Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy definicję ilorazu różnicowego funkcjiiloraz różnicowy funkcjiilorazu różnicowego funkcji.

iloraz różnicowy
Definicja: iloraz różnicowy

Załóżmy, że funkcja f jest dowolną funkcją określoną w otoczeniu punktu x0.

Ilorazem różnicowym funkcji fx w punkcie x0 dla przyrostu h zmiennej niezależnej x, nazywamy wyrażenie:

f(x)f(x0)xx0,

które jest równoważne wyrażeniu:

f(x0+h)f(x0)h.

Inaczej mówiąc, jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.

Do wyznaczania ilorazu różnicowego funkcji będziemy stosować wzór, który zapisujemy następująco:

U(h)=f(x0+h)f(x0)h.

W poniższych przykładach pokażemy, jak obliczyć iloraz różnicowy w podanym punkcie x0 oraz przy zadanym przyroście h.

Przykład 1

Wyznaczymy iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem fx=-3x+2 w punkcie x0=2 i przy przyroście h=4.

Rozwiązanie:

Uh=-3·x0+h+2--3x0+2h=-3x0-3h+2+3x0-2h=-3hh=-3.

Ważne!

Jeżeli funkcja f jest funkcją liniową określoną wzorem fx=ax+b, to iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 i przy przyroście h jest równy a.

Przykład 2

Wyznaczymy iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem fx=x2 dla x0=3 
i przy przyroście argumentu h=-2.

Rozwiązanie:

Po podstawieniu do wzoru na iloraz różnicowy funkcji otrzymujemy:

Uh=x0+h2-x02h=x02+2·x0·h+h2-x02h=2·x0·h+h2h=2·x0+h.

Dla x0=3, przy przyroście argumentu h=-2, otrzymujemy:

2·3+-2=6-2=4.

Przykład 3

Wyznaczymy iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem fx=x3 dla x0=1, przy przyroście argumentu h=-3.

Rozwiązanie:

Po podstawieniu do wzoru na iloraz różnicowy funkcji otrzymujemy:

Uh=x0+h3-x03h=x03+3·x02·h+3·x0·h2+h3-x03h=3x02+3x0h+h2.

Dla x0=1, przy przyroście argumentu h=-3 otrzymujemy:

3·12+3·1·-3+-32=3-9+9=3.

Przykład 4

Wyznaczymy iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem fx=4x dla x0=3, przy przyroście argumentu h=4.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w przypadku funkcji wymiernej możliwe jest obliczenie ilorazu różnicowego, gdy h-x0.

Po podstawieniu do wzoru na iloraz różnicowy funkcji otrzymujemy:

Uh=4x0+h-4x0h=4x0-4·x0+hx0+h·x0h=

=4x0-4x0-4hx0+h·x0h=-4x0+h·x0.

Dla x0=3, przy przyroście argumentu h=4, otrzymujemy:

-43+4·3=-421=-421.

Wzór na obliczanie ilorazu różnicowego funkcji możemy wykorzystać do znajdowania wartości parametrów, które występują we wzorze funkcji.

Przykład 5

Dana jest funkcja określona wzorem fx=ax3-2. Wiadomo, że iloraz różnicowy tej funkcji dla x0=2, przy przyroście argumentu h=1, wynosi 4.

Wyznaczymy wartość parametru a.

Rozwiązanie:

Po podstawieniu do wzoru na iloraz różnicowy funkcji mamy:

Uh=a·x0+h3-2-ax03-2h=

=a·x03+3·x02·h+3·x0·h2+h3-2-ax03+2h=

=ax03+3ax02h+3ax0h2+ah3-2-ax03+2h=

=3ax02h+3ax0h2+ah3h=3ax02+3ax0h+ah2.

Ponieważ iloraz różnicowy tej funkcji dla x0=2, przy przyroście argumentu h=1 wynosi 4, to w celu wyznaczenia wartości a rozwiązujemy równanie:

3·a·22+3·a·2·1+a·12=4,

12a+6a+a=4,

19a=4, zatem a=419.

Słownik

iloraz różnicowy funkcji
iloraz różnicowy funkcji

stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji, określony za pomocą wzoru:

fx0+h-fx0h