Przeczytaj

W standardowej talii są $52$ karty. Karty są w czterech kolorach, po $13$ kart w każdym.

RNRK04VPGQt89

Ilustracja przedstawia oznaczenia talii kart z ich polskimi nazwami oraz informacją od jakiego słowa z języka francuskiego pochodzą. Znaki kolejno od góry: pik, z francuskiego grot, jego znak przypomina czarne odwrócone serce stojące na czarnym trójkącie, kier, z francuskiego serce, którego znak to czerwone serce, karo, z francuskiego czworokąt, którego znak to czerwony romb, trefl, z francuskiego koniczyna, którego znak to trzy czarne koła złączone w taki sposób, że jedno jest u góry, a dwa pod nim, koła stoją na czarnym trójkącie.

Każdy z kolorów posiada dziewięć kart numerowanych od $2$ do $10$ oraz trzy figury:
król, dama, walet oraz dodatkową kartę – as.

W zadaniach dotyczących określania liczby wyników losowania kart, będziemy korzystać ze wzoru na kombinacjeliczba kombinacjikombinacje.

Liczba kombinacji

Twierdzenie: Liczba kombinacji

Liczba $C_{n}^{k}$ wszystkich kombinacji $k$ –elementowych zbioru $n$ –elementowego jest równa

C_{n}^{k} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

gdzie:
$n \in ℕ_{+}$ , $k \in ℕ_{+}$ i $k \leq n$ .

Przykład 1

Z talii $52$ kart losujemy bez zwracania pięć kart. Obliczymy, ile istnieje możliwych wyników losowania, w których otrzymamy dwa kiery.

R1b5pY4rKd0QY

Ilustracja przedstawia pięć kart wyłożonych na szarym tle. Karty od lewej to siódemka pik, siódemka kier, siódemka trefl, As karo, piątka kier.

Mamy wylosować dwa kiery spośród $13$ wszystkich kierów znajdujących się talii i jeszcze trzy inne karty spośród pozostałych $39$ .

Kiery losujemy na $C_{13}^{2}$ sposobów.

Pozostałe trzy karty losujemy na $C_{39}^{3}$ sposobów.

Kolejność losowania nie ma znaczenia. Aby wyznaczyć wszystkie możliwości, korzystamy z reguły mnożenia.

$C_{13}^{2} \cdot C_{39}^{3} = \frac{13!}{2! \cdot 11!} \cdot \frac{39!}{3! \cdot 36!} = \frac{13 \cdot 12}{2} \cdot \frac{39 \cdot 38 \cdot 37}{6} = 712842$

Odpowiedź:

Istnieją $712842$ sposoby wylosowania dwóch kierów i trzech innych kart z talii.

Przykład 2

Z talii $52$ kart losujemy bez zwracania $9$ kart. Obliczymy, ile jest możliwych wyników losowania, w których są dokładnie $2$ asy i $4$ damy.

W talii są $4$ asy. Mamy spośród nich wylosować dwa na

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ sposobów.

W talii są $4$ damy. Mamy spośród nich wylosować cztery na

$(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) = 1$ sposób.

Do tego dobieramy trzy karty spośród pozostałych (bez asów i dam) $52 - 8 = 44$ kart na

$(\begin{matrix} 44 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{44!}{3! \cdot 41!} = \frac{44 \cdot 43 \cdot 42}{6} = 13244$ sposobów.

Obliczamy, ile jest wszystkich możliwości

$6 \cdot 1 \cdot 13244 = 79464$

Odpowiedź:

Wszystkich możliwości jest $79464$ .

Przykład 3

Obliczymy, ile jest możliwości rozdań $52$ kart czterem graczom: Antoniemu, Bogdanowi, Czesławowi i Dariuszowi.

Każdy z graczy otrzyma po

$52 : 4 = 13$ kart.

Najpierw wybieramy $13$ kart dla pierwszego gracza, np. Antoniego, spośród $52$ kart.

Można to zrobić na $(\begin{matrix} 52 \\ 13 \end{matrix})$ sposobów.

