Obliczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego trójkątnego do płaszczyzny jego podstawy jeżeli wiadomo, że płaszczyzna przechodzi przez krawędź dolnej podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej tak, jak na poniższym rysunku.

RsEDnsFoI5GmS

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Z dwóch wierzchołków tworzących jedną krawędź, poprowadzono odcinki zakończone w przeciwległej krawędzi bocznej bryły. Powstał trójkąt równoramienny. Krawędź dolnej podstawy bryły ma długość dziesięć, natomiast wysokość bryły ma długość czternaście.

Rozwiązanie:

Zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RQN0EkUMiGD4u

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Z dwóch wierzchołków tworzących jedną krawędź, poprowadzono odcinki zakończone w przeciwległej krawędzi bocznej bryły. Powstał trójkąt równoramienny. Krawędź dolnej podstawy bryły ma długość dziesięć, natomiast wysokość bryły ma długość czternaście. Poprowadzono wysokość podstawy o długości x oraz zaznaczono kąt alfa pomiędzy wysokością podstawy a wysokością powstałego trójkąta równoramiennego.

Wobec tego do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

R1FKwkqqdMhF9

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątne trójkąta mają długość siedem oraz x. Pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną o długości x zaznaczono kąta alfa.

Zauważmy, że $x=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

Zatem korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{x}=\frac{7}{5\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{15}$

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że $\alpha \approx 39°$.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są jednakowej długości. Obliczymy miarę kąta nachylenia zaznaczonej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy tego graniastosłupa.

RpWRwtry0rHlC

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Z górnego wierzchołka bryły poprowadzono przekątną dwóch sąsiednich ścian bocznych. Powstał trójkąt równoramienny wewnątrz bryły.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia na rysunku i zaznaczmy odpowiedni kąt.

R1P60eSzquqIp

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Z górnego wierzchołka bryły poprowadzono przekątną dwóch sąsiednich ścian bocznych. Powstał trójkąt równoramienny wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także wysokość podstawy o długości x oraz długości krawędzi bryły o długości a. Zaznaczono kąt alfa utworzony pomiędzy wysokością powstałego trójkąta i wysokością podstawy.

Do wyznaczenia miary kąta rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RwVyD55rZQh06

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątne trójkąta mają długość a oraz x. Pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną o długości x zaznaczono kąta alfa.

Zauważmy, że $x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{x}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, że $\alpha \approx 49°$.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy równej $3\sqrt{2}$ poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez wysokość podstawy oraz wierzchołek górnej podstawy. Wiedząc, że płaszczyzna ta tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $60°$ obliczymy pole powierzchni oraz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny, płaszczyznę przekroju i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1bQtLtu62KXl

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Poprowadzono przekrój przechodzący przez wysokość dolnej podstawy bryły i wierzchołek górnej podstawy. Zaznaczono kąt sześćdziesięciu stopni pomiędzy przekrojem a podstawą graniastosłupa. Na rysunku zaznaczono także wysokość bryły h oraz krawędź dolnej podstawy o długości trzy pierwiastki z dwóch.

Wobec tego do wyznaczenia wartości $h$ korzystamy z trójkąta prostokątnego, jak na poniższym rysunku.

Zauważmy, że $x=\frac{1}{2}·3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ oraz

$h=x\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}·\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$

Obliczamy pole powierzchni oraz objętość omawianego graniastosłupa:

$P=2·\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2·\sqrt{3}}{4}+3·3\sqrt{2}·\frac{3\sqrt{6}}{2}=9\sqrt{3}+27\sqrt{3}=36\sqrt{3}$

$V=\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2·\sqrt{3}}{4}·\frac{3\sqrt{6}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{4}·\frac{3\sqrt{6}}{2}=\frac{81\sqrt{2}}{4}$

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, nachyloną pod kątem $45°$ do dolnej podstawy. Obliczymy pole powierzchni tego graniastosłupa, jeżeli krawędź podstawy ma długość $a$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny, zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R19HY0W82qfqU

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Poprowadzono przekrój przechodzący przez środek ciężkości górnej podstawy oraz krawędź dolnej podstawy. Przekrój ma kształt trapez równoramiennego. Odcinek pomiędzy górną krawędzią bryły a przekrojem przechodzącym przez środek ciężkości ma długość x. Płaszczyzna jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Zaznaczono również krawędź podstawy a oraz wysokość bryły h.

Wiadomo, że środek ciężkości dzieli wysokość podstawy graniastosłupa będącej trójkątem równobocznym w stosunku $2:1$.

Zatem

$x=\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ponieważ $\mathrm{tg}45°=\frac{h}{x}$, to $h=x$.

Obliczamy pole powierzchni omawianego graniastosłupa:

$P=2·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3·a·\frac{a\sqrt{3}}{6}=a^2\sqrt{3}$

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości $6$ przekątne ścian bocznych, wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt $\alpha$ taki, że $\cos \alpha =\frac{2}{3}$. Obliczymy pole powierzchni oraz objętość graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny, zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1E1AolZfnz9F

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. Z górnego wierzchołka bryły poprowadzono przekątną dwóch sąsiednich ścian bocznych. Kąt utworzony przez obie przekątne został oznaczony jako alfa. Powstał trójkąt równoramienny wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono długość krawędzi podstawy bryły o długości sześć, wysokość h oraz długość ramienia utworzonego trójkąta o długości x.

Korzystając z twierdzenia cosinusów, do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$6^2=x^2+x^2-2·x·x·\frac{2}{3}$

$36=2x^2-\frac{4}{3}{x}^2$

$\frac{2}{3}{x}^2=36$

$x^2=54$

$x=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$

Wobec tego do wyznaczenia wartości $h$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RAcSy6HGLdl2R

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątne mają długość sześć i h, natomiast przeciwprostokątna ma długość x.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy, że:

$h^2+6^2=x^2$

$h^2+36=54$

$h^2=18$

$h=3\sqrt{2}$

Obliczamy pole powierzchni oraz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:

$P=2·\frac{6^2\sqrt{3}}{4}+3·6·3\sqrt{2}=18\sqrt{3}+54\sqrt{2}$

$V=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}·3\sqrt{2}=9\sqrt{3}·3\sqrt{2}=27\sqrt{6}$

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

funkcje matematyczne, wyrażające stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych