) = x_{0} cos (ω t)$ oraz $v (t) = - x_{0} ω sin (ω t)$ , gdzie $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Rozwiązanie:

Wykorzystując wzory podane powyżej możemy zapisać zależności energii potencjalnej sprężystości i kinetycznej od czasu:

E_{p s} (t) = \frac{k [x (t)]^{2}}{2} = \frac{k}{2} x_{0}^{2} \cos^{2} (ω t),

E_{k} (t) = \frac{m [v (t)]^{2}}{2} = \frac{m}{2} x_{0}^{2} ω^{2} \sin^{2} (ω t) .

Na Rys. 2. przedstawiliśmy wykresy funkcji ${sin}^{2} (x)$ i ${cos}^{2} (x)$ . Zwróćmy uwagę, że w obszarach, w których funkcja ${sin}^{2} (x)$ jest rosnąca, funkcja ${cos}^{2} (x)$ maleje – i odwrotnie. Oznacza to, że gdy zwiększa się wartość jednego rodzaju energii klocka, wartość drugiej maleje.

R13pyND5SqVI8

Rys. 2. przedstawia układ współrzędnych, gdzie oś pozioma wyskalowana jest od 0 do 6 co 1 jednostkę, a oś pionowa wyskalowana od zera do jednego co 0,2 jednostki. W polu wykresu czerwona funkcja cosinus kwadrat x oraz niebieska funkcja sinus kwadrat x. Obok wykresu podpisy linii: czerwona: cos indeks górny 2, w nawiasie x, niebieska sin indeks górny 2, w nawiasie x. W miejscach, w których funkcja sinus kwadrat x rośnie, funkcja cosinus kwadrat x maleje itd. W miejscach gdzie funkcja sinus kwadrat x osiąga maksimum, wypada minimum funkcji cosinus kwadrat x. — Rys. 2. Wykresy funkcji ${sin}^{2} (x)$ i ${cos}^{2} (x)$
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Całkowita energia mechaniczna klocka jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej:

E_{m} = E_{p s} (t) + E_{k} (t) = \frac{k}{2} x_{0}^{2} \cos^{2} (ω t) + \frac{m}{2} x_{0}^{2} ω^{2} \sin^{2} (ω t) = \frac{x_{0}^{2}}{2} [k \cos^{2} (ω t) + m ω^{2} \sin^{2} (ω t)]

Aby sprawdzić, czy energia mechaniczna przyjmuje stałą wartość, zwróćmy uwagę, że $m ω^{2} = k$ , co pozwoli nam uprościć powyższe wyrażenie:

E_{m} = \frac{x_{0}^{2}}{2} [k {cos}^{2} (ω t) + k {sin}^{2} (ω t)] = \frac{k x_{0}^{2}}{2} = c o n s t a n s .

Przykład 2. – ruch ciężarka na sprężynie

Do sprężyny o współczynniku sprężystości $k$ = 15 N/m dołączono ciężarek o masie $m$ = 100 g. Drugi koniec sprężyny przyczepiono do ściany. Sprężyna może wykonywać drgania w kierunku poziomym. Początkowa długość sprężyny wynosiła $x_{1}$ = 20 cm. Wyznacz, jaką maksymalną prędkość uzyska drgający ciężarek, jeżeli sprężyna została rozciągnięta do długości $x_{2}$ = 25 cm i puszczona. Zaniedbaj tarcie.

Dane	Szukane
współczynnik sprężystości sprężyny $k$ = 15 N/m, początkowa długość sprężyny $x_{1}$ = 20 cm = 0,2 m, długość rozciągniętej sprężyny $x_{2}$ = 25 cm = 0,25 m, masa ciężarka $m$ = 100 g = 0,1 kg.	maksymalna prędkość ciężarka $v_{m a x}$ = ?

Analiza zadania:

Na skutek pracy zewnętrznej siły rozciągającej sprężynę ponad jej długość początkową, rośnie energia potencjalna sprężystości sprężyny. Po puszczeniu sprężyny, sprężyna zaczyna drgać – energia sprężystości zostaje przekształcona w energię kinetyczną.