Teraz wybieramy karty dla drugiego gracza, np. Bogdana, spośród pozostałych $52 - 13 = 39$ kart.

Można to zrobić na $(\begin{matrix} 39 \\ 13 \end{matrix})$ sposobów.

Wybieramy karty dla trzeciego gracza, np. Czesława, spośród pozostałych $39 - 13 = 26$ kart.

Można to zrobić na $(\begin{matrix} 26 \\ 13 \end{matrix})$ sposobów.

Dla czwartego gracza, np. Dariusza pozostało już tylko $13$ kart, które otrzymuje.

Obliczamy, na ile sposobów otrzyma karty każdy z graczy.

Antoni: $(\begin{matrix} 52 \\ 13 \end{matrix}) = \frac{52!}{13! \cdot 39!}$

Bogdan: $(\begin{matrix} 39 \\ 13 \end{matrix}) = \frac{39!}{13! \cdot 26!}$

Czesław: $(\begin{matrix} 26 \\ 13 \end{matrix}) = \frac{26!}{13! \cdot 13!}$

Dariusz: na $(\begin{matrix} 13 \\ 13 \end{matrix}) = 1$

Obliczamy ile jest wszystkich możliwości.

$\frac{52!}{13! \cdot 39!} \cdot \frac{39!}{13! \cdot 26!} \cdot \frac{26!}{13! \cdot 13!} \cdot 1 = \frac{52!}{{(13!)}^{4}}$

Otrzymaliśmy dużą liczbę, zatem pozostawiamy ją w wyznaczonej postaci.

Odpowiedź:

Czterem graczom można rozdać katy na $\frac{52!}{{(13!)}^{4}}$ sposobów.

Przykład 4

Na ile sposobów z talii $52$ kart można wylosować $10$ kart tak, aby wśród nich był co najmniej jeden król?

Obliczymy najpierw ile jest możliwości wyboru $10$ kart, w których nie ma ani jednego króla.

$(\begin{matrix} 48 \\ 10 \end{matrix}) = \frac{48!}{10! \cdot 38!} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39}{10!}$

Możliwości wyboru dowolnych $10$ kart spośród $52$ jest

$(\begin{matrix} 52 \\ 10 \end{matrix}) = \frac{52!}{10! \cdot 42!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43}{10!}$

Więc możliwości wyborów, w których jest co najmniej jeden król jest

$W = (\begin{matrix} 52 \\ 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 48 \\ 10 \end{matrix})$

$W = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43}{10!} - \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39}{10!}$

$W = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot (52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 - 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39)}{10!}$

$W = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot (6497400 - 2686320)}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$W = \frac{381108 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 44 \cdot 43}{168} = 43 \cdot 47 \cdot 253 \cdot 18148 = 9279308324$

Odpowiedź:

Karty można wylosować na $9279308324$ sposoby.

Przykład 5

Obliczymy, na ile sposobów z talii $52$ kart można wylosować sześć kart tak, aby wśród nich były karty wszystkich kolorów.

Mamy dwie możliwości:

w jednym kolorze mamy trzy karty, a w każdym z pozostałych po jednej karcie;

w dwóch kolorach mamy po dwie karty, a w pozostałych po jednej.

W pierwszym przypadku jest

$4 \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) = 8 \cdot 11 \cdot 13^{4}$ możliwości.

W drugim przypadku jest

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) = 6^{3} \cdot 13^{4}$ możliwości.

Zgodnie z regułą dodawania, otrzymujemy:

$88 \cdot 13^{4} + 216 \cdot 13^{4} = 304 \cdot 13^{4}$

Odpowiedź:

Wszystkich sposobów wylosowania sześciu kart tak, aby wśród nich były karty wszystkich kolorów jest $304 \cdot 13^{4}$ .

Słownik

liczba kombinacji

liczba $C_{n}^{k}$ wszystkich kombinacji $k$ –elementowych zbioru $n$ –elementowego jest równa

C_{n}^{k} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

gdzie:
$n \in ℕ_{+}$ , $k \in ℕ_{+}$ i $k \leq n$

Wprowadzenie

Film edukacyjny

Słownik