Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Każdemu zdarzeniu AΩ możemy przyporządkować liczbę PA/B (przy ustalonym zdarzeniu B takim, że PB>0). Liczbę tę nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B.

Prawdopodobieństwo warunkowe
Definicja: Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech AΩBΩ oraz niech PB>0. Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę

PA/B=PABPB

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego wynika, że PB>0. Ponieważ dla każdych zdarzeń elementarnych AΩBΩ spełniony jest warunek PAB0, więc PA/B0.

Zauważmy też, że z warunku PB>0PABPB wynika, że PA/B1. Wykazaliśmy zatem, że jeśli PB>0 to dla każdego zdarzenia AΩ spełniona jest nierówność podwójna 0PA/B1.

W ten sposób wykazaliśmy jedną z własności prawdopodobieństwa warunkowego. Tę i inne własności zawieramy w poniższym twierdzeniu.

Własności prawdopodobieństwa warunkowego
Twierdzenie: Własności prawdopodobieństwa warunkowego

Niech Ω będzie dowolna przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz niech AΩ, BΩ, CΩPC>0. Wtedy:

  • P/C=0

  • PΩ/C=1

  • 0PA/C1

  • jeśli AB to PA/CPB/C

  • PA'/C=1-PA/C

  • PA/C=1-PA'/C

  • jeśli AB= to PAB/C=PA/C+PB/C

  • PAB/C=PA/C+PB/C-PAB/C

Zastosowanie tych własności pokażemy, rozwiązując problemy zawarte w poniższych przykładach.

Przykład 1

W jednym rzędzie stoi dziesięć stolików. Każdy z dziesięciu maturzystów losuje numer stolika. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Grażyna i Ewa nie będą siedziały obok siebie, gdy wiemy, że Ewa wylosowała stolik numer cztery.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na ty, że Grażyna i Ewa nie będą siedziały obok siebie,
B – zdarzenie polegające na tym, że Ewa wylosowała stolik numer cztery.

R15BlLhbrqMU2

Obliczymy najpierw PA'/B.

Zdarzeniu A'B sprzyjają losowania, w wyniku których Ewa i Grażyna wylosują sąsiednie stoliki.

Zatem Ewa usiądzie przy stoliku numer cztery, a Grażyna przy stoliku numer trzy lub pięć.

Pozostałe osiem osób może usiąść w dowolny sposób na ośmiu pozostałych miejscach.

A'B=2·8!

Zdarzeniu B sprzyjają wszystkie permutacje zbioru dziewięcioelementowego (dziewięciu uczniów zajmuje w dowolny sposób 9 miejsc różnych od miejsca oznaczonego numerem 4 – bo tam już usiądzie Ewa).

B=9!

Stąd

PA'/B=2·8!9!=29

Korzystając z własności prawdopodobieństwa warunkowegowłasności prawdopodobieństwa warunkowegowłasności prawdopodobieństwa warunkowego, zapisujemy:

PA/B=1-PA'/B

PA/B=1-29=79

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że Ewa i Grażyna nie będą siedziały obok siebie jest równe 79.

Przykład 2

Niech AΩBΩ.

Wykażemy, że jeśli PB>0 to PA/B1-PA'PB.

Ponieważ PB=PAB+PA'BPA'BPA', więc

PA/B=PABPB=PB-PA'BPB

PA/B=1-PA'BPB1-PA'PB.

Przykład 3

Rzucamy cztery razy monetą. Obliczymy prawdopodobieństwo uzyskania dodatniej, parzystej liczby reszek jeżeli wiadomo, że za drugim razem wyrzucono orła.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na wyrzuceniu parzystej liczby reszek,
B – zdarzenie polegające na tym, że w drugim rzucie wypadł orzeł.

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczymy jako liczbę czterowyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru dwuelementowego.

Ω=24=16

Zdarzeniu A sprzyja siedem zdarzeń:

A={(RRRR),(RROO),(RORO),(ROOR),(OORR),(OROR),(ORRO)}

Zdarzeniu B sprzyja osiem zdarzeń elementarnych:

B=RORR,RORO,ROOR,OORO,ROOO,OORR,OOOR,OOOO

Zatem

AB=RORO,ROOR,OORR

Obliczamy prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby reszek, pod warunkiem że za drugim razem wyrzucono orła.

PA/B=316816=38

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby reszek, pod warunkiem że za drugim razem wyrzucono orła jest równe 38.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika poniższy wniosek.

Wniosek:

Niech Ω będzie dowolną przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz niech AΩ, BΩPB>0. Wtedy:

PAB=PB·PA/B
Przykład 4

Z urny, w której znajduje się 8 kul niebieskich i 2 czarne losujemy po kolei dwie kule bez zwracania. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy kule w kolejności: czarna, niebieska.

Oznaczmy:
C – zdarzenie polegające na tym, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną,
N – zdarzenie polegające na tym, że za drugim razem wylosowano kulę niebieską.

Należy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia CN.

Początkowo w urnie było 10 kul, w tym 2 czarne. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej było równe 210. Gdy wylosowano jedną kulę – zostało tylko 9 kul, w tym 8 niebieskich. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania z urny kuli niebieskiej było równe 89.

Przedstawimy graficznie sytuację opisaną w zadaniu.

RUiFE1lQp3aRD

Korzystamy z poznanego wzoru:

PCN=PC·PN/C

PCN=210·89=845

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy kule w kolejności: czarna, niebieska jest równe 845.

Przykład 5

Z talii 52 kart losujemy kolejno trzy karty. Obliczymy, prawdopodobieństwo tego, że każda karta będzie w innym kolorze.

Oznaczmy:
A – zdarzenie polegające na tym, że druga karta jest innego koloru niż pierwsza,
B – zdarzenie polegające na tym, że trzecia wylosowana karta jest w innym kolorze niż pierwsza i druga.

Pierwszą kartę wylosowaliśmy spośród 52, ale drugą już spośród 51. Jednak możliwości wyboru, aby nie była tego samego koloru co pierwsza jest 3·13=39.

PA=3951=1317

Trzecią kartę losujemy spośród 52-2=50 pozostałych kart. Dwa kolory kart są już „zajęte” zatem na wylosowanie karty w innym kolorze niż karta pierwsza oraz druga pozostaje 2·13=26 możliwości.

PB/A=2650

Obliczamy prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń AB

PAB=PA·PB/A

PAB=1317·2650=338850=169425

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że każda karta będzie w innym kolorze jest równe 169425.

Słownik

własności prawdopodobieństwa warunkowego
własności prawdopodobieństwa warunkowego

niech Ω będzie dowolna przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz niech AΩ, BΩ, CΩPC>0; wtedy:

  • P/C=0

  • PΩ/C=1

  • 0PA/C1

  • jeśli AB to PA/CPB/C

  • PA'/C=1-PA/C

  • PA/C=1-PA'/C

  • jeśli AB= to PAB/C=PA/C+PB/C

  • PAB/C=PA/C+PB/C-PAB/C