Rozwiązanie:

Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, zmiana energii sprężystości musi być równa zmianie energii kinetycznej. Porównajmy zatem energię potencjalną sprężystości na początku ruchu z energią kinetyczną przy maksymalnej prędkości:

Δ E_{p s} = Δ E_{k},

$\large\frac{k(\Delta x)^2}{2}=\frac{mv_{max}^2}{2}$ ,

gdzie $Δ x = x_{2} - x_{1}$ i wyraża zmianę długości sprężyny pod wpływem siły rozciągającej. Stąd możemy wyznaczyć maksymalną prędkość ciała:

v_{m a x} = \sqrt{\frac{k (Δ x)^{2}}{m}} = \sqrt{\frac{15 N / m \cdot (0, 25 m - 0, 2 m)^{2}}{0, 1 k g}} \approx 0, 61 m / s,

[v_{m a x} = \sqrt{\frac{\frac{N}{m} \cdot m^{2}}{k g} = \frac{N \cdot m}{k g} = \frac{J}{k g} = \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s}] .

Przykład 3. – spadek swobodny i nieswobodny

Papierową kulkę o masie $m$ = 50 g upuszczono swobodnie z wysokości $H$ = 70 cm. Spadek kulki nie jest swobodny – oprócz siły ciężkości na kulkę działa siła oporu powietrza o stałej wartości $F_{o}$ = 0,05 N. Wyznacz prędkość kulki tuż przy powierzchni Ziemi. Jaką prędkość osiągnęłaby kulka spadając z tej samej wysokości w rurze, w której wypompowano powietrze? Jaką ilość energii utraciła kulka na skutek działania siły oporu powietrza?

Dane	Szukane
masa kulki $m$ = 50 g = 0,05 kg, wysokość początkowa kulki $H$ = 70 cm = 0,7 m, przyspieszenie ziemskie $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2, siła oporu powietrza $F_{o}$ = 0,05 N.	prędkość kulki przy powierzchni Ziemi $v_{2}$ = ? prędkość kulki przy powierzchni Ziemi po ruchu w rurze próżniowej $v_{1}$ = ?

Analiza zadania:

Na spadającą kulkę, oprócz siły grawitacji (siły wewnętrznejSiła wewnętrznasiły wewnętrznej działającej w układzie kulka‑Ziemia), działa siła oporu powietrza, będąca siłą zewnętrznąSiła zewnętrznasiłą zewnętrzną. Praca wykonana przez siłę oporu powoduje przemianę części energii mechanicznej kulki w ciepło. W przypadku, gdy kulka porusza się w rurze próżniowej, siła oporu powietrza nie występuje.

Rozwiązanie:

W przypadku ruchu bez siły oporu powietrza, energia potencjalna grawitacji przekształca się w energię kinetyczną. Proces ten zachodzi pod wpływem pracy wykonanej przez siłę grawitacji.

m g H = \frac{m v_{1}^{2}}{2} \to v_{1} = \sqrt{2 g H},

v_{1} = \sqrt{2 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 0, 7 m} \approx 3, 70 \frac{m}{s} .

Gdy występuje siła oporu powietrza, część energii potencjalnej kulki zostaje przekształcona na ciepło i rozproszona. Praca siły oporu jest równa $W_T=F_0\cdot H\cdot\cos180^0=-F_0\cdot H$ . Bilans energii w tym przypadku możemy zapisać jako:

$\text{zmiana energii}=\text{praca sił oporu}$ ,

$\Delta E =W_T$ ,

$\frac{mv_2^2}{2}-mgH=-F_0\cdot H$ ,

v_{2} = \sqrt{2 H (g - \frac{F_{o}}{m})},

v_{2} = \sqrt{2 \cdot 0, 7 m \cdot (9, 81 \frac{m}{s^{2}} - \frac{0, 05 N}{0, 05 k g})} \approx 3, 51 \frac{m}{s}

Końcowa prędkość jest mniejsza niż w przypadku, gdy kulka poruszałaby się w próżni. Wartość utraconej energii jest równa pracy siły oporu powietrza: $W_{T} = - F_{o} H = - 0, 05 N \cdot 0, 7 m = - 0, 035 J$ .

R1LbCf1UhDS8t

Rys. 3. Zdjęcie przedstawia jesienne wirujące i spadające liście. Kolorystyka utrzymana jest w tonacji ciepłych pomarańczowych brązów. Na drugim planie bardzo rozmytym i rozświetlonym kolorystycznie pokazana jest droga leśna i drzewa. — Rys. 3. Innym przypadkiem spadku nieswobodnego jest ruch spadających z drzewa liści
Źródło: dostępny w internecie: https://unsplash.com/photos/Fd3NFkSLkzs [dostęp 24.04.2022], licencja: CC BY 4.0.

Przykład 4. – rzut piłką lekarską

Podczas ćwiczeń, Zosia wyrzuca piłkę lekarską z prędkością początkową $v_{0}$ = 3 m/s, z wysokości $H_{0}$ = 1,2 m, pod kątem 45° do poziomu. Wyznacz:

na jaką maksymalną wysokość dotrze piłka,
z jaką prędkością piłka uderzy w ziemię,
pod jakim kątem (względem poziomu) piłka uderzy w ziemię.

Zaniedbaj opory ruchu. Wartość przyspieszenia ziemskiego $g=9,81\text{ m/s}^2.$

Dane	Szukane
prędkość początkowa piłki: $v_{0}$ = 3 m/s, wysokość początkowa piłki: $H$ = 1,2 m, kąt wyrzutu (do poziomu): $α$ = 45°, przyspieszenie ziemskie: $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2.	maksymalna wysokość piłki: $H_{m a x}$ = ? prędkość piłki przy uderzeniu w ziemię: $v_{k}$ = ? kąt, pod jakim piłka uderzy w ziemię (względem poziomu): $β$ = ?

Analiza zadania:

Podczas ruchu piłki spełniona musi być zasada energii mechanicznej. Poszczególne etapy ruchu piłki, odpowiednie prędkości oraz rodzaje energii przedstawiliśmy na Rys. 4.

RblNugL0cdcUW

Na dole ilustracji niebieska pozioma kreska, powierzchnia względem której wyrzucana jest piłka. Z lewej strony zielony pionowy odcinek zakończony dwoma grotami podpisany: duża litera H indeks dolny 0, duża litera E, indeks dolny: p0. W pobliżu górnego końca zielonego odcinka niebieskie kółko, piłka lekarska. Ze jego środka wychodzą trzy czerwone wektory. Wektor skierowany poziomo w prawo ma podpis: wektor v indeks dolny ox, duża litera E, indeks dolny: k0x. Wektor skierowany pionowo do góry ma podpis: wektor v indeks dolny oy, duża litera E, indeks dolny: k0y. Wektor wypadkowy skierowany na ukos do góry, styczny do toru ruchu, ma podpis: wektor v indeks dolny 0. Kąt między wektorem v0 i vox: mała litera alfa. W centralnej części rysunku widać długi pionowy odcinek z dwoma grotami. Posiada on podpis: duża litera H indeks dolny: max, przecinek, duża litera E indeks dolny: mała litera p max. W górnej części tego odcinka piłka w maksymalnym położeniu. Ze środka piłki wychodzi wektor skierowany poziomo w prawo, który ma podpis: mała litera v indeks dolny ox, wektor na literą v, duża litera E, wskaźnik dolny: k0x. Z prawej strony rysunku, blisko powierzchni, ponownie niebieskie kółko z trzema wektorami wychodzącymi z jego środka, piłka spadła na powierzchnię. Wektor skierowany poziomo w prawo ma podpis: mała litera v indeks dolny ox, duża litera E, indeks dolny: k0x. Wektor skierowany pionowo w dół ma podpis: mała litera v indeks dolny: yk, duża litera E, indeks dolny: k y k. Trzeci wektor skierowany na ukos w dół w prawo ma podpis: mała litera v indeks dolny mała litera k. Kąt między wektorem poziomym i ukośnym podpisano: mała litera beta. Wszystkie trzy niebieskie kółka łączy łagodna przerywana linia w kształcie łuku wygiętego do góry. — Rys. 4. Ruch wyrzuconej piłki lekarskiej
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

W momencie wyrzutu piłka posiada energię potencjalną grawitacji $E_{p 0}$ (związaną z wysokością nad Ziemią) oraz kinetyczną $E_{k 0}$ (związaną z prędkością wyrzutu). Wektor prędkości piłki $\vec{v_{0}}$ można rozłożyć na składowe: poziomą $\vec{v_{0x}}$ i pionową $\vec{v_{0y}}$ . Energię kinetyczną piłki związaną z prędkością $\vec{v}$ można wyrazić jako sumę energii kinetycznych związanych z odpowiednimi składowymi prędkości:

{\vec{v}}_{0} = {\vec{v}}_{0 x} + {\vec{v}}_{0 y},

E_{k 0} = E_{k 0 x} + E_{k 0 y},

\frac{m v_{0}^{2}}{2} = \frac{m v_{0 x}^{2}}{2} + \frac{m v_{0 y}^{2}}{2} .

Wraz z ruchem piłki do góry, pod wpływem siły grawitacji, zmienia się pionowa składowa prędkości piłki $\vec{v_{y}}$ i związana z nią energia kinetyczna. Składowa pozioma prędkości $\vec{v_{0x}}$ nie ulega zmianie, gdyż na piłkę nie działa żadna siła w kierunku poziomym. W najwyższym punkcie toru piłka posiada jedynie energię potencjalną grawitacji $E_{p m a x}$ oraz energię kinetyczną $E_{k 0 x}$ związaną ze składową $\vec{v_{0x}}$ . Następnie piłka zaczyna opadać – jej energia potencjalna maleje kosztem energii kinetycznej związanej z rosnącą składową $\vec{v_{y}}$ . Widzimy, że energia kinetyczna związana ze składową $\vec{v_{x}}$ w ogóle nie ulega zmianie w trakcie ruchu.

Używając prostych relacji trygonometrycznych, możemy zapisać:

v_{x} = v cos α,

v_{y} = v sin α .

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć maksymalną wysokość piłki, zastosujmy zasadę zachowania energii dla pierwszego etapu ruchu:

E_{p 0} + E_{k 0 x} + E_{k 0 y} = E_{p m a x} + E_{k 0 x},

m g H_{0} + \frac{m v_{0 y}^{2}}{2} = m g H_{m a x},

H_{m a x} = H_{0} + \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} = H_{0} + \frac{(v_{0} sin α)^{2}}{2 g} .

Aby określić dwie pozostałe niewiadome, przeanalizujmy drugi etap ruchu piłki. Zasada zachowania energii przyjmuje wtedy następującą postać:

E_{p m a x} + E_{k 0 x} = E_{k y k} + E_{k 0 x},

m g H_{m a x} = \frac{m v_{y k}^{2}}{2} \to v_{y k} = \sqrt{2 g H_{m a x}} .

Całkowitą prędkość $\vec{v}$ możemy wyznaczyć, zauważając, że jest ona przekątną prostokąta wyznaczonego przez wektory $\vec{v_{0x}}$ oraz $\vec{v_{yk}}$ :

v_{k} = \sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{y k}^{2}} = \sqrt{(v_{0} cos α)^{2} + v_{y k}^{2}} .

Aby określić kąt, jaki wektor prędkości tworzy z ziemią, możemy posłużyć się dowolną funkcją trygonometryczną, np.:

t g β = \frac{v_{y k}}{v_{0 x}} = \frac{v_{y k}}{v_{0} cos α} .

Podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy:

H_{m a x} = 1, 2 m + \frac{(3 m / s \cdot sin 45 °)^{2}}{2 \cdot 9, 81 m / s^{2}} \approx 1, 43 m,

v_{y k} = \sqrt{2 \cdot 9, 81 m / s^{2} \cdot 1, 43 m} \approx 5, 30 m / s,

$v_k=\sqrt{(3\text{ m/s}\cdot\sin\text{ 45}^o)^2+(5,30\text{ m/s})^2}\approx 5,71\text{ m/s},$

t g β = \frac{5, 30 m / s}{3 m / s \cdot sin 45 °} \approx 2, 5 \to β \approx 68, 2 ° .

Komentarz

Prędkość końcowa i kąt uderzenia piłki w ziemię mają inne wartości niż początkowe parametry wyrzutu. Na początku, piłka oprócz energii kinetycznej posiadała energię potencjalną, która to energia pod koniec ruchu również zostaje zamieniona w energię kinetyczną. W sytuacji, gdyby piłka była wyrzucana z podłogi (zerowa wysokość), końcowe: kąt i prędkość byłyby identyczne z początkowymi.

Słowniczek

Spadek swobodny

(ang. free fall) – ruch ciała upuszczonego w dół bez prędkości początkowej, jedynie pod wpływem siły grawitacji.

Siła wewnętrzna

(ang. internal force) – siła działająca w obrębie danego układu ciał, np. w układzie Słońce‑Ziemia siła grawitacji między tymi ciałami niebieskimi jest siłą wewnętrzną.

Siła zewnętrzna

(ang. external force) – siła pochodząca z oddziaływań „poza” badanym układem, np. w przypadku spadającego liścia siłą zewnętrzną jest siła oporu powietrza (gdyż pochodzi spoza układu liść‑Ziemia).

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Warto przeczytać

Przykład 1. – ruch klocka na sprężynie w płaszczyźnie poziomej

Rozwiązanie:

Przykład 2. – ruch ciężarka na sprężynie

Analiza zadania:

Rozwiązanie:

Przykład 3. – spadek swobodny i nieswobodny

Analiza zadania:

Rozwiązanie:

Przykład 4. – rzut piłką lekarską

Analiza zadania:

Rozwiązanie:

Komentarz

Słowniczek